差動式三平動柔順定位平臺優(yōu)化設(shè)計及分析

杜厚成，王月，鄧子龍

（1.遼寧石油化工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；2.撫順榮盛機械制造有限公司，遼寧 撫順 113121）

柔順機構(gòu)是現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)的一個重要分支，屬于微操作機器人技術(shù)相關(guān)的多學(xué)科領(lǐng)域，是隨著微/納米操作中精度需求的提高而形成的新研究方向[1]，由美國學(xué)者J.M.Paros等[2]于20世紀(jì)60年代提出。在隨后的近40年的柔順機構(gòu)研究中，L.L.Howell等[3]提出了偽剛體法，周兆英等[4]提出了柔順鉸鏈設(shè)計計算公式，為柔順機構(gòu)的發(fā)展做出了貢獻。

柔順機構(gòu)通過柔順單元的變形來傳遞運動、力和能量，與傳統(tǒng)的剛性機械臂相比，柔順機構(gòu)無間隙且運動過程中沒有零件間的相互摩擦，因此柔順機構(gòu)具有高精度、小噪聲和長壽命的特點，也可以起到抗沖擊，降低設(shè)備損壞概率的作用[5-6]?；谌犴槞C構(gòu)的微納定位平臺因具有結(jié)構(gòu)緊湊、易加工、成本低、精度高、功率小、體積小等特點，近年來發(fā)展十分迅速[7-8]。

本文基于差動原理和杠桿原理設(shè)計了一種多級柔順位移放大機構(gòu)，與杠桿機構(gòu)相比其剛性桿轉(zhuǎn)角更大，實現(xiàn)更大輸出位移。通過路徑搜索法對放大機構(gòu)進行了靜力學(xué)和幾何變形分析，以位移放大倍數(shù)為目標(biāo)對其進行了參數(shù)優(yōu)化，以正交形式裝配成微納定位平臺，對平臺進行了靜力學(xué)仿真分析。

1 定位平臺結(jié)構(gòu)設(shè)計

基于差動原理的三自由度定位平臺應(yīng)具有較大工作空間和較高分辨率，為此設(shè)計了如圖1所示的一種多級柔順放大機構(gòu)——差動式位移放大機構(gòu)。將壓電陶瓷安裝在輸入端，圖1中由輸入端到輸出端各鉸鏈依次用1—9表示，剛性桿用K1—K8表示。K1、K2、K3、K4、K5組成第一級差動桿組，K1、K5、K6、K7組成第二級差動桿組，K8為輸出端導(dǎo)向桿。在相同尺寸下，差動機構(gòu)位移輸出放大比大于杠桿機構(gòu)。對稱結(jié)構(gòu)在理論上能夠消除水平方向的寄生位移，提高微納定位平臺定位精度和可靠性[9]。

圖1 差動式位移放大機構(gòu)

將三個柔順放大機構(gòu)以正交方式裝配在定位平臺（見圖2）；為降低寄生位移對機構(gòu)定位的影響，設(shè)計導(dǎo)向機構(gòu)和解耦機構(gòu)（見圖3）。三個支鏈通過并聯(lián)方式連接動、靜平臺，形成閉環(huán)機構(gòu)，使機構(gòu)具有三個平動自由度。完全對稱的并聯(lián)機構(gòu)具有無累計誤差和擁有較好各向同性的特點，可以保證定位平臺精度[10-11]。

圖2 定位平臺裝配圖

圖3 添加解耦機構(gòu)的放大機構(gòu)

該放大機構(gòu)中的轉(zhuǎn)動副均選用直圓型柔順鉸鏈，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。圖4中，b為柔順鉸鏈寬度，mm；R為直圓型柔順鉸鏈缺口半徑，mm；t為柔順鉸鏈最小厚度，mm。定位平臺輸出端運動取決于柔順鉸鏈中間薄弱部位的彎曲變形，剛性桿則要有足夠的強度[12]。鋁合金、鈦合金、鈹青銅等高強度材料是制造柔順機構(gòu)的常用材料。7075鋁合金相比其他常用材料具有價格低、密度小和易制造等優(yōu)點，因此柔順機構(gòu)選用7075鋁合金為材料。7075鋁合金的部分性能參數(shù)見表1。

圖4 直圓型柔順鉸鏈結(jié)構(gòu)

表1 7075鋁合金的部分性能參數(shù)

2 放大機構(gòu)靜力學(xué)模型

分析平面柔順機構(gòu)的靜力學(xué)模型，僅需考慮該柔順機構(gòu)在平面內(nèi)的變形。在單個鉸鏈的局部坐標(biāo)系下，鉸鏈末端的單元節(jié)點載荷用廣義力矩陣Ws表示，Ws=[FxsFysMzs]T。式中，F(xiàn)xs、Fys分別為柔順鉸鏈末端受到x、y方向上的力，N；Mzs為鉸鏈末端繞z方向的力矩，N·μm。受廣義力作用產(chǎn)生的x、y方向的位移和繞z的轉(zhuǎn)角用變形矩陣Ts=[ΔxsΔysΔzs]T表示。式中，Δxs、Δys分別為鉸鏈末端在x、y方向上的位移，μm；Δzs為鉸鏈末端繞z方向的轉(zhuǎn)角，（°）。柔度矩陣用Cs表示。鉸鏈變形矩陣、柔度矩陣和廣義力矩陣的關(guān)系見式（1）。

