聯(lián)合ADS-B的最小二乘雷達系統(tǒng)誤差估計方法①

原常弘,郭文明,范 恩,李鵬飛,李曉斌

1(南方醫(yī)科大學 網(wǎng)絡中心,廣州 510630)

2(南方醫(yī)科大學 第三附屬醫(yī)院,廣州 510515)

3(深圳大學 信息工程學院,深圳 518060)

4(陸軍炮兵防空兵學院,鄭州 450052)

5(約瑟夫.斯特凡國際研究生學院,盧布爾雅那,斯洛文尼亞 1000)

在雷達組網(wǎng)中,雷達系統(tǒng)誤差估計是多傳感器多目標跟蹤的首要問題,與航跡關聯(lián)互為前提[1].雷達觀測系統(tǒng)的測量誤差主要包括兩種形式的誤差：隨機誤差和系統(tǒng)誤差.隨機誤差可以采用各種濾波方法進行濾除[2,3].系統(tǒng)誤差是一種確定型誤差,很難通過濾波方法處理,需要先對它進行估計,再利用估計值對雷達量測進行補償或配準,才能夠降低或消除其影響[1].系統(tǒng)誤差的存在會降低跟蹤結果的精度,導致跟蹤均方根誤差比理論值大很多；嚴重時導致來自同一目標的多雷達量測關聯(lián)失敗,甚至產(chǎn)生多條軌跡,從而難以形成統(tǒng)一、準確的跟蹤態(tài)勢.因此在雷達組網(wǎng)中,如何解決雷達系統(tǒng)誤差估計問題是多傳感器多目標跟蹤領域的重點和難點之一.

現(xiàn)有方法一般假設雷達系統(tǒng)誤差為固定值,主要包括實時精度控制(RTQC)算法、最小二乘(LS)算法、廣義最小二乘(GLS)算法、基于地心地固坐標系的GLS 算法(EFEC-GLS)、極大似然(ML)算法、擴維(ED)算法,以及它們的改進方法[1,4-12].在實際雷達組網(wǎng)中存在以下特點：(1)不同雷達的系統(tǒng)誤差一般不同,甚至相差很大；(2)雷達探測距離越遠,測量誤差越大；(3)由于不同雷達的采樣時刻不同,采樣周期(或采樣間隔)較大,考慮到目標飛行速度快以及目標運動軌跡的不確定性,導致對雷達航跡進行時間校正時,往往會引入新的誤差.因此,在實際中雷達量測數(shù)據(jù)包含的測量誤差一般會比較大.在這種情況下,由于上述估計方法大多是建立在最小二乘模型上,在計算過程中忽略了系統(tǒng)誤差二階或高階項的影響,會一定程度上降低這些方法的估計效果.

實際上,如果已知目標的真實位置,那么雷達系統(tǒng)誤差估計過程將被大大簡化[13].ADS-B(廣播式自動相關)設備以GPS(全球定位系統(tǒng))為基礎,能夠為合作目標提供精確的位置信息,其定位精度相對雷達量測而言完全可以近似作為目標的真實位置,而且其采樣時刻更密集[14].考慮到ADS-B 的優(yōu)點,文獻[15]從圖形學的角度,提出一種基于多直線融合的雷達標定誤差(FL)算法.盡管FL 方法簡單實用,但是其估計精度還有待進一步提高.文獻[12]基于ADS-B 量測數(shù)據(jù),針對雷達和ADS-B 跟蹤平臺,提出一種聯(lián)合系統(tǒng)誤差估計方法,但是算法復雜度依然比較高.

為此,本文針對兩坐標雷達和ADS-B 聯(lián)合跟蹤平臺,在文獻[15]的基礎上,考慮到傳統(tǒng)基于LS 模型的系統(tǒng)誤差估計方法對量測數(shù)據(jù)比較敏感的特點,提出一種聯(lián)合ADS-B 的最小二乘雷達系統(tǒng)誤差估計方法.提出方法首先針對雷達量測和ADS-B 量測數(shù)據(jù)的特點進行預處理,然后利用LS 算法估計雷達系統(tǒng)誤差,最后采用實測數(shù)據(jù)實驗對提出方法的有效性和可行性進行驗證.

1 雷達及ADS-B 航跡數(shù)預處理

考慮到雷達航跡和ADS-B 航跡的坐標系(分別采用雷達局部坐標系和地理坐標系)、采樣時刻不同的影響,首先需要對它們進行預處理.

