多包數(shù)據(jù)丟失的廣義網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的輸出反饋控制

王佳

摘要：針對(duì)廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，該文研究了其同時(shí)具有測(cè)量和控制數(shù)據(jù)丟失的問(wèn)題。首先把廣義系統(tǒng)進(jìn)行等價(jià)變換使其變?yōu)檎Ｏ到y(tǒng)。然后采用滿足Bernoulli分布的隨機(jī)變量來(lái)描述多測(cè)量和多控制數(shù)據(jù)包的隨機(jī)丟失問(wèn)題。設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足給定的性能約束。利用矩陣不等式方法給出了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器存在的充分條件。采用改進(jìn)的CCLM算法給出了輸出反饋控制器設(shè)計(jì)參數(shù)的求解方法。最后數(shù)值例子表明了所提設(shè)計(jì)方法的有效性。

關(guān)鍵詞：廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng);多包丟失;[H∞]控制;線性矩陣不等式;改進(jìn)CCLM（Cone Complementarity Linearization Algorithm）算法

中圖分類號(hào)：TP13? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）20-0028-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Abstract： In this paper， the control with both multiple measurement and control packets dropouts for descriptor systems is investigated. Firstly， the descriptor systems are transferred to the normal systems. Then two independent Bernoulli distributed white sequence are used to describe the multiple measurement and control packet dropouts. An output controller is designed to make the systems stable and achieve the prescribed disturbance attenuation level. A sufficient condition for the existence of the dynamic output feedback controller is presented via matrix inequalities. The extended CCLM algorithm is applied to solve the parameters of the controller. Finally， an example is provided to illustrate the usefulness of the design method.

Key words： descriptor networked systems; multiple packet dropouts; [H∞] control; LMI; extended CCLM algorithm

1 背景

廣義系統(tǒng)，又稱奇異系統(tǒng)或微分代數(shù)系統(tǒng)，是一類涵蓋正常系統(tǒng)的更一般化的動(dòng)力系統(tǒng)。它大量地出現(xiàn)在許多實(shí)際的系統(tǒng)模型中，例如電力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、宇航系統(tǒng)等。近幾年來(lái)，廣義系統(tǒng)已經(jīng)成為人們研究的熱點(diǎn)[1-4]。廣義系統(tǒng)是對(duì)正常系統(tǒng)的推廣，是比正常系統(tǒng)更具廣義意義的系統(tǒng)，具有許多正常系統(tǒng)沒(méi)有的特性。同時(shí)它在結(jié)構(gòu)上變得更加復(fù)雜，在理論研究上也更具有挑戰(zhàn)。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是將系統(tǒng)各組件 （傳感器、控制器、執(zhí)行器）之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)交換信息。在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)傳輸通過(guò)傳感器到控制器和從控制器到執(zhí)行器。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型可以看作開關(guān)的隨機(jī)開關(guān)模式。當(dāng)開關(guān)打開時(shí)，輸出保持在前一次的數(shù)值，數(shù)據(jù)包丟失。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)發(fā)生故障或是網(wǎng)絡(luò)擁塞時(shí)，則系統(tǒng)會(huì)發(fā)生數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象。數(shù)據(jù)包丟失通常是隨機(jī)現(xiàn)象。由于隨機(jī)的數(shù)據(jù)包丟失，使得傳統(tǒng)估計(jì)和控制方法不能直接應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)當(dāng)中。同時(shí)，數(shù)據(jù)丟失會(huì)降低系統(tǒng)的性能，使得系統(tǒng)的濾波和估計(jì)更具有挑戰(zhàn)性。目前對(duì)于數(shù)據(jù)丟失問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了一些成果[5-10]。但主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)丟包問(wèn)題的濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題。關(guān)于多包丟失的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題的研究還比較少。并且關(guān)于廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的數(shù)據(jù)丟失的研究成果還鮮見報(bào)道。

