基于改進平滑L0范數(shù)的塊稀疏信號重構(gòu)算法

馮俊杰 張續(xù)文

摘要：本文提出一種基于負指數(shù)函數(shù)的平滑L0范數(shù)（SL0）塊稀疏信號重構(gòu)算法。首先，構(gòu)造負指數(shù)函數(shù)作為代價函數(shù)，通過構(gòu)建控制參數(shù)序列，求解代價函數(shù)的最優(yōu)值。其次，采用單循環(huán)結(jié)構(gòu)迭代求解，并增加比較修正步驟，確保搜索方向沿著最速下降方向。仿真結(jié)果表明，本文算法具有較好的重構(gòu)效果。

關(guān)鍵詞：塊稀疏信號;平滑L0范數(shù);重構(gòu)算法;代價函數(shù)

中圖分類號：TP3? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）21-0234-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標識碼（OSID）：

Abstract： To solve the problem of block sparse signal recovery when the block sparsity is unknown， a revised smoothed L0 norm （SL0） block sparse signal reconstruction algorithm is proposed. Firstly， the negative exponential function is proposed as the smoothed function， the optimal value of the cost function is solved by constructing the sequence of control parameters. Secondly， single cycle structure is? used for iterative solution， a comparison correction step is added to ensure that the search direction is the steepest descent direction.The simulation results show that the proposed algorithm has advantages over other algorithms.

Key words： Block sparse signal; Smoothed L0 norm; Recovery algorithm; Cost? function

壓縮感知（Compressive Sensing）理論是近幾年提出的信號處理的一種新理論[1-2]。其主要的思想是，對于高維信號在某組稀疏基或變換域中具有稀疏性或可壓縮性，則可以稀疏信號重構(gòu)算法從低維的測量值恢復(fù)出原始信號。可以實現(xiàn)信號采樣、A/D 變換、變換編碼的成本。因此受到國內(nèi)廣泛關(guān)注，在圖像處理、模式識別、語音信號處理等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。

稀疏信號重構(gòu)是壓縮感知理論的重要步驟，實現(xiàn)由低維信號重構(gòu)原信號的過程。如果稀疏信號的非零值、零值是成塊的，我們稱為塊稀疏信號。在信號重構(gòu)時，如果不考慮信號的結(jié)構(gòu)特征，會產(chǎn)生重構(gòu)誤差。

針對塊稀疏信號重構(gòu)，本文采用負指數(shù)信號作為平滑函數(shù)，通過控制參數(shù)逐漸減少，使平滑函數(shù)逐漸逼近L0范數(shù)的最優(yōu)解。采用單循環(huán)代替SL0[3]的雙循環(huán)結(jié)構(gòu)，并增加比較修正步驟，保證重構(gòu)精度的同時提高運算效率。

1 塊稀疏信號

通過控制逐漸遞減的參數(shù)序列[σ1 σ2…σJ]，求解代價函數(shù)的最優(yōu)值。由于[σ=σj]時的解僅作為[σ=σj+1]時的初始值，本文算法采用單循環(huán)結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解，通過一次梯度下降法求平滑函數(shù)的極小值，減少算法的運算量。最速下降法理論上是在迭代求解的過程中，代價函數(shù)值是下降的。但在優(yōu)化求解中，最優(yōu)解不一定沿著下降方向。因此在算法中增加了比較步驟，如果代價函數(shù)的迭代值沒有沿下降方向搜索，取前一個搜索值和當前搜索值的中點進行迭代，保證沿最速下降方向搜索。整個算法如下：

3 仿真結(jié)果

塊稀疏信號為[y=Φx+n]，稀疏矩陣[Φ]為[80×160]，元素服從均值為0方差為1的正態(tài)分布。信號[x]為塊離散信號，塊長度為[d=8]，包含20個塊稀疏信號。噪聲[n]為高斯白噪聲。重構(gòu)均方誤差MAE定義為MAE=[10log10x-x2N]，[x]為原始信號，[x]為重構(gòu)信號。把本文算法（BSSL0）與BOMP算法[4]、BCoSaMp算法[5]、BSL0算法[6]、BSPG L1算法[7]進行比較。幾種算法的重構(gòu)性能對比如圖1、圖2、圖3所示?？梢钥闯霰疚乃惴ㄔ谥貥?gòu)速度上明顯快于BCoSaMp算法和BSPG L1算法。在相同塊稀疏度下，本文算法具有較好的重構(gòu)效果。

4 結(jié)束語

充分考慮稀疏信號的塊狀結(jié)構(gòu)特點，提出一種改進SL0范數(shù)塊稀疏度稀疏信號重構(gòu)算法。采用單循環(huán)結(jié)構(gòu)，在每次迭代中增加比較步驟，保證沿最速下降方向搜索最優(yōu)值。仿真結(jié)果表明該算法是綜合性較好的重構(gòu)算法。

參考文獻：

[1] Needell D， Vershynin R. Uniform uncertainty principle and signal recovery via regularized orthogonal matching pursuit[J]. Foundations of computational mathematics， 2009， 9（3）： 317-334.

[2] Donoho D L， Tsaig Y， Drori I， et al. Sparse solution of underdetermined systems of linear equations by stagewise orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2012， 58（2）： 1094-1121.

[3] Mohimani H， Babaie-zadeh M， Jutten C. A fast approach for overcomplete sparse decomposition based on smoothed l0 norm[J]. IEEE Transaction Signal Processing， 2009， 57（1）： 289-301.

[4] Eldar Y C， Kuppingger P， Bolcskei H. Block-sparse signals：Uncertainty relations and efficient Recovery [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58（6）： 3042–3054.

[5 ] Baraniuk R G， Gevher V， Duarte M F， et al. Model-based compressive sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2010， 56（4）： 1982-2001.

[6] Hamodo-Ghalehjegh S， Babaie-zadeh M， Jutten C. Fast Block-sparse Decomposition Based on SL0[C]// Proceedings of the 9th International Conference on Latent Variable Analysis and Signal Separation： Berlin， Germany： Springer 2010： 426-433.

[7] Van Den， Friendlander M P. Sparse optimization with least-squares constraints[J] .SIAM Journal on Optimization， 2011， 21（4）： 1201-1229.

【通聯(lián)編輯：梁書】