1.1 坐標轉換

由于ADS-B 量測數(shù)據(jù)采用地理坐標,為了對雷達和ADS-B 的量測數(shù)據(jù)進行統(tǒng)一處理,需要先將ADSB 量測數(shù)據(jù)轉換到以雷達為中心的局部直角坐標系.設(λA,i,φA,i,hA,i)是ADS-B 量測的地理坐標,則對應的局部坐標為：

這里,(λR,φR,hR) 是 雷達位置的地理坐標,D(λR,φR)、P(λR,φR,hR)可以分別由下面兩式計算：

由于兩坐標雷達僅能獲取目標的斜距離和方位角信息,后續(xù)有些步驟還需要在雷達極坐標系處理數(shù)據(jù),因此需要將ADS-B 量測數(shù)據(jù)從雷達直角坐轉換成極坐標.設 (rA,i,θA,i,hA,i)和(xA,i,yA,i,zA,i)分別是ADS-B 量測在雷達局部坐標系中的極坐標和直角坐標,則

這里主要是針對兩坐標雷達量測的斜距離和方位角進行配準,因而只需要對雷達量測和ADS-B 量測的斜距離和方位角進行處理.為了后續(xù)處理方便,仍需進一步將雷達量測和ADS-B 量測轉換到平面直角坐標系,設(x′i,y′i)和(ri,θi)分別為雷達量測或ADS-B 量測的極坐標和直角坐標,則

在下文中,涉及的雷達量測或ADS-B 量測的直角坐標均是通過式(5)計算得到.

1.2 時間配準

在實際中,雷達和ADS-B 對目標進行個跟蹤時,采樣時刻只是近似周期的.一般地,ADS-B 采樣時刻比雷達更密集.圖1給出實際中雷達和ADS-B 跟蹤同一批目標的采樣時刻,可以看出ADS-B 采樣間隔比雷達更小、更密集.為了方便進一步對雷達數(shù)據(jù)處理以及更準確地估計雷達系統(tǒng)誤差,這里以雷達航跡數(shù)據(jù)的采樣時刻序列為基準,對ADS-B 航跡數(shù)據(jù)進行插值,通過計算得到的插值序列作為新的ADS-B 航跡數(shù)據(jù),用于估計雷達系統(tǒng)誤差.

圖1 雷達和ADS-B 的采樣時刻

在具體插值過程中,由于ADS-B 采樣間隔小,近似1s/次,為此可以假設目標在單個采樣間隔做勻速運動,采用與雷達采樣時刻tR,i相鄰的兩個ADS-B 量測zA,j、zA,j+1(tA,j＜tR,i＜tA,j+1)計算插值：

其中,

式中,tA,j、tA,j+1為對應zA,j、zA,j+1的采樣時刻.

1.3 雷達方位角誤差補償

考慮到系統(tǒng)誤差估計算法對量測誤差比較敏感,為了更準確地估計雷達系統(tǒng)誤差,這里首先估計雷達方位角誤差的粗值,然后對雷達方位角數(shù)據(jù)進行補償.假設目標做直線運動,采用最小二乘擬合計算雷達航跡和ADS-B 航跡對應的直線方程：

然后計算兩直線的夾角,并將該夾角作為雷達方位角誤差估計的粗值：

最后利用該粗值補償雷達航跡的方位角數(shù)據(jù)：

2 基于最小二乘的雷達系統(tǒng)誤差估計

設雷達航跡數(shù)據(jù)和ADS-B 航跡數(shù)據(jù)經(jīng)過預處理后,(rR,i,θR,i)和(rA,i,θA,i) 分 別表示ti時 刻目標T在雷達極坐標系中的雷達量測和ADS-B 量測的極坐標,(x′R,i,y′R,i)和(x′A,i,y′A,i)分別為它們在雷達直角坐標系中直角坐標,ΔrR、Δ θR分別是雷達的斜距離系統(tǒng)誤差和方位角系統(tǒng)誤差.如果忽略隨量測誤差的影響,根據(jù)(5)式可以得到：

