小學(xué)數(shù)學(xué)有效說題框架與案例剖析

趙洪貴，吳立寶

解決問題是學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法和技能技巧的獲得以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展的必備途徑。作為一名數(shù)學(xué)教師，會做題、能講題是其應(yīng)該具備的最基本的專業(yè)素養(yǎng)之一。會做題、能講題是教師數(shù)學(xué)專業(yè)知識的外顯化表現(xiàn)，反映一名教師邏輯思維能力、語言表達(dá)能力的強(qiáng)弱，它是成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的必要條件。數(shù)學(xué)說題活動，融合做題和講題，是提高教師綜合素養(yǎng)的有效途徑之一，能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)題的功能［1］［2］，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)知識、專業(yè)能力發(fā)展。所謂說題，就是教師依據(jù)例題或者數(shù)學(xué)問題，向聽者表述自己對這個問題的理解與思考。主要從學(xué)科知識分析、學(xué)生學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析、解題思路分析四個維度闡述。

以“將一個圓分成若干等份，拼成一個近似的長方形。已知長方形的長是6.28分米，圓的面積是多少平方分米？”問題為例來加以說明。

一、說題基礎(chǔ)——學(xué)科知識分析

學(xué)科知識包括學(xué)科的基本概念和基本原理，學(xué)科的探究方式、學(xué)科的發(fā)展趨勢，與該學(xué)科相關(guān)的學(xué)科知識等。［3］（P101）數(shù)學(xué)問題貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)過程，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的基本概念和基本原理。因此，教師首先要讀懂題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，這樣才能正確地把握教學(xué)的核心，進(jìn)而明確圍繞什么來教。教師要從四個方面深入解讀數(shù)學(xué)問題：第一，明確數(shù)學(xué)題的考查內(nèi)容；第二，找準(zhǔn)本題的教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)和重難點(diǎn)；第三，挖掘題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；第四，疏通與本題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

（一）明確數(shù)學(xué)題的考查內(nèi)容

數(shù)學(xué)問題是指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)的運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識去解決的問題。［4］（P13）因此解決數(shù)學(xué)問題的前提是要有數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識作為保障。當(dāng)一個教師面對一個數(shù)學(xué)問題時，首要是能獨(dú)立地、正確地將其解答出來。這樣做一能對題目有大致認(rèn)識和整體了解。二能確定學(xué)生在解題過程中可能遇到的困難。三能預(yù)判題目所應(yīng)采用的解題方法與技巧。其次，教師根據(jù)對題目的理解，細(xì)致梳理本題涉及的主要知識內(nèi)容，以便調(diào)動學(xué)生已有知識，幫助學(xué)生找到解題的方式方法。

在對上述題目進(jìn)行分析時，教師首先要明確本題屬于“圖形與幾何”知識領(lǐng)域內(nèi)容，涉及的數(shù)學(xué)知識是近似長方形和圓的關(guān)系、圓周長意義、圓面積意義、圓的周長公式和面積公式等。

（二）找準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題的教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)和重難點(diǎn)

何為解題教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)？即指教學(xué)此問題時起決定作用的知識和內(nèi)容，一般是新舊知識的聯(lián)系點(diǎn)。教師只有抓準(zhǔn)了關(guān)鍵點(diǎn)，將新知轉(zhuǎn)化為舊知，借助已有的認(rèn)知經(jīng)驗，才能順利解決新問題；與其相關(guān)的知識、方法、技能，在此過程中也就能順利地理解和掌握。“重點(diǎn)”是指教學(xué)內(nèi)容中最基本、最重要的知識和技能，而“難點(diǎn)”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)時難以理解或掌握的知識；學(xué)生易錯或者易混淆的內(nèi)容。教師對重點(diǎn)的正確理解和把握，反映出一個教師對教材的精準(zhǔn)研讀和良好的專業(yè)素養(yǎng)，而對難點(diǎn)的準(zhǔn)確定位和突破，則反映出一個教師對學(xué)生真實學(xué)情的了解和教師極強(qiáng)的綜合能力。

上題的關(guān)鍵點(diǎn)是找到轉(zhuǎn)化后長方形的長等于圓周長的一半。根據(jù)這個關(guān)鍵點(diǎn)學(xué)生可以計算出圓的半徑，繼而求出圓的面積。教師據(jù)此將教學(xué)重點(diǎn)定位為再次經(jīng)歷圓與長方形的轉(zhuǎn)化過程，理清圓與長方形轉(zhuǎn)化前后的內(nèi)在聯(lián)系，尤其是長方形的長和寬分別與圓的周長和半徑之間的等量關(guān)系。本題學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙是曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形后，圖形之間的相等關(guān)系。因此如何發(fā)展學(xué)生的空間想象觀念，幫助學(xué)生感悟化曲為直的思想，就是本題的教學(xué)難點(diǎn)。

