設(shè)計有效數(shù)學(xué)活動 培養(yǎng)學(xué)生思維能力

賴蔓麗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐，自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！痹诮虒W(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生實際經(jīng)驗和已有知識設(shè)計富有情趣的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在課堂上真正動起來，融入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情境，從而培養(yǎng)他們的思維能力。下面，筆者以教學(xué)《圓錐的體積》為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計有效數(shù)學(xué)的活動。

新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)（北師大版）教材六年級下冊《圓錐的體積》是一節(jié)空間與圖形知識的教學(xué)，是學(xué)生積累研究圖形的活動經(jīng)驗和發(fā)展空間觀念的重要內(nèi)容，也是滲透“類比”“數(shù)學(xué)模型”等思想方法的重要載體，是小學(xué)學(xué)習(xí)立體圖形體積計算的飛躍，其目標(biāo)是結(jié)合具體情境和實踐活動，了解圓錐體積，直觀引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類比猜想—驗證的活動，探索“圓錐體積”計算方法，讓學(xué)生體會從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，從而得出一般性結(jié)論。本節(jié)課教學(xué)，筆者結(jié)合山區(qū)農(nóng)村孩子的實際，以動畫的形式設(shè)計孩子們熟悉的農(nóng)村曬谷場上收稻谷的情景，以一對爺孫的對話引出“圓錐的體積”，學(xué)生通過對圓錐體積的類比猜想—驗證—推理—歸納—總結(jié)—再驗證—應(yīng)用的知識建構(gòu)過程，理解掌握求圓錐體積的計算公式，這樣既培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還幫助學(xué)生建立空間觀念，提高學(xué)生自主解決問題的能力，同時滲透了類比與數(shù)學(xué)模型思想。

一、設(shè)疑猜想，激發(fā)學(xué)生求知欲

【片段一】

出示農(nóng)村曬谷場收稻谷的情境，由小紅和爺爺?shù)膶υ捯觥皥A錐的體積”。

師：同學(xué)們，前面我們在推導(dǎo)圓柱體積時是把它轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的正方體，那圓錐的體積也可以轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形嗎？你們猜它可能與什么圖形有關(guān)系？可能是幾倍的關(guān)系？小紅要幫爺爺算出近似圓錐谷堆的體積，應(yīng)該知道什么條件？小組內(nèi)先說說你的猜想，并把你的猜想記下來。

生小組合作討論后全班匯報交流。

生1：我猜圓錐的體積與圓柱有關(guān)系，因為它的底面也是圓的。

師：你猜會是幾倍關(guān)系？如果要求它的體積要知道什么條件？

生1：我猜是2倍。如果要求它的體積，應(yīng)該知道底面積和高。

生2：我猜也是與圓柱有關(guān)，但我認(rèn)為是3倍的關(guān)系，如果要求它的體積應(yīng)該知道底面半徑和高。

生3：如果和圓柱有關(guān)系的話，那知道底面直徑（或周長）和高也行，應(yīng)該是2倍關(guān)系。

師：還有不同猜想嗎？

生4：我猜也是與圓柱有關(guān)，是 的關(guān)系。

當(dāng)老師把學(xué)生的猜想都呈現(xiàn)在黑板時，大家議論紛紛，都想知道誰的對，求知欲自然而然地被激發(fā)出來。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)?！?/p>

二、驗證猜想，培養(yǎng)自主獲取知識的能力

心理學(xué)家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展。”小學(xué)生以形象思維為主，他們對數(shù)學(xué)的理解是從動手操作開始的，所以筆者及時為學(xué)生設(shè)計動手實驗、驗證猜想的活動。

【片段二】

師：（課件出示實驗要求）

1.小組內(nèi)從課前準(zhǔn)備的工具中選好實驗工具和材料。

2.分工合作，邊實驗邊記錄有關(guān)數(shù)據(jù)。

3.實驗結(jié)束后，小組內(nèi)互相討論，分析實驗數(shù)據(jù)，總結(jié)實驗結(jié)果，寫在學(xué)習(xí)單上，并對比自己的猜想。