本文針對(duì)一類廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)同時(shí)具有測(cè)量數(shù)據(jù)丟失和控制數(shù)據(jù)具有多包丟失的情況進(jìn)行了研究，給出了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。并利用改進(jìn)CCLM算法，給出了控制器參數(shù)的求解方法。

2 廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的建模

考慮如下具有多包丟失的廣義離散不確定系統(tǒng)：

其中[x（k）∈?n]是狀態(tài)向量，[w（k）∈?r]是外部干擾信號(hào)，[z（k）∈?q]是系統(tǒng)的被調(diào)輸出，[uF（k）∈?m]是執(zhí)行器接收到的控制信號(hào)，[y（k）∈?p]是傳感器的測(cè)量信號(hào)。矩陣為系統(tǒng)相應(yīng)維數(shù)定常矩陣， 并且[rank{E}

其中[Prob{?}]代表事件[?]的概率[E{α（k）}]代表對(duì)隨機(jī)變量[α（k）]數(shù)學(xué)期望，[E{β（k）}]代表對(duì)隨機(jī)變量[β（k）]數(shù)學(xué)期望，[α]和[β]是已知的正數(shù)。[α（k）]和[β（k）]是相互獨(dú)立的。執(zhí)行器和傳感器的多包丟失情況可以分別表示為其中[u（k）∈?m]控制器輸出的信號(hào)，[yF（k）∈?p]是傳感器的測(cè)量信號(hào)。

由文獻(xiàn)[1]可得關(guān)于廣義系統(tǒng)的如下基本定義和定理。

定義1：如果系統(tǒng)滿足：[detsE-A]不恒等于零，則稱系統(tǒng)是正則的。

定義2：若矩陣對(duì)[E，A]正則、穩(wěn)定、因果，則對(duì)應(yīng)的廣義系統(tǒng)是容許的。

定義3：如果離散廣義系統(tǒng)正則，[ degdetzE-A=r]，則存在非奇異矩陣[P1]，[Q1]，使得

定義4：等價(jià)變換的兩個(gè)系統(tǒng)完全等價(jià)。

引理1：第二種受限等價(jià)系統(tǒng)因果，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诙N受限等價(jià)變換中[A22∈R（n-r）×（n-r）]可逆。

增廣的狀態(tài)向量為：

對(duì)系統(tǒng)（5），設(shè)計(jì)如下全階動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器：

其中[x（k）∈Rn]是控制器的狀態(tài)，[AF]，[BF]， [CF]是待設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)。定義增廣狀態(tài)[x（k）=x（k）x（k）]，由（5）和（6）得閉環(huán)系統(tǒng)為：

本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)是針對(duì)系統(tǒng)（5）設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器（6），使得對(duì)于所有容許的測(cè)量數(shù)據(jù)和控制數(shù)據(jù)丟失，閉環(huán)系統(tǒng)（7）滿足如下性能：1）當(dāng)外部干擾[wk=0]時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。2）在零初始情況下，滿足性能指標(biāo)，即在零初始條件下，被控輸出滿足[k=0∞E{‖z（k）‖}<γ2k=0∞E{‖w（k）‖}]，其中[γ>0]是標(biāo)量。

3 主要結(jié)果

定理1：給定[γ>0]，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定且滿足[H∞]性能約束的充分條件是存在正定對(duì)稱陣P使得下式成立：

由Schur補(bǔ)引理知定理1成立，則[Ω<0]，閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足性能約束。

基于定理1， 如下定理給出使得閉環(huán)系統(tǒng)）漸近穩(wěn)定，并且滿足性能約束的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的存在充分條件和設(shè)計(jì)方法。

