基于多混沌系統(tǒng)和DNA編碼的數(shù)字圖像分塊加密算法

陳子豪，苗 博，殷旭東

（常熟理工學(xué)院 計算機科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

1 引言

隨著信息時代的到來，數(shù)字圖像成為網(wǎng)絡(luò)上經(jīng)常出現(xiàn)的信息形式之一，在諸如軍事協(xié)同作戰(zhàn)、場景監(jiān)控、電子政務(wù)等傳輸系統(tǒng)中，都需要可靠的圖像加密技術(shù)，因此，對數(shù)字圖像的加密保護研究十分重要.

目前，對圖像加密研究最多的技術(shù)就是圖像的置亂算法［1］. 常見的圖像置亂方法有基于矩陣變換，如Arnold變換［2］、幻方變換等，它通過對圖像空間的重新分布來打亂各像素的次序，但是像素總數(shù)不變，直方圖也不變. 也有許多基于混沌系統(tǒng)［3-6］的加密算法，能夠同時改變像素值和像素位置，典型的有基于像素混排的多混沌圖像加密算法、基于混沌像素比特圖像置亂加密算法. 雖然這些方法都進行了比特級的圖像加密，但常常散亂不夠充分.

本文選擇的多混沌組合系統(tǒng)和分塊DNA數(shù)字編碼［7-8］可以對圖像進行更好的分塊散亂重組，以達到較大程度的置亂效果，并使圖像分塊依據(jù)確定性混沌隨機序列組合、像素值依據(jù)DNA規(guī)律編碼變化進一步加密，從而增大破解難度，是非常有效的數(shù)字圖像加密算法.

2 關(guān)鍵算法與技術(shù)

2.1 混沌系統(tǒng)

混沌是指出現(xiàn)在確定性系統(tǒng)中的一種不確定性的、偽隨機的過程，這種過程既非周期性又不收斂，是自然界中普遍存在的非線性現(xiàn)象，也是一種非線性動力系統(tǒng)中普遍存在的固有現(xiàn)象. 混沌系統(tǒng)對系統(tǒng)初值極為敏感，即初值發(fā)生微小擾動后系統(tǒng)經(jīng)過一段時間就會嚴重偏離原來的運動方向.

因此混沌系統(tǒng)能產(chǎn)生大量的、互不相關(guān)的、具有偽隨機性的混沌序列. 混沌加密的基本原理是利用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列作為密鑰序列，利用該序列對明文加密，密文經(jīng)信道傳輸，接收方用混沌同步的方法將明文信號提取出來實現(xiàn)解密.

2.2 改進型Logistic迭代

改進型Logistic迭代［9-10］是一種拋物線混沌映射，是由一維Logistic迭代推導(dǎo)而來，但相比傳統(tǒng)Logistic映射迭代方法，改進型Logistic迭代達到混沌狀態(tài)速度更快，產(chǎn)生的混沌序列分布均勻，具有更好的偽隨機性，它按照式（1）方程進行反復(fù)迭代.

其中μ∈[0,2]被稱為Logistic參數(shù)，保證xn∈[-1,1]. 研究表明，當(dāng)xn∈[-1,1]時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)，在μ的取值符合1.41＜μ＜=2的條件時，系統(tǒng)處于完全混沌的狀態(tài)，此時迭代生成的值處于一種偽隨機分布的狀態(tài)，這樣在確定足夠大的迭代次數(shù)n之后可以得到確定性的混沌序列.

2.3 超混沌chen系統(tǒng)

超混沌Chen系統(tǒng)［11-12］具有復(fù)雜的混沌特性，利用超混沌Chen系統(tǒng)可以產(chǎn)生隨機性較好的隨機序列，超混沌Chen系統(tǒng)方程組:

2.4 DNA數(shù)字編碼

DNA是生物學(xué)中染色體的主要化學(xué)成分，由核苷酸組成的，DNA序列由A（腺嘌呤）、G （鳥嘌呤）、C（胞嘧啶）和T （胸腺嘧啶）4種堿基排列而成. 其中A和T是互補的，G和C是互補的，采用0與1的互補關(guān)系與其對應(yīng)編碼，一共有4!=24種方案，在4個數(shù)字的二進制表示中00和11是互補的，01和10是互補的對應(yīng)到A與T、C與G互補，則最終只有8種編碼方案可以使用. 這8種編碼方案如表1所示.

