挖掘數(shù)學(xué)教材習(xí)題內(nèi)涵實現(xiàn)高效教與學(xué)

邱炯亮

[摘? 要] 基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標準倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式. 教師引導(dǎo)學(xué)生對課本習(xí)題內(nèi)涵進行挖掘和再創(chuàng)造，對習(xí)題條件、結(jié)論、解法進行探究和變式，構(gòu)建相互聯(lián)系的知識體系，助力學(xué)生形成自主探索學(xué)習(xí)方式，實現(xiàn)高效教與學(xué).

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題;內(nèi)涵;探究;高效教學(xué)

基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標準倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式[1][2]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫也提供了各種不同形式的自主探索、合作交流等教學(xué)資源.新教材重視知識的產(chǎn)生與形成過程，內(nèi)容的安排大都以探究的形式鋪開，還設(shè)立了以探究為主的數(shù)學(xué)活動欄目.這些為培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和數(shù)學(xué)思維創(chuàng)造了有利條件.

教材提供的例子雖然有限，但教材是教學(xué)的基本參考資料，教師的教與學(xué)生的學(xué)都應(yīng)基于教材而高于教材來實現(xiàn)有效乃至高效教學(xué).課本習(xí)題是幫助學(xué)生形成自主探索學(xué)習(xí)方式的大寶藏.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去開發(fā)寶藏，對其進行再創(chuàng)造，盡量使習(xí)題的功能發(fā)揮最大價值.在具體操作上，可以在習(xí)題課的教學(xué)中對題目的條件、結(jié)論、解法進行拓展引申，通過變式教學(xué)構(gòu)建相互聯(lián)系密切的知識體系.

[?]對條件進行探究

例題1：（北師大版必修5，P91）已知不等式ax2+bx+c<0（a≠0）的解集是，則（? ）

A. a<0，Δ>0 B. a<0，Δ≤0

C. a>0，Δ≤0 D. a>0，Δ>0

結(jié)合二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式的關(guān)系，可得答案C. 但要真正吃透本題，就此止步還遠遠不夠. 教師要引導(dǎo)學(xué)生對該題進行反思：當(dāng)把題目中的“<”變成“>”“≤”或“≥”時，a與Δ又應(yīng)滿足什么要求呢？可經(jīng)過學(xué)生的討論、總結(jié)，得到以下變式：

變式1：已知不等式ax2+bx+c≤0（a≠0）的解集是，則 a>0，Δ<0 .

變式2：已知不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是，則 a<0，Δ≤0 .

變式3：已知不等式ax2+bx+c≥0（a≠0）的解集是，則 a<0，Δ<0 .

[?]對結(jié)論進行探究

例題2：（北師大版必修5，P98）已知兩圓的半徑分別為2和3，圓心距d滿足d2-6d+5<0，則這兩個圓的位置關(guān)系是________.

此題不難，由d2-6d+5=（d-1）（d-5）<0，易知1

變式1：已知兩圓的半徑分別為2和3，當(dāng)圓心距d滿足d2-6d+5________0時，這兩個圓的位置關(guān)系是相離或內(nèi)含.

變式2：已知兩圓的半徑分別為2和3，當(dāng)圓心距d滿足d2-6d+5________0時，這兩個圓的位置關(guān)系是外切或內(nèi)切.

[?]對解法進行探究

例題3：（北師大版必修4，P67）已知sinx+cosx=，求sin4x+cos4x.

有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)、公式繁多且相互聯(lián)系，同一個問題通?？蓮膸讉€不同的角度進行思考.如上題，可把sinx，cosx或x看成未知數(shù)，亦可從sinx+cosx往sin4x+cos4x變形或從sin4x+cos4x往sinx+cosx降冪變形.教師要引導(dǎo)學(xué)生從多個方面入手解決問題，鼓勵“一題多解”，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

[?]綜合探究

在習(xí)題課的綜合題訓(xùn)練中，為真正提高學(xué)生的解題能力，還應(yīng)貫徹波利亞的《怎樣解題》[3]所倡導(dǎo)的四個步驟：理解題意、擬定計劃、實施計劃、回顧反思.這也是目前比較常見的教研形式——說題比賽的基本思路和規(guī)范，旨在反映解題者在解決問題時的思維方式方法，教學(xué)生學(xué)會思考.

例題4：（北師大版必修2，P40）如圖1，已知ABCD，ABEF是兩個正方形，且不在一個平面內(nèi)，M，N分別是對角線AC，F(xiàn)B上的點，且AM=FN，求證：MN∥平面CBE.

（1）理解題意：證明直線l與平面α平行最基本的兩種方法是：證明l與α上的一條直線平行且l在平面α外;證明l所在的面與α平行. 即要使MN∥平面CBE，只須保證MN與平面CBE上的一條直線平行或MN所在的平面與平面CBE平行.由此可鼓勵學(xué)生對本題的條件及圖形進行探究.

（2）證明過程：略.

（3）回顧與反思：反思解法，優(yōu)化解答過程或從中獲得啟發(fā)尋找其他的解法;提煉解題思想，證明線面垂直轉(zhuǎn)換為證明線線垂直或面面垂直的過程中，體現(xiàn)了重要的轉(zhuǎn)化思想.

（4）變式推廣、拓展提高：深入挖掘題目的條件與結(jié)論，揭示知識間的密切聯(lián)系，增強學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.

變式1：已知ABCD，ABEF是兩個正方形，且不在一個平面內(nèi)，M是對角線AC上的點，過點M作MP⊥AB交AB于點P，再過點P作PN∥AF交BF于點N. 求證：MN∥平面CBE.

變式2：已知ABCD，ABEF是兩個全等的矩形，且不在一個平面內(nèi)，M，N分別是對角線AC，F(xiàn)B上的點，且AM=FN，求證：MN∥平面CBE.

變式3：已知ABCD，ABEF均為平行四邊形，且不在一個平面內(nèi)，M，N分別是對角線AC，F(xiàn)B上的點，且AM∶FN=AC∶BF，求證：MN∥平面CBE.

交換條件和結(jié)論，可進行更為深刻的改造，得到探究性的開放題，能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

變式4：已知ABCD，ABEF是兩個平行四邊形，且不在一個平面內(nèi)，M，N分別是對角線AC，F(xiàn)B上的點.若MN∥平面CBE，則點M，N應(yīng)滿足什么條件？

對同一道題可從不同的角度去分析、尋找解題策略. 而對具有共同特征的不同題目也可啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律，找出通解，即“一解多題”，這里就不再贅述.

以上的各類例子在新教材的習(xí)題中舉不勝舉. 教師在教學(xué)中要做“有心人”，將課本習(xí)題講透、講活. 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對課本習(xí)題進行變式、引申，親身體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程，可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情，形成對數(shù)學(xué)問題進行自我探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、探索意識.且這種習(xí)題教學(xué)的方式，可有效地避免“題海戰(zhàn)術(shù)”. 當(dāng)然，對課本習(xí)題的拓展必須有個“度”，應(yīng)建立在學(xué)生已有的認知水平之上.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制訂. 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 波利亞. 怎樣解題[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.