定理2：給定[γ>0]，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定且滿足[H∞]性能約束的充分條件是存在正定對(duì)稱陣[S，Q，V，R，Q1，Q2，Q3]使得[Ξ1*Ξ2Ξ3<0]成立，其中證明：首先， 對(duì)正定對(duì)稱陣P和[P-1]進(jìn)行分解，[P=RX12XT12X22，P-1=SY12YT12Y22]。進(jìn)行合同變換并根據(jù)Schur補(bǔ)定理可知控制器存在，并由兩個(gè)等式約束。這一問(wèn)題我們可以用改進(jìn)的CCLM方法進(jìn)行求解。改進(jìn)的CCLM算法如下：第一步： 給定最大迭代次數(shù)N，誤差精度為[?];第二步： 尋找滿足定理2和兩個(gè)等式的一組解，并令[V（k）=V， S（k）=S， Q（k）=Q， R（k）=R， γmin=γ， k=0];第三步：尋求最優(yōu)解[Q， Q， Q， V， S， Q， R]使得具有半正定約束的目標(biāo)函數(shù)最小[mintrace（VS（k）+V（k）S+trace（QR（k）+Q（k）R）+δ， δ=γ2];第四步： 若該解滿足等式，并且[|trace（VS（k）+V（k）S）+trace（QR（k）+Q（k）R）-4（n+m+p）|≤?]，則[γmin=min{γmin，γ}];第五步： 若k>N，則最優(yōu)解為[γmin]迭代結(jié)束;第六步： 令[V（k）=V， S（k）=S， Q（k）=Q， R（k）=R]，[k=k+1]，返回第三步。本文對(duì)CLMM算法的改進(jìn)，減少了其保守性。

4 仿真例子

考慮形如（1）的廣義系統(tǒng)模型， 其中：

[B2=-0.042-0.021，C2=1.40.800，D11=0.50.5，D12=0.960.98，D21=1.6]。假設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)丟失的概率0.1;控制數(shù)據(jù)丟失的概率0.2;迭代次數(shù)N=200，則根據(jù)上述算法可得到最優(yōu)解為[γ=0.2044]，此時(shí)的控制器參數(shù)為：

5 結(jié)論

本文針對(duì)廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)研，究其具有多包數(shù)據(jù)丟失的問(wèn)題。給出了在控制數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)均有丟失的情況下，動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)的控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足較好的性能約束。并利用改進(jìn)的CCLM算法，給出了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的求解方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張慶靈， 楊冬梅. 不確定廣義系統(tǒng)的分析與綜合[M]. 沈陽(yáng)： 東北大學(xué)出版社， 2003.

[2] Xu S， Lam J. Robust control and filtering of singular systems[M]. Berkub， Germany： Springer， 2006.

[3] Carlos E， Souza D， Barbosa A， et al. Robust filtering for uncertain linear discrete-time descriptor systems[J]. Automatica， 2008（44）： 792-798.

[4] Lee C， Fong I. H Filter design for uncertain discrete-time singular systems via normal transform[J]. Circuits systems signal processing， 2006， 25（4）： 525–538.

[5] Sahebsara M， Chen T， Shah S L. Optimal H Filtering in networked control systems with multiple packet dropout[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2007， 52（8）： 1508-1513.

[6] Sahebsara M， Chen T， Shah S L. Optimal $H_2$ Filtering with random sensor delay， multiple packet dropout and uncertain observations[J]. International Journal of Control， 2007， 80（2）： 292-301.

[7] Sun S， Xie L， Xiao W， et al. Optimal linear estimation for systems with multiple packet dropouts[J]. Automatica， 2008， 44（5）： 1333-1342.

[8] Wang Z， Yang F， Ho D W C， et al. Robust H Control for networked systems with random packet losses[J]. IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics Part B， 2007， 37（4）： 916-924.

[9] Wu J， Chen T. Design of networked control systems with packet dropouts[J]. IEEE Transactions～on Automatic Control， 2007， 52（7）： 1314-1319.

[10] Yang F， Wang Z， Ho D W C， et al. Robust H control with missing measurements and time-delays[Z].

【通聯(lián)編輯：謝媛媛】