基于模糊函數(shù)的MIMO雷達(dá)跳頻相位編碼波形設(shè)計

劉錦 楊德貴 梁步閣 朱政亮 趙銳

( 中南大學(xué)航空航天學(xué)院， 長沙 410083)

與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比，MIMO雷達(dá)的特性具有多種優(yōu)勢：(1) 通過發(fā)射正交波形，在發(fā)射端形成低增益的寬波束，降低了雷達(dá)的截獲概率；(2) 照射面積廣，便于進(jìn)行多目標(biāo)跟蹤；(3) 通過對正交信號回波的處理，可得到比發(fā)射陣元數(shù)目更多的觀測通道；(4) 抑制目標(biāo)閃爍問題。這些特性的實現(xiàn)和波形的正交性密切相關(guān)，正交波形設(shè)計是MIMO雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計中至關(guān)重要的部分[1-3]。

除線性調(diào)頻信號外，MIMO雷達(dá)發(fā)射的其他信號都可以視為由多個子脈沖組成，各個子脈沖間以一定間隔組成脈沖串，或前后無間隔相連組成大脈沖信號予以發(fā)射。通過對各子脈沖信號的頻率、相位、時寬進(jìn)行編碼來實現(xiàn)正交[4]，相位編碼和頻率編碼是最常用的正交編碼方式。國內(nèi)外學(xué)者針對這兩種編碼方式，特別是在其優(yōu)化算法方面作了較多研究，但是將兩者結(jié)合起來的研究較少。文獻(xiàn)[5]中從發(fā)射方向圖的角度，研究了正交頻分相位編碼信號(OFD-PC)。文獻(xiàn)[6]中通過混沌系統(tǒng)來生成頻率相位編碼信號。大多數(shù)研究采用的是單一編碼方式中常用的自相關(guān)函數(shù)及互相關(guān)函數(shù)的一次、二次組合，而基于模糊函數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則、目標(biāo)函數(shù)方面的研究很少。因此，我們希望展開對跳頻相位編碼信號的模糊函數(shù)推導(dǎo)研究。

本次研究中，引入文獻(xiàn)[7]中MIMO雷達(dá)收發(fā)模型的思路，對跳頻相位編碼信號的模糊函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，并進(jìn)行仿真驗證和分析。正交波形設(shè)計可分為目標(biāo)函數(shù)設(shè)計部分和序列最優(yōu)化設(shè)計部分，本次設(shè)計即包括這兩部分。目標(biāo)函數(shù)設(shè)計決定了對波形特性的需求，而最優(yōu)化設(shè)計則決定了運算的效率以及波形的性能精度。

1 基于模糊函數(shù)的MIMO雷達(dá)多參數(shù)目標(biāo)函數(shù)推導(dǎo)

目前，MIMO雷達(dá)的評價準(zhǔn)則主要有模糊函數(shù)、發(fā)射放線圖、信噪比、信息和估計理論等準(zhǔn)則。其中，模糊函數(shù)是衡量雷達(dá)系統(tǒng)分辨率性能的重要工具，它反映了系統(tǒng)對距離-多普勒域相鄰目標(biāo)的分辨能力[8]，在信號檢測、參數(shù)估計、波形設(shè)計、性能評估等方面得到了廣泛應(yīng)用。模糊函數(shù)的本質(zhì)就是信號經(jīng)過匹配濾波后的輸出，因此，我們先從MIMO雷達(dá)收發(fā)模型開始進(jìn)行分析。

假設(shè)MIMO雷達(dá)為M發(fā)N收，并且其發(fā)射和接收天線為線陣排列的簡單形式。在圖 1所示MIMO雷達(dá)收發(fā)模型中，M個發(fā)射天線和N個接收天線在同一條直線上。 將第m個發(fā)射天線位置記為xtm，第n個接受天線位置記為xrn，第i個天線發(fā)射的信號記為ui(t)。

圖1 MIMO雷達(dá)收發(fā)模型

在一個點目標(biāo)下，點目標(biāo)到發(fā)射天線的距離為τ·c2，多普勒頻率影響為ν，發(fā)射天線位置的影響對應(yīng)歸一化空間頻率fs[7]，記作(τ,ν,fs)。可以將第n個天線目標(biāo)響應(yīng)記作：

(1)