因為ΔrR、ΔθR是微量,若忽略它們的二階項,式(11)可以簡化為：

考慮到ADS-B 系統(tǒng)誤差相對雷達系統(tǒng)誤差非常小,這里忽略ADS-B 系統(tǒng)誤差,將其近似作為目標位置的真實位置,即：

由(x′R,i,y′R,i)和(x′A,i,y′A,i)的幾何關系可知：

通過恒等式變形可以得到：

針對雷達航跡M個不同的量測數(shù)據(jù),根據(jù)(16)式可得：

令H=[H1,H2,···,HM]T,Z=[Z1,Z2,···,ZM]T,則式(17)可以進一步表示為：

由于式(18)是超定的,可以采用最小二乘估計方法[16]求解可得：

3 實測數(shù)據(jù)實驗

為了驗證提出方法的性能,采用實測數(shù)據(jù)對三種系統(tǒng)誤差方法進行比較,包括基于直線擬合的系統(tǒng)誤差估計方法(FL)、基于最小二乘的系統(tǒng)誤差估計方法(LS)、以及基于直線擬合的最小二乘系統(tǒng)誤差估計方法(FL-LS).

實測數(shù)據(jù)來源于空中同一批合作目標的雷達航跡和ADS-B 航跡的量測數(shù)據(jù),目標在空中近似做直線運動,如圖2所示.其中,雷達航跡包括27 個采樣點,ADS-B 航跡包括105 個采樣點.為了估計雷達系統(tǒng)誤差,首先將ADS-B 航跡數(shù)據(jù)從地理坐標系轉換到雷達的局部坐標系,并將雷達航跡數(shù)據(jù)從雷達極坐標系轉換到雷達直角坐標系.

圖2 雷達和ADS-B 航跡數(shù)據(jù)

經(jīng)過轉換后的雷達航跡和ADS-B 航跡的量測數(shù)據(jù)如圖2所示.由圖2可知,盡管存在系統(tǒng)誤差,但是雷達航跡和ADS-B 航跡的量測數(shù)據(jù)都近似分布于所對應直線的兩側,特別是ADS-B 航跡.這是因為ADSB 數(shù)據(jù)集以GPS 為基礎,定位精度高,能夠滿足雷達對系統(tǒng)誤差估計的要求[15].因此,可以通過計算雷達航跡和ADS-B 航跡對應直線的夾角,將其作為雷達方位角系統(tǒng)誤差估計的粗值,用于補償雷達航跡數(shù)據(jù)的方位角.由圖2可以看出,ADS-B 航跡采樣時刻比雷達更密集.為了對雷達航跡進行配準,需要以雷達航跡數(shù)據(jù)的采樣時刻為基準,計算ADS-B 航跡在對應時刻的插值,再利用計算得到的插值序列構建新的ADS-B 航跡數(shù)據(jù),用于估計雷達系統(tǒng)誤差.經(jīng)過插值處理后,新的ADS-B 航跡與雷達航跡的采樣時刻相同,采樣點數(shù)也為27 個.

圖3給出經(jīng)過時間插值的新ADS-B 航跡和雷達航跡數(shù)據(jù),以及對新ADS-B 航跡數(shù)據(jù)和雷達航跡數(shù)據(jù)的擬合直線.經(jīng)過直線擬合后,可以計算得到兩條直線的夾角為161.7 mrad,用于補償雷達航跡數(shù)據(jù)的方位角,經(jīng)過方位角補償后的新雷達航跡數(shù)據(jù)也如圖3所示.由圖3可知,對于雷達航跡和ADS-B 航跡,都近似分布于擬合直線的兩側,經(jīng)過方位角補償?shù)睦走_航跡數(shù)據(jù)在平面直角坐系中更接近ADS-B 航跡.

圖3 預處理后的雷達和ADS-B 航跡數(shù)據(jù)

圖4是采用系統(tǒng)誤差配準后的雷達航跡.由圖4可知,采用FL、LS 以及FL-LS 三種估計方法配準后的雷達航跡都十分接近ADS-B 航跡,證明三種系統(tǒng)誤差估計方法都是有效的.為了更好地說明三種方法的性能,圖5列舉了第5 至第9 個采樣時刻的三種雷達航跡的量測數(shù)據(jù).從圖5可知,按照到ADS-B 航跡點距離從小到大依次是分別是經(jīng)由FL-LS、LS和FL 配準后的雷達航跡,從而說明FL-LS 方法的估計精度最高,其次是LS 方法,最后是FL 方法.