（三）挖掘數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，對數(shù)學(xué)活動起著引領(lǐng)和導(dǎo)向的作用，它不等同于顯性的數(shù)學(xué)知識。［5］（P3）數(shù)學(xué)思想方法是思考數(shù)學(xué)問題和從數(shù)學(xué)角度思考問題的思想和方法，是長期的數(shù)學(xué)發(fā)展所積累的文化靈魂。［6］它是一種隱藏在學(xué)生學(xué)習(xí)過程之中，并悄悄地助推著學(xué)生深入學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)中，挖掘數(shù)學(xué)問題背后的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)從解決數(shù)學(xué)問題的過程入手。讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成過程，在理解重點(diǎn)和難點(diǎn)、掌握解題策略方法過程中挖掘領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題背后的數(shù)學(xué)思想方法，這既是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的需要，也是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要。

以上述題目為例，教師在分析時要發(fā)現(xiàn)并挖掘其背后的數(shù)學(xué)思想方法：首先，教師要幫助學(xué)生重溫圓面積公式的推導(dǎo)過程（如圖1），即知道將圓平均分成若干等份的小扇形，再將其插拼成一個近似的長方形，滲透化曲為直（圓面轉(zhuǎn)化成長方形）的轉(zhuǎn)化思想方法和極限的思想方法（圓能等分成若干個小扇形），借助信息技術(shù)促進(jìn)學(xué)生對上述過程的理解［7］；其次，對比圖形轉(zhuǎn)化前和轉(zhuǎn)化后的聯(lián)系，知道長方形的長與圓周長的一半是相等的關(guān)系，通過推理的方法找到半徑；最后，運(yùn)用圓面積公式這一數(shù)學(xué)模型求出面積。

圖1 圓面積公式的推導(dǎo)過程圖

（四）疏通與本題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)概念、公理、定理、法則和方法形成的知識體系，它是客觀存在的。［8］（P58）已學(xué)的知識點(diǎn)在學(xué)生記憶中就像一堆散落的樹葉。教師需要有意識地指導(dǎo)疏通，幫助學(xué)生建立各個零散知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，形成有序的知識架構(gòu)體系。這是解決問題的前提。

上題所涉及的數(shù)學(xué)知識是：長方形和圓等平面圖形的特征、圖形之間的轉(zhuǎn)化方法、圓的周長和面積公式的推導(dǎo)過程、計算圓周長和面積的方法。這些都是與之關(guān)聯(lián)但又零散的知識，教師要對其進(jìn)行梳理溝通，形成一個整體的平面圖形結(jié)構(gòu)體系圖（見圖2）。教學(xué)時，先幫助學(xué)生回憶長方形、正方形面積公式的推導(dǎo)過程。之后，回顧借助轉(zhuǎn)化的思想將多邊形面積轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形面積，將新知轉(zhuǎn)化為舊知，運(yùn)用推理思想建立面積公式模型。最后，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗來探索圓的面積，滲透化曲為直的轉(zhuǎn)化思想、極限思想、推理思想。從而使教學(xué)由點(diǎn)及面、由面穿線，達(dá)到融會貫通的效果。

圖2 平面圖形結(jié)構(gòu)體系圖

二、說題前提——學(xué)生學(xué)情分析

在數(shù)學(xué)問題分析時，做好學(xué)情分析至關(guān)重要。學(xué)情分析就是學(xué)習(xí)者特征分析，是學(xué)生在學(xué)習(xí)方面有何特點(diǎn)，學(xué)習(xí)方法怎樣，習(xí)慣怎樣，興趣如何，以及學(xué)習(xí)本題的有利因素和存在問題等。［9］（P34）主要包括：學(xué)習(xí)起點(diǎn)分析、潛在狀態(tài)分析、學(xué)生典型錯誤分析三部分。

（一）學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)分析

學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)即學(xué)生在學(xué)習(xí)此問題之前，已經(jīng)具備的知識基礎(chǔ)、認(rèn)知經(jīng)驗、生活經(jīng)驗等。奧蘇伯爾曾指出：“如果我們不得不將教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進(jìn)行教學(xué)?！保?0］（P121）

再以上一個數(shù)學(xué)問題為例，此題學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)是已經(jīng)學(xué)習(xí)有關(guān)長方形和圓的特征，掌握了長方形周長和面積公式、圓的周長和面積的計算公式。而這些知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)距離該題的時間相隔較長，所以教學(xué)前教師需要通過復(fù)習(xí)相關(guān)知識，來了解學(xué)生是否還記得這些平面圖形特征和圖形的周長以及面積公式，是否能熟練運(yùn)用這些公式解決問題，以此來確定教學(xué)的起點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。