其中，um(t)為第m個發(fā)射天線的發(fā)射信號。根據(jù)N個接收天線收到信號后匹配濾波器的輸出，定義模糊函數(shù)：

(2)

當(dāng)(τ,ν,fs)=(τ′,ν′,fs′)時，發(fā)射信號和濾波器完全匹配，輸出的信號信噪比最大；否則，會產(chǎn)生失配現(xiàn)象。代入信號，得到：

(3)

其中，第一部分包含接收天線的位置信息，但和雷達(dá)的發(fā)射信號um(t)無關(guān)。 第二部分包含um(t)、發(fā)射天線的位置、時延、多普勒頻率、歸一化空間頻率，對系統(tǒng)的距離及其多普勒性能有影響。因此，研究主要集中在第二部分，將其定義為MIMO雷達(dá)模糊函數(shù)：

(4)

在此模糊函數(shù)的基礎(chǔ)上，代入不同的發(fā)射波形將得到不同的目標(biāo)函數(shù)，以最小化次函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計就可以得到相應(yīng)的波形。而且，若將其中求和項中與t有關(guān)的項提出來，即

這部分就是發(fā)射信號的相關(guān)函數(shù)。當(dāng)m=m′時為自相關(guān)，當(dāng)m≠m′時為互相關(guān)。本次研究的模糊函數(shù)在考慮了相關(guān)函數(shù)的情況下綜合了發(fā)射天線的位置信息。針對跳頻相位編碼信號進(jìn)行設(shè)計，跳頻編碼信號如式(5)：

(5)

由于實際實現(xiàn)時有一定的復(fù)雜度，帶寬和持續(xù)時間一般都較小，其信號屬于多普勒敏感信號，無法測量速度過大的物體。νTp很小，ej2πνt可視為實數(shù)1。代入跳頻相位編碼信號，可得式(6)和式(7)：

(6)

χrect(τ-(q′-q)Δt,(cmq-cm′q′)Δf)

(7)

可以看出，式(6)中第二項只與信號的脈寬有關(guān)，而與信號的具體調(diào)制信息無關(guān)，因此目標(biāo)函數(shù)定義如式(8)：

χrect(τ-(q′-q)Δt,(cmq-cm′q′)Δf)

(8)

其中：

χrect(τ,ν)1[0,Δt)(t)·1[0,Δt)(t+τ)ej2πνtdt

(9)

可以看出式(8)中第一項ej(φq-φq′)與載波相位有關(guān)，第二項e-j2πcm′q′Δfτ與載波頻率調(diào)制有關(guān)，第三項ej2π(cmq-cm′q′)qΔt與發(fā)射天線位置有關(guān)。若令cmq=cm′q′=1，則相位頻率編碼信號退化為相位編碼信號，模糊函數(shù)退化為相位編碼模糊函數(shù)；若令φq=φq′=0，則相位頻率編碼信號退化為調(diào)頻編碼信號，模糊函數(shù)退化為調(diào)頻編碼信號模糊函數(shù)。可以對相位頻率按式(10)(11)進(jìn)行單獨優(yōu)化和聯(lián)合優(yōu)化。

(10)

χrect(τ-(q′-q)Δt,(cmq-cm′q′)Δf)·

(11)

2 基于遺傳算法的優(yōu)化設(shè)計

確定目標(biāo)函數(shù)后，選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法對序列{φmq、cmq}進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。針對這種編碼位較多的組合優(yōu)化問題，現(xiàn)有的應(yīng)用算法主要有蒙特卡洛算法、遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法等。有研究表明，對于參數(shù)較多的組合優(yōu)化問題，精確求解全局最優(yōu)解的方法是不存在的。一般只能獲得搜索空間內(nèi)的最優(yōu)解，而優(yōu)化算法可以在一定程度上加快搜索速度，縮短達(dá)到同一精度要求所耗費的時間；甚至，對優(yōu)化算法的局部收斂問題進(jìn)行優(yōu)化，得到更大搜索范圍內(nèi)的最優(yōu)解，但這往往要耗費更多的計算時間。本次研究中，通過大量仿真實驗統(tǒng)計，采用經(jīng)典的200代遺傳算法將時間優(yōu)化為100～200 s。若對精度要求降低，并把迭代次數(shù)降為50代，運算時間可略微縮短，但仍在10 s量級，無法實現(xiàn)實時優(yōu)化，離實際應(yīng)用要求有較大差距。因此，我們的工作側(cè)重于對目標(biāo)函數(shù)的推導(dǎo)和仿真波形性能的分析，只選用最經(jīng)典的遺傳算法來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。遺傳算法框圖如圖2所示。

