一類整數(shù)階分?jǐn)?shù)階幸福模型的滑模同步

王東曉，王戰(zhàn)偉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

科研工作者抽象出很多動(dòng)力學(xué)模型，并從系統(tǒng)的各個(gè)方面加以研究，得到很多結(jié)果[1-8].文獻(xiàn)[1]研究了愛情的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力模型;文獻(xiàn)[2]對(duì)一個(gè)對(duì)稱分?jǐn)?shù)階經(jīng)濟(jì)模型的混沌特征加以研究和分析;文獻(xiàn)[3-4]研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和一類分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的同步問題;文獻(xiàn)[5-7]研究了愛情的幸福模型，其中文獻(xiàn)[5]基于特征值方法研究了幸福的動(dòng)力學(xué)模型，文獻(xiàn)[8]研究了受驅(qū)動(dòng)非線性幸福模型的動(dòng)力學(xué)解析問題.

20世紀(jì)50年代,前蘇聯(lián)學(xué)者提出變結(jié)構(gòu)控制.變結(jié)構(gòu)控制起源于繼電器控制和 Bang-Bang 控制，它與常規(guī)控制的區(qū)別在于控制的不連續(xù)性.滑?？刂?sliding mode control, 簡稱SMC)也叫變結(jié)構(gòu)控制，本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，且非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性.滑模變結(jié)構(gòu)控制的原理:根據(jù)系統(tǒng)所期望的動(dòng)態(tài)特性來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的切換超平面，通過滑動(dòng)模態(tài)控制器使系統(tǒng)狀態(tài)從超平面之外向切換超平面收束;系統(tǒng)一旦到達(dá)切換超平面，控制作用將保證系統(tǒng)沿切換超平面到達(dá)系統(tǒng)原點(diǎn)，這一沿切換超平面向原點(diǎn)滑動(dòng)的過程稱為滑?？刂?文獻(xiàn)[9]對(duì)分?jǐn)?shù)階磁懸浮球系統(tǒng)進(jìn)行了滑膜控制;文獻(xiàn)[10]基于滑膜控制對(duì)撓性航天器姿態(tài)跟蹤及主動(dòng)振動(dòng)抑制加以研究;文獻(xiàn)[11-12]分別研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步問題.另一方面，當(dāng)遭遇一個(gè)外來事件的激勵(lì)后，情緒會(huì)有多種響應(yīng)表現(xiàn)，表現(xiàn)為忘乎所以歇斯底里(超混沌)，或者原來不安的情緒突然安靜下來.論文運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論及分?jǐn)?shù)階微積分，采用滑?？刂?，分別研究了一類整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階的2，3維幸福模型的同步問題.

引理1Caputo型分?jǐn)?shù)階微分算子的Laplace變換為

其中：n-1≤p≤n，且當(dāng)0≤p<1時(shí)，有

1 主要結(jié)果

Sprott等[5]研究羅密歐與朱麗葉彼此相愛的時(shí)間振蕩關(guān)系，構(gòu)造愛情R的動(dòng)力學(xué)模型為

其中：β為阻尼衰減率，ω為自然諧振頻率.

(1)

以系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，考慮如下響應(yīng)系統(tǒng)

(2)

其中：U(t)為控制器.定義誤差為e1=y1-x1,e2=y2-x2.

(2)式減去(1)式得到誤差系統(tǒng)為

(3)

定理1設(shè)計(jì)滑模函數(shù)s(t)=εe1+e2,ε>0，控制器U=(β-ε)e2+ω2e1-ηsign(s(t))，η>0，則系統(tǒng)(1)，(2)滑?；煦缤?

證明設(shè)計(jì)滑模面s(t)=εe1+e2，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，需滿足條件

(4)

其次,考慮2維分?jǐn)?shù)階幸福模型,有

(5)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(6)

定義誤差為e1=y1-x1,e2=y2-x2,則誤差系統(tǒng)為

(7)

(8)

取1-α分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(9)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(10)

取誤差變量為e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3，得誤差系統(tǒng)為

定理3設(shè)計(jì)滑模函數(shù)s(t)=εe1+e2+e3，ε>0.25，選取控制器

則系統(tǒng)(9)，(10)是滑模同步的.

證明設(shè)計(jì)滑模函數(shù)s(t)=εe1+e2+e3，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑膜運(yùn)動(dòng)時(shí)，需滿足條件

代入

以下考慮分?jǐn)?shù)階3維幸福模型.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(11)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(12)

系統(tǒng)(12)減去(11),得到誤差系統(tǒng)為

(13)

則系統(tǒng)(11)，(12)是滑模同步的.

證明滑模函數(shù)

應(yīng)用引理2，有

幸福模型對(duì)人們的心理治療和處世方式可以起到積極作用.利用數(shù)學(xué)方法，構(gòu)建幸福的動(dòng)力學(xué)模型和分析，實(shí)現(xiàn)幸福模型的同步，可以提高整個(gè)社會(huì)的幸福指數(shù).

2 數(shù)值仿真及結(jié)語

圖1 系統(tǒng)(9),(10)的同步曲線

圖2 系統(tǒng)(9)，(10)的誤差曲線

論文用滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了一類幸福模型的控制,由于得到的是充分條件而非必要條件，故在數(shù)值仿真過程中,即使是更為簡單的控制器同樣可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步,所以,有更多的問題需要后續(xù)去研究.