圖4 配準后的雷達航跡

圖5 部分配準后的雷達航跡

為了更直觀地比較三種方法的性能,圖6和圖7分別給出三種配準后雷達航跡在每一時刻斜距離估計誤差和方位角估計誤差.由圖6可知,在大部分采樣時刻,FL-LS 方法的斜距離配準效果要優(yōu)于LS 方法和FL 方法,而LS 方法又要優(yōu)于FL 方法.類似地,由圖7也可以得到同樣的結論,方位角配準性能從低到高依次是：FL 方法、LS 方法和FL-LS 方法.三種估計方法均較大地降低了方位角誤差.特別地,盡管FL 方法方位角估計結果比LS 方法略差,但已十分接近,從而也說明從圖形學的角度分析和估計雷達系統(tǒng)誤差也是一種簡單、有效的方法,為以后進一步分析雷達系統(tǒng)誤差估計問題提供了一種很好的解決思路.

圖6 斜距離誤差

圖7 方位角誤差

最后,表1給出了三種系統(tǒng)誤差估計的結果,表2給出配準后雷達航跡的平均誤差(以ADS-B 航跡數(shù)據(jù)為真值).與上述系統(tǒng)誤差性能的分析結果類似,由表2可知,無論是在斜距離還是方位角上,三種估計方法的性能從高到低依次是FL-LS 方法、LS 方法和FL 方法.針對方位角誤差,三種系統(tǒng)誤差估計方法都能較大地提高雷達航跡的方位角的精度.為了定量說明配準后雷達航跡的精度情況,分別定義斜距離配準性能指標和方位角配準性能指標：

其中,εr、εr0分別為配準后雷達航跡的斜距離平均誤差和配準前雷達航跡的平均誤差,εθ、εθ0分別為配準后雷達航跡的方位角平均誤差和配準前雷達航跡的方位角平均誤差,ηr、ηθ定義為配準性能指標.

在此基礎上,表3給出了三種估計方法的配準性能指標情況,從而能夠定量地分析它們的配準性能.由表3可知,經(jīng)過配準處理后,FL-LS 方法、LS 方法能夠較大地降低雷達航跡的斜距離平均誤差,且FLLS 方法優(yōu)于LS 方法,斜距離平均距離誤差降低了71.7%.FL 方法對雷達航跡的斜距離平均誤差改善不明顯,效果不好,僅降低0.2%.另外,三種方法都能較大地降低雷達航跡的方位角平均誤差,其中FL-LS 方法最好,其次是LS 方法,最后是FL 方法.FL 方法對雷達航跡的方位角平均誤差降低了52.7%.因此,無論是對斜距離還是方位角,FL-LS 方法的配準性能均是最好.

表1 系統(tǒng)誤差估計結果(單位：m、mrad)

表2 雷達航跡的平均誤差(單位：m、mrad)

表3 配準性能指標

4 結束語

本文首先分析了傳統(tǒng)系統(tǒng)誤差配準方法的優(yōu)點和不足.在此基礎上,針對兩坐標雷達系統(tǒng)誤差估計問題,提出一種聯(lián)合ADS-B 的最小二乘雷達系統(tǒng)誤差估計方法.在提出方法中,首先對雷達航跡和ADS-B 航跡的量測數(shù)據(jù)進行預處理,包括通過坐標轉換建立統(tǒng)一的配準空間,采用插值方法構造新的ADS-B 航跡,以及對雷達航跡數(shù)據(jù)的航向角進行補償.經(jīng)過預處理后,能夠一定程度上降低雷達量測數(shù)據(jù)的誤差.然后,采用最小二乘算法估計雷達系統(tǒng)誤差.通過實測數(shù)據(jù)實驗結果證明,相對傳統(tǒng)直線擬合方法和最小二乘方法,提出方法能夠更有效、更準確地估計雷達系統(tǒng)誤差.經(jīng)過提出方法配準處理后,雷達航跡數(shù)據(jù)的平均斜距離誤差和方位角誤差分別降低了71.7%和52.7%.

在下一步工作中,我們將考慮目標運動、以及雷達和ADS-B 采樣時間的不確定等因素,并結合實測數(shù)據(jù),對ADS-B 的雷達系統(tǒng)誤差估計問題進一步分析和研究,從而更準確地估計雷達系統(tǒng)誤差.特別是針對目標非直線航跡數(shù)據(jù)的情況,對本文提出方法進行改進,以提高方法的魯棒性.