與之對應(yīng)的DNA編碼的運算法則包括加法、減法、異或運算，按照對應(yīng)的DNA編碼共有00、01、10、11 4種編號，編號的加法運算產(chǎn)生的進位直接去除，減法則以補碼運算方式進行. 采用DNA編碼使得編碼簡單化，提高了編碼效率.

3 實驗過程

以明文圖像為灰度圖像為例，加密過程的分析流程、重要算法使用如圖1所示.

首先，根據(jù)明文圖像像素信息產(chǎn)生改進型Logistic和超混沌chen系統(tǒng)狀態(tài)初值，作為密鑰. 其次，利用改進型Logistic混沌迭代產(chǎn)生一維偽隨機序列，再將隨機序列轉(zhuǎn)換為與原圖大小相同的隨機矩陣. 再次，取明文圖像像素信息8位像素值的前4位產(chǎn)生chen超混沌系統(tǒng)狀態(tài)初值，以求解得到4個超chen混沌序列，再對數(shù)字圖像和隨機序列轉(zhuǎn)換的隨機矩陣進行均勻分塊，不足部分補0. 根據(jù)超混沌chen系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機序列，以選擇明文圖像和隨機矩陣每個子塊的DNA編碼方式以及兩子塊間的DNA編碼運算方式. 最后，合并所有經(jīng)過加密的圖像子塊，使其失去本身圖像原有的面目，達到加密的效果.

圖1 加密過程使用的分析處理框圖

Logistc混沌映射初值x0根據(jù)原圖像計算得出表示在數(shù)字圖像（i，j）位置的像素值，SUM為圖像的大小，參數(shù)μ設(shè)定為1.66，接近2以達到混沌狀態(tài)，此時初值x0范圍可知x0∈[-1,1]. 為避免計算機精度的影響，下文初值統(tǒng)一保留4位小數(shù).

超混沌Chen系統(tǒng)初值由明文圖像像素信息8位像素值的前4位產(chǎn)生，如方程組（3）所示.

通過將改進型Logistic混沌迭代和超混沌Chen系統(tǒng)初值與明文圖像的像素信息建立聯(lián)系，可以實現(xiàn)對同一數(shù)字圖像密鑰重建的目的. 在設(shè)置好各混沌系統(tǒng)初值之后，開始進行迭代產(chǎn)生偽隨機序列，對于圖像大小為SUM=M*N的數(shù)字圖像，要獲得具有較好隨機性長度為SUM的序列可設(shè)置改進型Logistic混沌迭代次數(shù)為2000+SUM次，利用式（1）進行迭代，最終結(jié)果去除前2 000次得到最終SUM長度的隨機序列L：

對于超混沌Chen系統(tǒng)產(chǎn)生的序列，利用方程組（2），并設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)進行迭代得到混沌序列，迭代采用四階Runge-Kutta［13］方法. 本文中超混沌Chen系統(tǒng)控制參數(shù)設(shè)置a=35，b=3，c=12，d=7，k=0.3，為了得到較好的隨機序列，迭代次數(shù)設(shè)置為分塊數(shù)+2 000，最終利用方程組（3）初值迭代得到4個混沌序列再進行截取，去掉前2 000位，保留長度與分塊數(shù)相同的序列，4個序列分別與8、8、3、8數(shù)字相與，8代表8種DNA編碼和DNA解碼方式，3表示DNA的3種運算方式，利用最終得到的序列對分塊進行編碼、運算、解碼，最終組合分塊形成密文圖像.

解密過程便是加密過程的逆變換，只要得到正確的密鑰，便能通過密鑰進行相同的迭代產(chǎn)生確定的混沌序列，再變換運算符號如加法與減法步驟互換，最終組合分塊便能得到解密圖像.

圖2 原始圖片

圖3 加密后的圖片

圖4 加密前像素分布圖

圖5 加密后像素分布圖

4 實驗分析

4.1 加密結(jié)果與分析

實驗環(huán)境為： Intel（R） Core（TM） i5-8250U CPU@1.60 GHz，11.9.00 GB內(nèi)存， Windows 7操作系統(tǒng)，MATLAB 7.0版本.

