基于研究型教學(xué)的偏微分方程實(shí)例剖析

趙春芳

摘? 要：研究型教學(xué)法能夠模擬科學(xué)研究的方法，讓學(xué)生充分體會(huì)到科學(xué)研究的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的分析、解決問(wèn)題的能力。文章以《偏微分方程》課程為案例，將研究型教學(xué)融入到“一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題”的求解教學(xué)過(guò)程中。教學(xué)結(jié)果顯示，研究型教學(xué)法是讓學(xué)生體會(huì)科學(xué)研究過(guò)程的有效教學(xué)方法，鍛煉了同學(xué)間的小組協(xié)作能力，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)創(chuàng)新、綜合歸納和研究問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：偏微分方程;研究型教學(xué);初邊值問(wèn)題;科學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2019）26-0106-03

Abstract： Research teaching method can simulate the method of scientific research， make students fully understand the process of scientific research， and stimulate students’ ability to analyze and solve problems. Taking the course of partial differential equation as an example， this paper integrates research-based teaching into the process of solving the initial boundary value problem of one-dimensional heat conduction equation. The teaching results show that the research teaching method is an effective teaching method for students to experience the scientific research process， exercise the ability of group cooperation among students， and cultivate students’ ability of scientific innovation， comprehensive induction and research problems.

Keywords： partial differential equation; research teaching; initial boundary value problem; scientific literacy

研究型教學(xué)是在教學(xué)活動(dòng)中，努力發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性，以學(xué)生為中心的教學(xué)方法。在研究型教學(xué)中，要讓學(xué)生模擬科學(xué)研究的過(guò)程及方法，讓學(xué)生發(fā)揮自身能力去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題。偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在金融數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算科學(xué)、物理學(xué)以及微分幾何中應(yīng)用非常廣泛。作為應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的重要課程，偏微分方程是培養(yǎng)該學(xué)科人才的核心課程，它是以建立模型、尋求方法、理論研究、解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為任務(wù)的。偏微分方程教學(xué)旨在教學(xué)中讓學(xué)生掌握偏微分方程的概念、求解方法及理論，利用所學(xué)的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題，從而提高高校學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)及修養(yǎng)。本文以一個(gè)偏微分方程教學(xué)案例來(lái)探討研究型教學(xué)的應(yīng)用。

一、教學(xué)思路及目標(biāo)

（一）課程設(shè)計(jì)思路

按照教學(xué)大綱，需要學(xué)生熟練掌握偏微分方程的理論及求解方法，全程參與偏微分方程的學(xué)習(xí)。將提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題、分析問(wèn)題能力為出發(fā)點(diǎn)，按照偏微分方程的基本環(huán)節(jié)安排教學(xué)內(nèi)容，遵循研究型教學(xué)的先后順序讓學(xué)生全程參與進(jìn)來(lái)，以此讓學(xué)生熟練掌握相關(guān)知識(shí)及解決方法。

偏微分方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)過(guò)程中，相對(duì)合理、好理解的問(wèn)題要努力讓學(xué)生利用所學(xué)理論和求解方法獨(dú)立完成，積極開展同學(xué)間的課堂研討，提高學(xué)生解決問(wèn)題和研究問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程中積極對(duì)學(xué)生研討結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，及時(shí)反饋，以此達(dá)到研究型教學(xué)的目的，激發(fā)學(xué)生的研究積極性。

除了課堂教學(xué)研討外，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課外探索，并尋求實(shí)際的問(wèn)題利用偏微分方程來(lái)解決，有能力的學(xué)生要鼓勵(lì)其撰寫小論文、解題心得，為下一步的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

（二）教學(xué)目標(biāo)

偏微分方程的教學(xué)目標(biāo)是：理論結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，解決應(yīng)用學(xué)科中提出的偏微分方程問(wèn)題;教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生研究型學(xué)習(xí)方法，鞏固研究型教學(xué)目標(biāo);提高學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力并激發(fā)創(chuàng)新意識(shí);使學(xué)生對(duì)偏微分方程的學(xué)習(xí)和利用產(chǎn)生興趣，為應(yīng)用學(xué)科提供人才。

二、教學(xué)實(shí)例

一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題是《偏微分方程》教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)課程，問(wèn)題如下：

（1）

其中，

如果按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法，則會(huì)采用“分離變量法”來(lái)求解一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題，可用Fourier級(jí)數(shù)來(lái)表示問(wèn)題的解：

（一）提出問(wèn)題

眾所周知，根據(jù)波的反射原理可對(duì)半直線上的波動(dòng)方程進(jìn)行求解，那么，也可用通過(guò)熱的反射原理對(duì)半直線上的熱傳導(dǎo)方程初邊值進(jìn)行求解。我們提出的問(wèn)題是，一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題是否也能利用熱的反射原理進(jìn)行求解呢？

1. 分組討論

在該次教學(xué)中，將全部學(xué)生分為四組，每組選一名組織能力較強(qiáng)者作為組長(zhǎng)，并由組長(zhǎng)開展問(wèn)題的討論和分析。教師通過(guò)小組巡視的方法進(jìn)行必要的指導(dǎo)和幫助，但在指導(dǎo)和幫助過(guò)程中不要代替小組中學(xué)生的獨(dú)立分析和研究。

