有關(guān)橢圓偏微分方程解的水平集的凸性研究綜述

【摘要】本文主要從研究背景、研究方法和研究現(xiàn)狀三方面介紹了對橢圓形偏微分方程解水平集的凸性研究.從微觀方法和宏觀方法的角度介紹，微觀方法是對滿足一定條件的偏微分方程在局部建立常秩定理，利用強(qiáng)極值原理結(jié)合連續(xù)性方法得到解的整體凸性;宏觀方法是利用弱極值原理證明解和解的凸包絡(luò)在滿足一定的結(jié)構(gòu)條件下是相等的.對微分方程凸性的研究分為解本身的凸性研究和解的水平集的凸性研究，而解的水平集的凸性研究通常源自解的凸性，因此，解決解的水平集的凸性問題是更細(xì)致的問題.

【關(guān)鍵詞】橢圓形偏微分方程;凸性研究;極值原理

【基金項(xiàng)目】北京電子科技職業(yè)學(xué)院校內(nèi)科技重點(diǎn)課題“有關(guān)一類橢圓偏微分方程解的微分不等式”（項(xiàng)目編號：000024-2018Z002-022-KXZ）.

一、研究背景

凸性研究是幾何研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，作為一種幾何概念，在光滑情況下通過微分來描述，并且學(xué)者們對凸性的研究歷史悠久.橢圓形偏微分方程是一類非常重要的偏微分方程，它的解和解的水平集的凸性研究更是現(xiàn)代偏微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容.通過研究，人們逐漸發(fā)現(xiàn)方程解的存在和光滑性與解的凸性有很大關(guān)系，若方程的解本身就是凸的，那么其解的水平集也是凸的，證明解本身的某種凸性可以看成是證明解水平集凸性的一種間接方法.

在20世紀(jì)20年代，Caratheodory在平面凸區(qū)域上研究格林函數(shù)，得到了它的水平集是嚴(yán)格凸的.

1957年，Gabriel證明了在3維及n維凸區(qū)域中，算子-Δ 所對應(yīng)的格林函數(shù)具有嚴(yán)格凸的水平集.其主要方法是引進(jìn)一個(gè)“凹性函數(shù)”：

若u的水平集是凸的，則u的水平集的第二基本形式在整個(gè)區(qū)域內(nèi)是常秩的.

2008—2010年，證明了一些低維Hessian方程的常秩定理，2011年，Chen、Ma和Shi研究了Monge-Ampère方程的解的水平集的曲率估計(jì)，對滿足齊次Dirichet邊值條件的方程

detD2u=1 in Ω，u=0 on Ω.

構(gòu)造輔助函數(shù)H，由u的水平集的曲率κ和|Du|3產(chǎn)生，證明其在邊界處達(dá)到下界，然后應(yīng)用極值原理得到對水平集的平均曲率和Gaussie曲率和的上界估計(jì).

2015年，針對完全非線性的橢圓形Monge-Ampère方程detD2u=1，筆者對其在常曲率黎曼流形上有界凸區(qū)域中帶有0邊值Dirichlet條件下的嚴(yán)格凸解的水平集的凸性估計(jì)進(jìn)行了研究.

上述對橢圓偏微分方程解的水平集的凸性研究背景，為我們今后繼續(xù)探討研究橢圓偏微分方程解的水平集的凸性奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、研究方法

通過對文獻(xiàn)的閱讀，我們知道研究橢圓偏微分方程解的水平集凸性方法很多.主要有解的凸性、常秩定理、凹性極值原理、擬凹包絡(luò)和曲率估計(jì)，我們把這些方法分為宏觀和微觀方法兩類.宏觀方法是利用弱極值原理研究解和解的凸包絡(luò)之間的關(guān)系，即在滿足一定的結(jié)構(gòu)條件下利用弱極值原理證明解和解的凸包絡(luò)是相等的.而微觀方法則是利用強(qiáng)極值原理對滿足一定條件的偏微分方程在局部建立常秩定理結(jié)合連續(xù)性方法得到解的整體凸性.本文主要談及常秩定理和凹性極值原理.

常秩定理在得到解的水平集的凸性的同時(shí)可得到嚴(yán)格凸性，是一個(gè)強(qiáng)極值原理.我們考慮偏微分方程的解u的一個(gè)半正定矩陣w=（wij）n×n，wij=wij（D2u，Du，u，x）滿足：（1）（wij）≥0;（2）可以選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得（wij）對角或部分對角;（3）wij∈C1，1（Ω）.假設(shè)l=minx∈Ωrank（w（x））在點(diǎn)x0∈Ω達(dá)到，選取恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)φ，然后證明其中Ω0是x0點(diǎn)在Ω內(nèi)的一個(gè)小鄰域.利用強(qiáng)極值原理和連續(xù)性方法可以得到φ（x）≡0 in Ω，進(jìn)而得到φ在Ω上保持常秩.

Gabriel提出的凹性極值原理屬于宏觀方法，使用此方法來描述凸性不需要對象是光滑的，是一種弱極值原理.函數(shù)u為上半連續(xù)函數(shù)，用u*表示u的擬凹包絡(luò)，擬凹包絡(luò)u*是其上水平集為u的閉凸包的上半連續(xù)函數(shù).由于u*是比u大的最小的上半連續(xù)擬凹函數(shù)，從而有u*≥u.只要證明u*

三、研究現(xiàn)狀與展望

關(guān)于Laplace算子的線性和半線性方程，p-Laplace算子的擬線性方程和平均曲率方程，這些方程解的水平集的曲率估計(jì)研究已經(jīng)有了很好的結(jié)論，而對完全非線性方程，如Monge-Ampère方程，只有近兩年一些學(xué)者對主曲率的研究.

筆者已經(jīng)針對完全非線性的有界凸區(qū)域上帶有0邊值Dirichlet條件的Monge-Ampère方程解的水平集的凸性進(jìn)行研究，接下來主要考慮在將有界凸區(qū)域上帶有0邊值Dirichlet條件的Monge-Ampère這類完全非線性的方程改為k-Hessian型方程，利用其整體思路對k-Hessian型方程σ2（D2u）=1進(jìn)行解的水平集的凸性研究.

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