根據(jù)直圓型柔順鉸鏈的設(shè)計計算公式[13]，柔度矩陣中各元素值可用式（2）表示。

式中，E為7075鋁合金的彈性模量，取值71 GPa；G為7075鋁合金剪切模量，取值27 GPa。

復(fù)雜的柔順機構(gòu)參數(shù)較多，靜力學(xué)求解表達式冗長，利用矩陣可以更直觀地表示機構(gòu)靜力學(xué)模型。根據(jù)路徑搜索法[14]建立如式（3）所示的柔順放大機構(gòu)靜力學(xué)方程。

式 中，Hx、Hy分 別 為 各 鉸 鏈 輸 入 端 在x、y方 向 的輸入載荷矩陣，N；Iz為各鉸鏈輸入端在z方向的轉(zhuǎn)矩矩陣，N·μm；Fx、Fy分別為各鉸鏈輸出端受到x、y方向的力，N；mx、my分別為剛性桿位置矢量，μm；nx、ny分別為鉸鏈位置矢量，μm；Mz為各鉸鏈輸出端轉(zhuǎn)矩矩陣，N·μm；Q為剛性桿與柔順鉸鏈的相關(guān)性矩陣；Q+為剛性桿與柔順鉸鏈的正相關(guān)矩陣。Q、Q+可分別表示為：

基于圖1，用四種不同顏色的曲線表示輸入端到輸出端的四條路徑，連接同一剛性桿接入不同路徑中的輸入端、輸出端，并用a、b、c區(qū)分同一剛性桿在不同路徑中的連線，如圖5所示。

結(jié)合圖5中參數(shù)，在總體坐標(biāo)系下，式（3）中各項可表示為：

圖5 柔順放大機構(gòu)1/2模型路徑圖

圖5中各路徑的輸入、輸出位移關(guān)系可用如式（4）所示的幾何變形方程表示。

其中，Δm、Δn的表達式見式（5）。

式中，S為路徑相關(guān)矩陣；Δyin、Δyout分別為輸入端、輸出端位移矢量，μm；Δm、Δn分別為各剛性桿和柔順鉸鏈的位移矢量，μm；L為各剛性桿長度，mm；αs為鉸鏈與水平方向初始夾角，（°）；ωs為剛性桿與水平方向初始夾角，（°）；Δxs、Δys分別為柔順鉸鏈在整體坐標(biāo)系下x、y方向的位移，μm。S可表示為：

矩陣中4行代表4條路徑，前12列表示模型中12根剛性桿，后9列表示9個柔順鉸鏈，剛性桿或鉸鏈在對應(yīng)路徑中即為1，反之為0。

通過幾何變形方程求解得到差動式柔順放大機構(gòu)的輸出位移放大比A，其表達式見式（6）。

3 機構(gòu)參數(shù)優(yōu)化及驗證

3.1 參數(shù)敏感度分析

篩選對優(yōu)化目標(biāo)敏感度較高的參數(shù)進行優(yōu)化可以減少計算量。在輸入位移為30 μm的條件下，對柔順放大機構(gòu)45個參數(shù)與輸出位移敏感度進行分析，隨機生成100個樣本。隨機樣本的最大輸出位移-最大應(yīng)力散點圖、一階和二階擬合圖見圖6。

圖6 隨機樣本的最大輸出位移-最大應(yīng)力關(guān)系曲線

由圖6可以看出，所有樣本的最大應(yīng)力約為240.00 MPa，遠小于材料的屈服強度455.00 MPa。因此，僅篩選對輸出位移敏感度絕對值大于0.2的參數(shù)進行優(yōu)化。對輸出位移敏感度的絕對值大于0.2的10個參數(shù)如圖7所示，其敏感度見表2。

圖7 對輸出位移敏感度絕對值大于0.2的10個參數(shù)

表2 對輸出位移敏感度的絕對值大于0.2參數(shù)的敏感度

3.2 機構(gòu)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

為保證柔順放大機構(gòu)的安全性，最大應(yīng)力應(yīng)留有一定安全裕度，取安全裕度為0.5，安全系數(shù)Sf為1.5。柔順放大機構(gòu)最大應(yīng)力應(yīng)滿足式（7）。

式中，σmax為材料的許用應(yīng)力，MPa；[σ]為材料的屈服強度，取值455.00 MPa；Sf為安全系數(shù)，取值1.5。

將差動式柔順放大機構(gòu)的位移放大比作為機構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)，以靜力學(xué)方程、幾何方程及機構(gòu)中的尺寸限制關(guān)系為約束條件，對10個參數(shù)建立優(yōu)化模型：

