解析2017年湖北省預(yù)賽試題第2題

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題(高二)第2題為：已知正項等比數(shù)列{an}滿足a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，則a9+a8+a7的最小值為.

這是一道看似平淡無奇實(shí)則蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富的數(shù)列最值題，題面簡潔，立意新穎，構(gòu)思巧妙，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，設(shè)計精巧，很有創(chuàng)意，讓人賞心悅目，引起筆者極大的探究興趣，值得深入解析.

解析1 設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，

∵an>0，∴q>0.

∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，

∴q3(a3+a2+a1)-(a3+a2+a1)=49，

∵a3+a2+a1>0，∴q3>1，

∴f(t)≥49×(2+2)=196，

綜上，a9+a8+a7的最小值為196.

解析4設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，

∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，

∴a1q5+a1q4+a1q3-a1q2-a1q-a1=49，

∴a1q3(q2+q+1)-a1(q2+q+1)=49，

∴a1(q2+q+1)(q3-1)=49.

以下略，解法同上述解析1、解析2、解析3.

解析1是運(yùn)用等比數(shù)列{an}的性質(zhì)an=amqn-m，通過代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于公比q的函數(shù).解析4是運(yùn)用等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1，通過代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于公比q的函數(shù).解析1、解析2，解析3、解析4的共同核心都是回歸到函數(shù)問題.