多面體外接球問題的解法策略探究

摘 要：關(guān)于多面體外接球的表面積、體積的計(jì)算問題成為這幾年高考題型中的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，也是很多考生最為頭疼的問題，往往感到無從下手。而解決這一問題的難點(diǎn)就在于正確找出球心，算出球的半徑。本文通過對(duì)近年高考試題的大量研究，以及連續(xù)多年高三一線的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就這一問題總結(jié)一些自己的經(jīng)驗(yàn)，希望能使廣大在高三苦戰(zhàn)的莘莘學(xué)子撥云見日。

關(guān)鍵詞：多面體外接球;解法策略;計(jì)算問題

一、 規(guī)則多面體外接球半徑的計(jì)算方法

（一） 長(zhǎng)方體的外接球問題

由于長(zhǎng)方體是一個(gè)規(guī)則幾何體，并且各個(gè)面都是中心對(duì)稱圖形，所以它的八個(gè)頂點(diǎn)在球面上關(guān)于球心中心對(duì)稱，所以它的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，其公式為2R=a2+b2+c2（R為外接球半徑，a，b，c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）。

例：（2017天津，文11）已知一個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 。

（二） 可補(bǔ)成長(zhǎng)方體的多面體外接球問題

這類問題必然有三條側(cè)棱互相垂直。這時(shí)就可以直接用補(bǔ)體法，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，然后轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球問題解決就行。

例：如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為23的正方形（圖1），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P（圖2），若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積是（）

分析：因?yàn)楸绢}有三個(gè)直角B、C、D重合于點(diǎn)P，所以在同一點(diǎn)處有三條兩兩垂直的直線，這為構(gòu)造長(zhǎng)方體提供了有利的條件，這時(shí)，可以將圖形轉(zhuǎn)化成圖3。

（三） 正棱錐的外接球問題

因?yàn)檎忮F的頂點(diǎn)在底面上的攝影正好是底面正多邊形的中心，所以正棱錐的外接球的球心在它的高線上。這樣基本就確定了球心的位置，再設(shè)球心，運(yùn)用勾股定理就能算出球的半徑。

（四） 棱柱的外接球問題

由于球的對(duì)稱性，棱柱的外接球的球心必然是和棱柱的兩個(gè)底面都平行，且和兩個(gè)底面距離都相等的大圓圓心。然后結(jié)合底面圖形的特點(diǎn)就能求出外接球的半徑。

（五） 可以建立空間直角坐標(biāo)系的問題

這是這類問題的代數(shù)解法，其基本的解題思路是：建系，設(shè)球心，列等式（多應(yīng)用勾股定理或兩點(diǎn)間的距離公式），計(jì)算。這種做法思路簡(jiǎn)單，但往往運(yùn)算量比較大。

二、 不規(guī)則多面體外接球半徑的計(jì)算方法

解決這類問題的關(guān)鍵在充分研究多面體，盡量能求出各棱長(zhǎng)以及個(gè)別面之間的關(guān)系，如垂直等。

（一） 球心在該多面體的某一條棱上的

這種題一般是這個(gè)多面體有一條棱最長(zhǎng)，且它所對(duì)的角是直角。通過驗(yàn)證其中點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等就可以了。

例：已知三棱錐A-BCD中，AC=AD=2，BD=2，BC⊥BD，∠BDC=π3，則此三棱錐外接球的表面積為。

（二） 球心不在該多面體的任何面或棱上，但球心、小圓圓心能構(gòu)成平行四邊形或矩形

它是這類問題中最難，最讓人頭疼的。解決它的關(guān)鍵是通過棱的關(guān)系推出面的關(guān)系，尤其是垂直關(guān)系或夾角為30°、45°、60°最好。

例：已知一個(gè)四面體的一條邊長(zhǎng)為6，其余邊長(zhǎng)均為2，則此四面體的外接圓的半徑為（）

分析：本題的關(guān)鍵是由邊的關(guān)系，得出面ACD與面DBC垂直，球心在△DBC中心正上方，與△DBC中心，BC的中點(diǎn)構(gòu)成矩形（平行四邊形）。

（三） 涉及最值的問題

例：（2015年高考全國(guó)卷Ⅱ，9）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)。若三棱錐O—ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）

A. 36π

B. 64π

C. 144π

D. 256π

分析：本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大是關(guān)鍵。

解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，V=13×12×R2×R=36。

得出R=6，所以S=4πR2=144π。

例：（2018年全國(guó)卷Ⅲ理）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A. 123

B. 183

C. 243

D. 543

這類問題的關(guān)鍵是高是多少時(shí)，體積最大。如本題中當(dāng)高為球的半徑加球心到△ABC的距離時(shí)，體積最大。

作為數(shù)學(xué)教師，要立足方法育人，作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更要講方法，解一道題不是能力，應(yīng)該通過解題培養(yǎng)自己的空間想象能力和識(shí)圖能力等數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，以達(dá)到由點(diǎn)到面、逐漸輻射的學(xué)習(xí)模式，達(dá)到觸類旁通的目的。以上是本人對(duì)多面體外接球的表面積、體積的計(jì)算問題的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)如上，希望對(duì)各位學(xué)子在以后的學(xué)習(xí)和高考中有所幫助。

作者簡(jiǎn)介：

郭喜宏，甘肅省平?jīng)鍪?，甘肅省平?jīng)鍪徐`臺(tái)縣第一中學(xué)。