學(xué)生讀懂實驗要求后，開始實驗。討論后各小組匯報實驗結(jié)果，要求到講臺上邊說邊演示。

第5小組：我們組用圓錐裝滿沙往圓柱里倒，倒了三次，剛好倒?jié)M，四人輪流換做都是三次倒?jié)M，所以我們得出圓柱體積是圓錐的3倍。

師：請問你們的圓柱與圓錐的底面積和高是什么關(guān)系？

生拿起圓錐和圓柱說：我們的圓錐與圓柱的底面積和高都是相等的。（邊說邊演示）

師：很好。我們把底面積和高都相等用一個詞語“等底等高”來表示吧。你能把剛才的結(jié)論重新完整說一遍嗎？

生：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱體積是圓錐的3倍。

師：你的總結(jié)能力真不錯。哪個小組再來分享實驗結(jié)果？

第2小組：我們組先用圓錐裝滿水往圓柱倒，倒了三次，還差一點點，再做第二次，我們發(fā)現(xiàn)在倒的過程中會抖出水，第三次我們用一個盤在下面放著，倒了三次水后，把抖出的水再從盤里倒進圓柱，圓柱的水就基本滿了。所以我們得出等底等高的情況下，圓錐的體積是圓柱的。

師：你們是細(xì)心的孩子，注意到了實驗過程中因為水抖出而造成的誤差。哪個小組再來分享實驗結(jié)果？

第4小組：我們組是用圓柱裝滿沙往圓錐里倒，才倒了圓柱中的1份就把圓錐裝滿，倒了三次，剛好倒完，然后我們又用圓錐裝這些沙往圓柱里倒，也是倒了三次，圓柱剛好裝滿。所以我們得出，等底等高的情況下，圓錐的體積是圓柱的。還有就是等底等高的情況下，圓柱比圓錐多出2份。

師：你們真是愛動腦筋的孩子，雖然實驗方法和其它組不一樣的，但結(jié)論是一樣的。同學(xué)們，剛才大家表現(xiàn)都很優(yōu)秀，在實驗過程中都能積極動手、動口、動腦，互相合作，認(rèn)真觀察，分析總結(jié)得出“等底等高的情況下，圓錐體積是圓柱的 。”

接下來請大家判斷“圓錐體積是圓柱的 ”這句話對嗎？

生1：對。

生2：對。

生3：不對。如果圓錐比圓柱高很多就不成立。

師：你的意思是要考慮圓錐和圓柱的什么條件？

生3：我們要考慮圓錐和圓柱的底面積和高是否相等，這句話并沒說明這圓錐和圓柱是不是等底等高。如果不是等底等高就不一定。

師：你是個愛分析的好孩子。不是等底等高就不一定，是這樣嗎？請兩個同學(xué)到講臺上從老師的教具中挑一個圓錐和一個圓柱再次實驗驗證，其他同學(xué)認(rèn)真觀察。

生1生2邊說邊演示：我們挑的是等底不等高的圓錐和圓柱，現(xiàn)在用圓錐裝滿沙往圓柱里倒，請認(rèn)真觀察。

當(dāng)實驗中的同學(xué)把第三次的沙往圓柱倒時，大家發(fā)現(xiàn)，第三次的沙沒倒多少，圓柱就滿了。

師：下面換兩個同學(xué)上來換兩個工具再做一次實驗。

生3生4：我們挑的是不等底不等高的圓錐和圓柱，用圓柱裝滿水往圓錐里倒，請認(rèn)真觀察。

當(dāng)?shù)雇耆魏螅瑘A柱還有差不多一份的水。

師：通過這兩個實驗，你們有什么想說的？

生：圓錐體積是圓柱的 ，必須是在等底等高的情況下才成立。

師：現(xiàn)在再看看你自己的猜想，有猜對嗎？

學(xué)生笑著議論開了。

波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，必須都由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律，性質(zhì)和聯(lián)系?！碑?dāng)學(xué)生都想知道自己的猜想對不對時，筆者給他們提供從事學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動的機會，讓他們自己動手實驗，驗證猜想，自主獲取知識，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，探究問題、解決問題的能力。當(dāng)他們從實驗中得出“等底等高情況下，圓錐體積是圓柱的 ”時，筆者及時制造認(rèn)知沖突，讓他們從平衡到不平衡，然后再次實驗驗證，既加深學(xué)生對自主獲取知識的理解，又讓學(xué)生從不平衡回到平衡，初步感悟圓錐與圓柱的內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。整個活動過程，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷對數(shù)學(xué)知識的驗證過程，對所學(xué)知識產(chǎn)生深刻的體驗，不僅知其然，更知其所以然。學(xué)生積累了活動經(jīng)驗，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生在真正意義上實現(xiàn)獨立自主地學(xué)習(xí)，成為教學(xué)活動中自主探索和自我發(fā)展的主體。