（二）學(xué)生學(xué)習(xí)潛在狀態(tài)分析

潛在狀態(tài)就是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平情況的不同，在學(xué)習(xí)過程中可能存在的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀。也就是要根據(jù)學(xué)生的年齡特征、心理特點(diǎn)、認(rèn)知水平等做好生成的思想準(zhǔn)備。本題學(xué)生潛在狀態(tài)可能有以下幾個層級：第一層級的學(xué)生讀不懂題目，無任何思路；第二層級的學(xué)生知道圓與長方形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，但不能找到之間的等量關(guān)系；第三層級的學(xué)生能找到聯(lián)系，但無法運(yùn)用推理的方式尋找圓的半徑。教師根據(jù)這些層級做好預(yù)案，并在教學(xué)實際中調(diào)整自己的教學(xué)問題和教學(xué)活動，能夠最大程度地提高教學(xué)的實效性。

（三）學(xué)生典型錯誤分析

學(xué)生典型錯誤的呈現(xiàn)，直接反應(yīng)學(xué)生對此數(shù)學(xué)問題的思考與理解。透過這些典型錯誤，能發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決此問題時所暴露的認(rèn)知障礙。通過分析典型錯誤可以有效地找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)，確定合理的教學(xué)策略和方法。如，錯誤1：“6.28×2”。學(xué)生錯誤的原因是誤把圓的周長當(dāng)成了圓的面積，學(xué)生對于圓的周長和圓面積的意義理解不是很清楚。再如，錯誤2：“6.28×6.28”。此錯誤說明學(xué)生將長方形的長和寬都看成6.28，求出長方形的面積也就是圓的面積。這樣的學(xué)生是知道轉(zhuǎn)化后長方形的面積和圓的面積是相等的，但他們不清楚轉(zhuǎn)后長方形的寬是誰，學(xué)生沒有找到圖形轉(zhuǎn)化后相關(guān)條件之間的內(nèi)在聯(lián)系。

三、說題核心——教學(xué)目標(biāo)分析

所謂教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)將使學(xué)生發(fā)生何種變化的明確表述，是指在教學(xué)活動中所期待得到的學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果。［11］它既是教學(xué)的起點(diǎn)，也是教學(xué)的歸宿。要使教學(xué)目標(biāo)具有可測性和可實施性，必須體現(xiàn)知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀這三維課程目標(biāo)理念，并通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動有效達(dá)成。［12］［13］這三個方面，不是三個獨(dú)立的個體，它們是統(tǒng)一的不可分割的一個整體。

（一）知識與技能目標(biāo)分析

知識與技能目標(biāo)，就是通過教師的教和學(xué)生的學(xué)，讓學(xué)生了解、理解或掌握相關(guān)知識，并形成各種學(xué)習(xí)能力。在分析時，要從課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)要求和題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)兩方面來思考。將題目中包含的不同知識點(diǎn)，進(jìn)行有序分類。分清哪些知識只是了解，哪些需要理解，哪些又是必須掌握，同時還要明確在學(xué)習(xí)這些知識的過程中需要培養(yǎng)學(xué)生哪些技能與能力。如，上題的知識與技能目標(biāo)為：理解圓與近似長方形相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，知道轉(zhuǎn)化前與轉(zhuǎn)化后的相等關(guān)系；靈活運(yùn)用圓周長的公式，并能借助圓周長的一半求圓的半徑，進(jìn)一步鞏固圓面積的公式；培養(yǎng)學(xué)生分析和推理的能力以及應(yīng)用意識。這樣分析教學(xué)目標(biāo)不僅使其更加細(xì)化，而且具有可測性，能真正讓目標(biāo)在課堂教學(xué)中落地生根。

（二）過程與方法目標(biāo)分析

過程與方法目標(biāo)變“重視學(xué)習(xí)的結(jié)果”為“強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的歷程”，注重學(xué)習(xí)歷程的體驗和學(xué)習(xí)方法的內(nèi)化與掌握。過程與方法目標(biāo)貫穿于知識與技能、情感態(tài)度與價值觀的形成過程。對于學(xué)生而言，缺少過程與方法，就只能被動地接受前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的知識。教師機(jī)械地教，學(xué)生被動地學(xué)，學(xué)生之間便沒有了交往、活動、探究與合作，自然就遏制了學(xué)生的創(chuàng)造性，更談不上情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)，從而導(dǎo)致學(xué)生片面、畸形的發(fā)展。