2. 小組總結(jié)

通過(guò)二十分鐘的小組研究討論，每組組長(zhǎng)都給出了研究的結(jié)果，除了一個(gè)小組未給出完整正確的答案，其他三組均給出非常完美的解答，選擇正確的一組解答如下：

（3）

其中

證明：首先，在[-1，1]上對(duì)函數(shù)？漬（x）進(jìn)行奇延拓，然后在整個(gè)實(shí)軸上進(jìn)行延拓（周期21），并設(shè)？椎（x）為延拓后的函數(shù)，即

（5）

對(duì)下列輔助Cauchy問(wèn)題進(jìn)行考慮：

由于在[0，1]上？漬（x）連續(xù)，在R1上？準(zhǔn)（x）連續(xù)，由Cauchy問(wèn)題的poisson公式可知，公式（6）的解為：

（7）

其中

（8）

由于？椎（x）是奇函數(shù)，G（x，t）是關(guān)于x的偶函數(shù)，因此：

由于？椎（1-x）是關(guān)于點(diǎn)l的奇函數(shù)，即：

？椎（1-x）=-？椎（1+x）

因此

由此看出，u（x，t）通過(guò)公式（7）和公式（8）被確定，當(dāng)0？燮x？燮1和t？燮0時(shí)，即為“一維熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題”的解，即

（9）

其中，由公式（4）可以確定k（x，y，t）。

（二）問(wèn)題延伸

經(jīng)過(guò)上述探討，四組同學(xué)均理解了利用熱的反射原理求解一維熱傳導(dǎo)方程初邊值的方法，教師經(jīng)過(guò)總結(jié)后又提出了兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：利用傳統(tǒng)的“分離變量法”解得的公式（2）和利用“熱的反射原理”解得的公式（3）、（4），在形式上很相似，那么，它們是相同的解嗎？如果是相同的解，怎么證明呢？

問(wèn)題2：利用“熱的反射原理”和傳統(tǒng)的“分離變量法”對(duì)一維熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題進(jìn)行了求解，并給出了公式，那么，能否用同樣的方式對(duì)Neumann初邊值問(wèn)題進(jìn)行求解：

（10）

其中，

上述兩個(gè)問(wèn)題作為小組的課外研究課題，每個(gè)小組成員經(jīng)過(guò)了三天的研究和討論，均得到了非常完整的解答方法，選其中一組解答方法如下：

1. 問(wèn)題1的解答

利用傳統(tǒng)的“分離變量法”解得的公式（2）和利用“熱的反射原理”解得的公式（3）、（4），在形式上很相似，給出的解也是相同的，這是Poisson公式的兩種表現(xiàn)方式，證明過(guò)程為：

利用數(shù)學(xué)分析知識(shí)可證明下列等式成立

通過(guò)公式（5）可知？椎（x）具有Fourier級(jí)數(shù)的形式如下：

因此

由公式（11）可知

將公式（13）帶入公式（12）中，得到

通過(guò)上述公式（9），可將公式（14）的等號(hào)右邊項(xiàng)寫成

其中，由公式（4）可以確定k（x，y，t）。

2. 問(wèn)題2的解答

該小組經(jīng)過(guò)問(wèn)題2的討論得到三個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1：對(duì)Neumann初邊值問(wèn)題，利用熱的反射原理解答如下：

（15）

其中

結(jié)論2：對(duì)Neumann初邊值問(wèn)題，利用傳統(tǒng)的“分離變量法”解答如下：

結(jié)論3：利用傳統(tǒng)的“分離變量法”和利用“熱的反射原理”給出的解是相同的，這是Poisson公式的兩種表現(xiàn)方式。

三、結(jié)論

利用研究型教學(xué)方法教授“一維熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題”，取得了一定的效果。該教學(xué)方法提高了學(xué)生學(xué)習(xí)偏微分方程的主動(dòng)性和積極性，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情和解決問(wèn)題的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)，使得學(xué)生對(duì)偏微分方程解法的探究產(chǎn)生了迫切的愿望;通過(guò)這次教學(xué)，學(xué)生們普遍認(rèn)為研究型教學(xué)是從“一維熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題”的難點(diǎn)和重點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)小組討論和研究最終得到結(jié)論，并擴(kuò)展了解決問(wèn)題的思維和方法。這是一種讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)科學(xué)研究過(guò)程的有效教學(xué)方法，鍛煉和學(xué)習(xí)的小組協(xié)作能力，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)創(chuàng)新、綜合歸納和研究問(wèn)題的能力。該方法的運(yùn)用使學(xué)生掌握了偏微分方程的新知識(shí)，同時(shí)在教學(xué)過(guò)程中讓同學(xué)對(duì)“波的反射原理”和“熱的反射原理”有了更加深入的了解和掌握，達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生在快樂(lè)和鉆研中學(xué)習(xí)了知識(shí)。

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