三、解決問題，促進“做”的內(nèi)化，提升思維

【片段三】

師：同學(xué)們，我們通過猜想—驗證—質(zhì)疑—再驗證得出：

V錐= V柱=Sh，現(xiàn)在如果給出一組數(shù)據(jù)，可以幫助小紅解決近似圓錐谷堆的體積了嗎？

生：能。

師：（課件出示）這里有四組數(shù)據(jù)

1.如果谷堆的底面積為12.56m2，高為1.5m，這堆稻谷的體積是多少立方米？

2.如果谷堆的底面半徑為2m，高為1.5m，這堆稻谷的體積是多少立方米？

3. 如果谷堆的底面直徑為4m，高為15dm，這堆稻谷的體積是多少立方米？

4. 如果谷堆的底面周長為12.56m，高為1.5m，這堆稻谷的體積是多少立方米？

請四人小組分工合作共同完成，并討論這組題的異同點。

小組合作學(xué)習(xí)后全班匯報交流。

第2小組：

生1：我負(fù)責(zé)完成第1題，這道題給出底面積和高，求V錐，直接套公式：V=Sh，V=×12.56×1.5=6.28（m3）

生2：我負(fù)責(zé)完成第2題，這道題給出底面半徑和高，求V錐，我先通過半徑求出底面積，再套公式求V錐。

①S=3.14×22=12.56（m2 ）

②V=×12.56×1.5=（6.28m3）

生3：我負(fù)責(zé)完成第3題，這道題給出底面直徑和高，求V錐，我先通過直徑求出底面積，再套公式求V錐。但是高的單位不同，所以我先轉(zhuǎn)化單位。

①15dm=1.5m

②S=3.14×（4÷2）2=（12.56m2）

③V=×12.56×1.5=（6.28m3）

生4：我負(fù)責(zé)完成第4題，這道題給出底面周長和高，求V錐，我先通過周長求出半徑，再求底面積，然后套公式求V錐。

①r=12.56÷3.14÷2=2（m）

②S=3.14×22=（12.56m2）

③V=×12.56×1.5=（6.28m3）

師：這組題有什么異同點？

組長：通過比較分析，我們發(fā)現(xiàn)求的是同一谷堆的體積，只是給出的第一個條件不同，第2、3、4節(jié)我們可以通過第一個條件用以前學(xué)過的知識求出底面積，再套公式就可以了，只是在做題時要注意，單位要相同。

師：同學(xué)們同意第2小組組長的分析嗎？

生：同意。

師：第2小組的四位同學(xué)解題思路清晰，回答問題聲音響亮，合作得不錯。有哪個組解題思路不相同的？

第5小組：我們組的2、3、4節(jié)是先通過已知條件求出等底等高圓柱的體積，然后再乘以 得出V錐。

師：這種方法可以嗎？

生：可以。

師：為什么？

生：因為等底等高情況下，V錐=V柱

師：還有不同的嗎？

第1小組：我們組的題3不同。

師：怎么不同？

生：我們沒注意到單位不同。

師：我們以后在解決問題時，一定要認(rèn)真審題，看清楚條件和問題，注意單位是否統(tǒng)一。

這個環(huán)節(jié)，筆者利用改變信息，對比教學(xué)設(shè)計教學(xué)活動，放手讓學(xué)生自己到情境中去幫小紅解決生活中的數(shù)學(xué)問題。通過觀察、對比、分析 、判斷，從不變中找到變化，從變化中把握不變，靈活發(fā)現(xiàn)變式中存在的隱形要素，加深對公式的理解和運用，掌握了解答此類題關(guān)鍵要知道底面積和高這兩個條件，還要注意單位是否統(tǒng)一，從而提高觀察、判斷、推理、分析等數(shù)學(xué)邏輯思維能力，促進“做”的內(nèi)化，實現(xiàn)靈活解題，變通思維，提升數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建解題的技能技巧。

國家基礎(chǔ)教育課程改革就是要倡導(dǎo)學(xué)生主動參與的探究式學(xué)習(xí)。構(gòu)建以人為本，以學(xué)生為主體的課堂，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中積極思考，“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”，煥發(fā)出思維的活力。因此，設(shè)計有效的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生主動參與，才能達到讓學(xué)生在課堂上活躍起來，培養(yǎng)他們的思維能力。

參考文獻：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部.教師教學(xué)用書（北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.