通過MATLAB優(yōu)化工具箱中fmincon模塊，對模型進行優(yōu)化，并將優(yōu)化后數(shù)值保留至小數(shù)點后一位，10個參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果見表3。

表3 10個參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果

3.3 優(yōu)化結(jié)果檢驗

將優(yōu)化前放大機構(gòu)1/2模型導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中，按0.5 mm劃分六面體網(wǎng)格，設(shè)置輸入位移為30.00 μm進行靜力學(xué)分析，結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出，優(yōu)化前柔順放大機構(gòu)輸出端位移為525.55 μm，y方向位移仿真值為482.44 μm，最大應(yīng)力仿真值為209.72 MPa。

圖8 優(yōu)化前柔順放大機構(gòu)靜力學(xué)分析

將優(yōu)化后的放大機構(gòu)1/2模型導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中，設(shè)置相同的約束條件進行了靜力學(xué)分析，結(jié)果如圖9所示。由圖9可以看出，優(yōu)化后柔順放大機構(gòu)輸出端最大位移的仿真值為648.37 μm；y方向位移的仿真值為595.36 μm；最大應(yīng)力的仿真值為239.83 MPa，出現(xiàn)在圖8（c）中最大應(yīng)力探針?biāo)疚恢谩?yōu)化后輸出端位移增加112.92 μm，較優(yōu)化前提升23.41%；最大應(yīng)力較優(yōu)化前增加30.11 MPa，提高14.36%，但遠小于材料的許用應(yīng)力303.00 MPa，不影響柔順放大機構(gòu)的可靠性和安全性，證明優(yōu)化結(jié)果具有準(zhǔn)確性及可行性。

圖9 優(yōu)化后柔順放大機構(gòu)靜力學(xué)分析

根據(jù)式（4）求解可得，優(yōu)化后柔順放大機構(gòu)輸出位移計算值為654.61 μm，與仿真分析結(jié)果的誤差為9.95%。

誤差產(chǎn)生的原因：在理論計算中未考慮剛性桿產(chǎn)生的微小形變，多級差動桿組也會使誤差增大；網(wǎng)格劃分細致程度也會對仿真結(jié)果產(chǎn)生影響。綜合可知，靜力學(xué)方程計算值與仿真值的誤差較小，表明該靜力學(xué)方程與仿真結(jié)果具有較好的一致性。

3.4 微納定位平臺性能分析

微納定位平臺中三個柔順放大機構(gòu)支鏈采用相互正交的裝配方式并聯(lián)到動、靜平臺，使定位平臺具有三個平動自由度。為降低耦合位移、寄生轉(zhuǎn)角對機構(gòu)定位的影響，需對放大機構(gòu)添加導(dǎo)向機構(gòu)和解耦機構(gòu)。添加的解耦機構(gòu)如圖10所示。由圖10可以看出，解耦鉸鏈與柔順放大機構(gòu)中其他鉸鏈呈相互垂直關(guān)系，柔順鉸鏈參數(shù)與其他鉸鏈相同，可以從理論上保證動平臺與靜平臺保持平行。導(dǎo)向機構(gòu)剛性桿長30 mm，可以消除柔順放大機構(gòu)輸出端轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的水平方向位移對動平臺產(chǎn)生的影響，使動平臺實現(xiàn)僅在一個方向上移動。

圖10 放大機構(gòu)中添加的解耦機構(gòu)

輸入y方向位移時y方向的輸出位移如圖11所示。由圖11可以看出，當(dāng)一個放大機構(gòu)單獨作用時，輸出方向位移仿真值為391.42 μm，放大倍數(shù)達到13.05。通過實驗可知，其他兩個方向的耦合位移分別為5.85 μm和25.56 μm，耦合轉(zhuǎn)角為0.007 7°，耦合位移可以通過控制另外兩個方向輸入位移加以平衡，耦合轉(zhuǎn)角極小，證明該平臺輸出具有較好的線性度，可靠性較高。

圖11 輸入y方向位移時y方向的輸出位移

4 結(jié)論

設(shè)計了一種多級差動式柔順放大機構(gòu)，正交裝配成微定位平臺。建立了柔順放大機構(gòu)1/2模型靜力學(xué)方程及幾何變形方程，利用ANSYS Workbench軟件篩選出對輸出位移敏感度較高的10個參數(shù)，建立了關(guān)于位移放大比的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，利用MATLAB軟件優(yōu)化工具箱中fmincon模塊進行了優(yōu)化。優(yōu)化后柔順放大機構(gòu)輸出位移仿真值為595.36 μm，較優(yōu)化前提高了23.41%，證明了優(yōu)化的可行性。根據(jù)幾何變形方程求解的輸出位移為654.61 μm，與仿真結(jié)果的誤差為9.95%，證明幾何變形方程具有較好的準(zhǔn)確性。對裝配體進行仿真得到單方向的輸出位移可以達到391.42 μm，位移放大比為13.05，耦合轉(zhuǎn)角為0.007 7°，機構(gòu)的行程和位移放大比較大，耦合轉(zhuǎn)角極小，可以滿足大行程精密定位需求。