過程與方法目標(biāo)的分析，要從教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”兩個層面進(jìn)行設(shè)計。教師的“教”要體現(xiàn)教學(xué)方法和策略。學(xué)生的“學(xué)”要體現(xiàn)學(xué)習(xí)的心路歷程，要有經(jīng)歷、有體驗、有思考、有分享地學(xué)。如，上一題的過程與方法目標(biāo)為：通過操作、觀察、比較等形式再現(xiàn)圓與近似長方形轉(zhuǎn)化的過程，滲透極限、轉(zhuǎn)化、以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法；借助圓與長方形特征，圓周長與面積公式等知識，經(jīng)歷自主探究、合作交流的過程，積累活動經(jīng)驗，感悟?qū)W習(xí)方法。這樣確定目標(biāo)使教師的教具有指導(dǎo)性，學(xué)生的學(xué)具有操作性。充分體現(xiàn)學(xué)生是課堂的主體，教師是課堂的主導(dǎo)。

（三）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)分析

數(shù)學(xué)情感態(tài)度與價值觀是指個體對數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)對象的喜好、立場觀念等。情感態(tài)度不僅指學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)信心，更重要的是樂觀的學(xué)習(xí)和生活態(tài)度、認(rèn)真務(wù)實的科學(xué)精神、寬容待人的優(yōu)秀品質(zhì)。價值觀不僅強(qiáng)調(diào)個人的價值、科學(xué)的價值、人類價值，更強(qiáng)調(diào)個人價值和社會價值的統(tǒng)一，科學(xué)價值和人文價值的統(tǒng)一，人類價值和自然價值的統(tǒng)一。讓學(xué)生內(nèi)心確立起對真善美的價值追求以及人與自然和諧、共同發(fā)展的理念。

上題的情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)分析，可以從學(xué)科自身特點(diǎn)、現(xiàn)代社會的發(fā)展需要、促進(jìn)學(xué)生終身學(xué)習(xí)等三個維度進(jìn)行闡述。如，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察、深入思考的良好思維品質(zhì)；激勵學(xué)生面對困難勇敢克服、鍥而不舍的精神；感受成功的喜悅、體驗學(xué)習(xí)的快樂。在本題中，當(dāng)學(xué)生遇到困難時教師要善于鼓勵、點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生深入思考，讓學(xué)生分享解答成功的喜悅，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，為今后的學(xué)習(xí)與生活起著助推的作用。

四、說題關(guān)鍵——解題思路分析

解題思路是一個由已知到結(jié)論的推理過程，是由線索到真相的分析。說解題思路能綜合考察教師的學(xué)科專業(yè)技能，教師要從學(xué)生的學(xué)習(xí)前提、認(rèn)知水平、接受能力等多角度思考不同的解題方法和策略。因為每一個學(xué)生都是獨(dú)立的個體，他們的認(rèn)知層次、學(xué)習(xí)水平、理解能力都不盡相同，因此要展現(xiàn)多種解題思路，讓學(xué)生選擇適合自己的解題方法，凸顯面向全體，尊重差異的理念。

再以上題為例，本題的解題思路可以從三個維度去思考。

方法1：從問題入手，要想求圓的面積先要找到圓的半徑。借助圓轉(zhuǎn)化成近似長方形后，長方形的長等于圓周長的一半這一關(guān)系，即長方形的長=圓周率×半徑，從而求得，半徑=長方形的長÷圓周率，再根據(jù)公式，求出圓的面積。

方法2：仍然從問題入手，要想求圓的面積先要找到圓的半徑。根據(jù)圓與長方形轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圓的周長等于長方形的兩個長，繼而根據(jù)圓周長的逆運(yùn)算，求出半徑，即半徑=長方形的兩個長÷圓周率÷2，再根據(jù)公式，求出圓的面積。

方法3：結(jié)合已知條件和問題的聯(lián)系尋求解題方法。因為轉(zhuǎn)化前圓的面積和轉(zhuǎn)化后長方形的面積是相等的，所以只要求出長方形的面積就是圓的面積。因此尋找長方形的寬就是解題的突破口。根據(jù)圓與長方形轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，長方形的寬就是圓的半徑，求圓的半徑可以借助方法1或方法2來求得，再根據(jù)長方形的面積=長×寬，求得長方形的面積，也就是圓的面積。

以上幾種解題思路分析可以適應(yīng)不同層次水平的學(xué)生，既拓寬學(xué)生的解題思路，又提高學(xué)生多角度思考問題的能力，讓學(xué)生舉一反三。

綜上，以一個案例，從學(xué)科知識分析、學(xué)生學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析、解題思路分析四個視角闡述數(shù)學(xué)說題，為教師提供一個有效進(jìn)行數(shù)學(xué)題分析的范例。這四個視角彼此聯(lián)系，相互依存。教師說題的精華在于要站在促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展的角度去思考如何設(shè)計數(shù)學(xué)問題、設(shè)計數(shù)學(xué)活動，借助數(shù)學(xué)題讓學(xué)生愛學(xué)習(xí)、會學(xué)習(xí)、善學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)知識，訓(xùn)練基本技能，積累解題經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。