圖2 遺傳算法框圖

在SIMO雷達(dá)中，理想的模糊函數(shù)為圖釘狀。由式(8)可以看出，MIMO雷達(dá)的模糊函數(shù)在Ω(0,fs,fs)處達(dá)到峰值。為了使函數(shù)的波峰盡量陡峭，將代價函數(shù)fp(C)定義為峰值的陡峭程度，用Ω(τ,fs,fs′)的p階來表示，優(yōu)化時只需盡量使其最?。?/p>

(12)

3 仿真實驗與結(jié)果分析

采用4發(fā)4收MIMO雷達(dá)，天線以等間距線陣的簡單方式排列，發(fā)射位置坐標(biāo)分別為(-3,0)、(-1,0)、(1,0)、(3,0)，遺傳算法設(shè)置參照以上參數(shù)。

3.1 有效性驗證

將式中cmq=cm′q′=1，子脈沖個數(shù)為40的相位編碼信號，采用4相位編碼。種群經(jīng)過遺傳迭代優(yōu)化后選取最優(yōu)解，得到相位編碼序列(見表1)。

正交信號的自相關(guān)和互相關(guān)特性，直接決定了MIMO雷達(dá)的目標(biāo)檢測性能。通常，在不考慮位置信息和其他復(fù)雜條件的情況下，為了降低虛警和弱小目標(biāo)被掩蓋的漏警概率，要求發(fā)射信號具有較低的自相關(guān)旁瓣。為了保證不同天線發(fā)射信號之間的有效分離，要求發(fā)射信號具有較低的互相關(guān)旁瓣。表2中主對角線上數(shù)值為最大自相關(guān)旁瓣(ASP值)，非主對角線數(shù)值為最大互相關(guān)(CP值)。表3所示為本研究方法和文獻(xiàn)[9]方法的ASP及CP參數(shù)對比。由表2可以看出，運用本方法設(shè)計的正交波形自相關(guān)函數(shù)沒有明顯的高旁瓣，自相關(guān)、互相關(guān)旁瓣電平都較低，具有較好的自、互相關(guān)性能。由表3可以看出，本次研究的平均ASP為0.290 1，平均CP為0.261 6，已達(dá)到和文獻(xiàn)[9]相當(dāng)?shù)乃健＿@就驗證了本方法的有效性。

表1 N=40,L=4,M=4的相位編碼信號優(yōu)化序列

表2 正交四相碼的ASP和CP

注：帶“*”數(shù)據(jù)為主對角線上的4個ASP值，其余數(shù)據(jù)為CP值

表3 兩種方法的平均ASP及平均CP

當(dāng)然，文獻(xiàn)[10]中對優(yōu)化算法作了進(jìn)一步優(yōu)化，并組成組合算法，以自相關(guān)、互相關(guān)函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，可以對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)一步完善，得到自相關(guān)性、互相關(guān)性更優(yōu)的優(yōu)化序列。

3.2 相關(guān)特性優(yōu)化分析

跳頻編碼或相位編碼信號能獲得較好的自相關(guān)和互相關(guān)特性，但是單一的編碼方式中編碼數(shù)量有限，而且正交性受單一體制的固有影響，因此，將跳頻和相位結(jié)合起來可以獲得更大的編碼選擇空間，并且其正交性也會得到進(jìn)一步改善。

本次研究是在跳頻編碼的基礎(chǔ)上加入相位編碼，獲得跳頻相位編碼信號，如圖3所示。圖3中，a 圖是文獻(xiàn)[7]跳頻編碼信號；b圖是本次加入相位的跳頻相位編碼信號，其中有部分區(qū)域信號幅值為固定電平。因為圖中表示的都是基帶信號，調(diào)制到載頻上幅值電平則體現(xiàn)為調(diào)制信號的初相位。

