船舶動(dòng)力定位的快速模型預(yù)測(cè)控制算法

錢蔚鑫

（中船第九設(shè)計(jì)研究院工程有限公司，上海 200063）

0 引 言

目前動(dòng)力定位（Dynamic Positioning, DP）系統(tǒng)已在海洋工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。通過(guò)使用DP系統(tǒng)，海洋平臺(tái)或勘探鉆井可快速適應(yīng)外部環(huán)境的變化。這種自動(dòng)控制系統(tǒng)可通過(guò)調(diào)節(jié)推進(jìn)器的轉(zhuǎn)速和角度來(lái)產(chǎn)生使海上裝備朝指定方向移動(dòng)的力[2]。

傳統(tǒng)的DP控制系統(tǒng)通常采用控制器算法和推力分配（Thrust Allocation, TA）算法設(shè)計(jì)[3]?？刂破饔?jì)算所需的廣義力包括縱蕩力、橫蕩力和艏搖力矩。TA算法以廣義力為輸入，將其分配給每個(gè)推進(jìn)器。由于控制器算法沒(méi)有考慮螺旋槳的推力飽和、艏推進(jìn)器的不對(duì)稱效應(yīng)和能量消耗等因素，采用該算法設(shè)計(jì)的DP控制系統(tǒng)可能是次優(yōu)的。模型預(yù)測(cè)控制（Model Predictive Control, MPC）可將觀察到的船舶狀態(tài)作為輸入，計(jì)算出每個(gè)螺旋槳應(yīng)產(chǎn)生的推力，從而產(chǎn)生理論上最佳的推進(jìn)器輸出。然而，MPC算法是一種耗時(shí)的方法[4]，在快速動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中難以做到實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。

本文對(duì)MPC算法[5]進(jìn)行改進(jìn)，大大提高M(jìn)PC中每個(gè)步驟的計(jì)算速度。首先，研究MPC中二次規(guī)劃（Quadratic-Programming, QP）的特殊結(jié)構(gòu)，然后，采用近似內(nèi)點(diǎn)法求解QP；最后，通過(guò)算例對(duì)該方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 理論模型

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

船舶的離散狀態(tài)動(dòng)力學(xué)模型[6]為

式(1)中：t為時(shí)間為狀態(tài)為控制輸入為環(huán)境干擾；矩陣和為已知矩陣，與質(zhì)量、阻尼和其他流體動(dòng)力效應(yīng)有關(guān)。對(duì)于船舶而言，式(1)包括隨體坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系之間的速度轉(zhuǎn)換，有

式(2)中：φ為航向角。

1.2 模型預(yù)測(cè)控制

MPC是一種基于有限時(shí)域的滾動(dòng)優(yōu)化，會(huì)根據(jù)現(xiàn)在的和以前的狀態(tài)x(0)，…，x(t)確定當(dāng)前的控制輸入u(t)。定義一個(gè)凸二次懲罰函數(shù)有

此外，考慮狀態(tài)約束和控制約束，定義一組線性不等式，即

在MPC中，考慮懲罰函數(shù)將限制在T步驟的范圍[7]。通過(guò)求解QP問(wèn)題[8]，在每個(gè)步驟中找到控制輸入u(t)，有

1.3 罰函數(shù)法

通過(guò)定義一個(gè)整體決策變量對(duì)式(7)進(jìn)行改寫，有

罰函數(shù)法是通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中增加罰函數(shù)來(lái)代替不等式約束，進(jìn)而求解上述QP問(wèn)題的。

式(9)中：φ(z)為罰函數(shù)。

式(11)中：d為平行元素為P的第i行。在迭代過(guò)程中，保證隱式約束并計(jì)算得到主步長(zhǎng)和對(duì)偶步長(zhǎng)Δz,Δν，直到z+Δz和ν+Δν給出的殘差(rd,rp)足夠小。

1.4 牛頓迭代

式(12)應(yīng)在MPC中迭代計(jì)算，若使用密集的LDLT因式分解來(lái)求解，運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)是次。若利用對(duì)角矩陣的稀疏結(jié)構(gòu)，運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)可降次。Φ的逆矩陣可寫為

通過(guò)分塊消除，可通過(guò)以下步驟求解式(12)：

該Schur補(bǔ)Y是一個(gè)分塊對(duì)角陣，即

1.5 近似罰函數(shù)法

在標(biāo)準(zhǔn)牛頓法中，只有當(dāng)殘差的范數(shù)足夠小時(shí)迭代才會(huì)停止。在近似方法中，會(huì)限制迭代步數(shù)，即選擇Kmax作為牛頓步驟的迭代極限。通常將Kmax的值設(shè)定為3～10。

2 數(shù)值算例

提出一個(gè)機(jī)械控制系統(tǒng)，由經(jīng)彈簧連接的6個(gè)物體組成（見(jiàn)圖1）。船舶運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為該系統(tǒng)模型。假設(shè)驅(qū)動(dòng)力向量的大小在-0.5～+0.5，每個(gè)物體的位置在-4～+4。連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型為

圖1 彈簧連接振動(dòng)質(zhì)量模型

在一階離散連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型中應(yīng)用公式

式(16)中：Tc為采樣時(shí)間，用來(lái)離散化該連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。在快速M(fèi)PC中，選擇一個(gè)時(shí)間范圍T=30，二次目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值為

采用近似牛頓法進(jìn)行數(shù)值模擬，并將模擬結(jié)果與采用標(biāo)準(zhǔn)牛頓法所得結(jié)果相對(duì)比，各算例的仿真數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，仿真結(jié)果見(jiàn)圖2～圖4。由圖2～圖4可知，快速M(fèi)PC中每個(gè)物體的位移與標(biāo)準(zhǔn)MPC中物體的位移相同。從功耗和變化率方面看，快速M(fèi)PC的控制效果不會(huì)比標(biāo)準(zhǔn)MPC的控制效果差。這表示快速M(fèi)PC可獲得令人滿意的控制性能。同時(shí)，從計(jì)算時(shí)間方面看，使用標(biāo)準(zhǔn) MPC求解器計(jì)算每一步控制輸入需500～1000ms，而對(duì)于該算例，執(zhí)行一個(gè)快速M(fèi)PC步驟需7～8ms，可達(dá)到100Hz的控制率。

表1 各算例的仿真數(shù)據(jù)

圖2 x1和u1隨時(shí)間的變化曲線

圖3 x3和u2隨時(shí)間的變化曲線

圖4 x5和u3隨時(shí)間的變化曲線

3 結(jié) 語(yǔ)

本文利用MPC中的稀疏結(jié)構(gòu)提高了MPC的計(jì)算速度，可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)應(yīng)用?？焖費(fèi)PC的控制性能令人滿意。運(yùn)用快速M(fèi)PC算法將使船舶的最優(yōu)控制輸入計(jì)算成為可能。該算法具有普適性，可解決環(huán)境干擾情況下的快速控制問(wèn)題，在無(wú)人機(jī)和車輛運(yùn)動(dòng)控制等領(lǐng)域均可應(yīng)用。