加密后的圖片呈現(xiàn)雪花狀，加密前后圖片對比如圖2、圖3所示，可見已經(jīng)完全看不出原圖的蹤影.

4.2 灰度直方圖分析像素分布情況

加密前后圖像的灰度直方圖如圖4、圖5所示. 圖像灰度值分布圖是反映圖像像素分布情況的一個重要指標(biāo). 一般來說，明文圖像可以真實地反映現(xiàn)實世界，所以它的灰度直方圖分布規(guī)律必然是非均勻的. 但對于理想密文圖像來說，相鄰像素間相關(guān)性極低，且它的灰度直方圖分布規(guī)律應(yīng)該是均勻的，否則，密碼分析者可能通過非均勻直方圖的分析來獲取明文圖像的某些統(tǒng)計信息，從而為破解算法提供幫助. 本圖像加密后的直方圖分布均勻，攻擊者無法獲取原始圖像的有關(guān)信息.

4.3 相鄰像素相關(guān)性分析

在圖像中，相鄰像素之間存在高相關(guān)性，所以可以通過一個像素的灰度值推斷出周圍像素的灰度值. 計算公式如下：

x、y為相鄰的兩個像素，cov（x，y）表示相關(guān)函數(shù)，D（x）表示均方差.

本實驗加密前后的圖片相關(guān)性如表2所示.

對于明文圖像來說，相鄰像素點之間的相關(guān)性系數(shù)一般都接近于1（100%）. 但是對于一個足夠好的圖像加密算法，密文圖像的相鄰像素點相關(guān)性系數(shù)（水平相關(guān)性、垂直相關(guān)性和對角線相關(guān)性）都應(yīng)該接近于0. 由實驗結(jié)果可知能滿足此要求.

表2 加密前后的圖片相關(guān)性

4.4 信息熵

信息熵是衡量信息源不確定性的指標(biāo). 通常來講，信息熵越大則表明信息的不確定性越強. 其定義為是信源包含符號的總數(shù)，是符號出現(xiàn)的概率. 經(jīng)計算，原始圖片信息熵=6.126 4，加密后圖片信息熵=7.999 1. 可以看出，加密后圖片信息熵十分接近理想信息熵8.

4.5 密鑰敏感性分析

本系統(tǒng)加密圖像共有6個密鑰，6個密鑰的可改動范圍為：

改進型Logistic參數(shù)：μ: 10-15，Logistic初值X0:10-16

Chen超混沌系統(tǒng)初值X1:10-16，X2:10-16，X3:10-16，X4:10-16

以改進型Logistic參數(shù)μ為例，參數(shù)μ只要改變大于等于10-15時（即μ原來為1.66，現(xiàn)在改為μ=1.660 000 000 000 001時），按原始密鑰解密后的圖像仍是不能辨認的雪花點. 由此可見，每次只輕微改變單個密鑰也無法恢復(fù)原始圖像，混沌算法具有很好的密鑰敏感性，同時也表明密鑰的空間大.

4.6 密鑰空間分析

為了能夠有效抵御窮舉攻擊，加密算法應(yīng)該擁有足夠大的密鑰空間使得窮舉攻擊成功的概率盡量小，通常認為密鑰空間至少要達到2100. 本算法的密鑰空間可由上述各密鑰敏感性計算得出，密鑰空間為：1015×1016×1016×1016×1016×1016=1095≈2315，可見此加密算法可以較好抵御窮舉攻擊.

5 結(jié)束語

本文根據(jù)明文圖像像素信息產(chǎn)生改進型Logistic和超混沌chen系統(tǒng)狀態(tài)初值，作為加解密密鑰；采取多混沌系統(tǒng)混合，以分塊方式進行DNA編碼運算，結(jié)合混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機序列進行隨機選擇；最后，再合并所有經(jīng)過加密的圖像子塊，使其失去本身圖像原有的面目，達到加密的效果. 對加密前后的數(shù)字圖片像素分布相關(guān)性和信息熵進行分析. 結(jié)果表明，利用混合混沌系統(tǒng)和DNA編碼結(jié)合的方式對數(shù)字圖像加密效果優(yōu)良，密鑰敏感性強；密鑰的空間大，爆破難度很高；加密后像素值平均分布，能夠較好地掩蓋原圖像的像素規(guī)律，并且本加密算法的加解密密鑰可由原圖重復(fù)生成.