圖3 頻率相位編碼基帶信號時域圖

跳頻相位編碼、單一相位編碼、跳頻編碼信號的適應(yīng)度函數(shù)、相關(guān)函數(shù)特性如圖4所示。圖4中，a圖分別選用相碼為4、8、32、128時的優(yōu)化效果，縱坐標(biāo)為適應(yīng)度函數(shù)的幅度?？梢钥闯?，以本次研究的適應(yīng)度函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，跳頻相位編碼信號的優(yōu)化效果相對相位編碼，適應(yīng)度降低了0.6，相對頻率編碼信號降低了0.01。這是因為單一跳頻編碼信號的適應(yīng)度優(yōu)于相位編碼信號。本研究的目標(biāo)函數(shù)能同時對相位、跳頻、跳頻相位編碼信號進(jìn)行分析。b圖、c圖、d圖分別為單一相位編碼、跳頻編碼、跳頻相位編碼信號的相關(guān)特性圖，其相關(guān)函數(shù)如式所示。跳頻相位編碼信號相關(guān)函數(shù)比b圖中的相位編碼信號降低了10～20 dB，比c圖中的跳頻編碼信號降低了0.5 dB。這說明跳頻相位編碼信號融合了兩者的優(yōu)點，對兩種單一信號的正交性都有一定改善。

圖4 跳頻相位編碼目標(biāo)函數(shù)及相關(guān)函數(shù)改善圖

文中采用了多次不同的結(jié)合位置信息進(jìn)行分析，發(fā)射天線間距分別為1、2、5 m，其余參數(shù)相同，然后用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，其仿真結(jié)果如表4所示。對這一個適應(yīng)度函數(shù)最小的序列，根據(jù)不同發(fā)射天線計算其相應(yīng)的適應(yīng)度，如表5所示。

可以看出,當(dāng)天線位置從1 m到5 m逐漸加大時，適應(yīng)度函數(shù)的值也相應(yīng)地增大，盡管其差別較小。這也說明了在考慮到發(fā)射天線位置、目標(biāo)多普勒頻率和歸一化空間頻率時，發(fā)射天線間距越遠(yuǎn)，同一組發(fā)射波形的匹配濾波器的輸出在緩慢變?nèi)酰m然變化可能比較細(xì)微。

表4 正交32相碼波形序列

表5 天線位置間距與適應(yīng)度函數(shù)關(guān)系

究其原因，是因為隨著發(fā)射天線距離的增加，目標(biāo)的多普勒頻率、歸一化空間頻率的相對差異在變大。在圖5所示目標(biāo)多普勒頻率影響模型中，考慮了模型的簡化。當(dāng)兩個天線的距離加大時，其信號受到目標(biāo)運動速度帶來的多普勒頻率的影響的差異變大，對信號的正交性相應(yīng)會造成微弱的影響。同時，其歸一化空間頻率同理，在適應(yīng)度上的反映如表5所示。

圖5 目標(biāo)多普勒頻率影響模型

4 結(jié) 語

在本次研究中，針對MIMO雷達(dá)跳頻相位編碼信號，綜合考慮了信號參數(shù)(頻率及相位)、天線位置等多參數(shù)信息，基于模糊函數(shù)推導(dǎo)了正交波形設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。同時，采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得到一組具有良好自相關(guān)和互相關(guān)特性的波形,驗證了目標(biāo)函數(shù)設(shè)計的有效性，并對跳頻相位編碼信號、單一跳頻編碼、相位編碼信號的正交性進(jìn)行了對比。

仿真結(jié)果表明，基于本次推導(dǎo)的目標(biāo)函數(shù)的MIMO雷達(dá)正交波形不僅具有良好的正交性，還可提供天線位置等參數(shù)。跳頻相位編碼信號繼承了跳頻編碼與相位編碼的優(yōu)點，正交性比單一跳頻、相位編碼信號要好。通過仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)天線位置不同時，匹配濾波器的輸出會有細(xì)微的變化。在一定范圍內(nèi)，隨著天線間距加大，發(fā)射波形受多普勒頻率及歸一化空間頻率的影響而發(fā)生變化，推導(dǎo)的目標(biāo)函數(shù)值會有所降低。

本次推導(dǎo)的評價函數(shù)針對的是跳頻相位編碼信號，不適用于時空等更復(fù)雜的波形。在算法優(yōu)化方面，可以對遺傳算法予以改進(jìn)，加快其收斂速度和精度。