一道立幾高考試題的解法研究

李高磊

摘 要：歷年高考中，立體幾何及其相關(guān)的證明問題都是數(shù)學(xué)科目的重點(diǎn)中的重點(diǎn)，除證明面與線，線與線，面與面的平行和垂直之外，二面角角度的求法也是歷年來高考數(shù)學(xué)立體幾何大題的“標(biāo)配”。很多學(xué)生在證明面線、面面和線線的平行與垂直方面掌握得較為完備，但是卻在求二面角的問題上栽了跟頭，因此，筆者認(rèn)為應(yīng)該著重研究如何求立體幾何證明大題中的二面角問題，以保證學(xué)生們能夠在立體幾何的高考題目上拿到滿分。

關(guān)鍵詞：立體幾何；高考題目；解法研究

題目：如下圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1和A1D的中點(diǎn)。

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

思考與解答過程：對(duì)于第一小題來說，最為關(guān)鍵的是要能夠?qū)ふ一蛘哒f是構(gòu)建出一個(gè)能夠經(jīng)過MN且和平面C1DE相交的平面，而該平面ADM則為所求。

其解題過程如下：

將B1C連接，將ME連接。

由于M、E分別是BB1和BC的中點(diǎn)，因此ME∥B1C，且ME=1/2B1C。

又由于N是A1D的中點(diǎn)，因此可得ND=1/2A1D，由題目所給條件可以知道A1B1∥DC且A1B1=DC，那么就可以推出B1C∥A1D且B1C=A1D，最后可得出ME∥ND且ME=ND，符合平行四邊形條件，所以四邊形MNDE是平行四邊形，MN∥ED。而又因?yàn)镸N不在平面EDC1之內(nèi)，故可得出結(jié)果：MN∥平面C1DE。

通過尋找或者構(gòu)造出屬于它們的交線，該交線必須滿足如下條件：

必須經(jīng)過D點(diǎn)，通過延長A1M來交AB的延長線于點(diǎn)F，這樣便可以證明出D、E、F三點(diǎn)共線。

通過證明MN和該交線相互平行，能夠證明出B、M分別是AF與A1F的中點(diǎn)，因此，MN∥DF。此為第一小題的解題方法。

對(duì)于第二小題，同樣是要通過尋找（或是構(gòu)造出）一個(gè)和二面角中的某個(gè)半平面相互垂直的平面，而符合這個(gè)條件的平面只有平面ABCD與平面ABB1A1，也就是平面ABCD⊥平面ABB1A1。而平面ABCD的角度則為其所求。

此外，還需要在所發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)互相垂直的面之內(nèi)通過另一個(gè)平面上面的點(diǎn)來作出AF（此為垂交線）的垂線，接著要過D點(diǎn)去做AF的垂線來交線段AB于點(diǎn)G。

這里需要注意的是，你所做的點(diǎn)絕對(duì)不可以是平面棱角上面的點(diǎn)。例如有一部分學(xué)生可能會(huì)選擇D點(diǎn)作為經(jīng)過的點(diǎn)，但是D點(diǎn)并不在棱A1F上，因此不可選擇[1]。

其次，如果點(diǎn)D沒有現(xiàn)成的，那么就要作輔助線來選擇新的可供垂線所經(jīng)過的相交點(diǎn)。

在注意上面這兩點(diǎn)之后，經(jīng)過垂足來作出二面角棱的垂線，然后再過G點(diǎn)來作出A1F的垂線，并將其交A1F與點(diǎn)H。

將它們相連接起來，然后計(jì)算二面角的正弦值。計(jì)算過程是：

GH=3/4AM=3/4√AB2+BM2=3/4√22+22=3√2/2

DG=√3AG=√3

DH=√DG2+GH2=√（√32）+（3√2/2）2=

√15/2

Sin∠DHG=DG/DH=√3·√2/15=（√10）/5

第二小題迎刃而解。

或者也可以使用空間坐標(biāo)系和空間向量工具來進(jìn)行解答，過程為：

在得知DE⊥DA的情況下，將D點(diǎn)作為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，向量DA的方向是X軸的正方向，接著可建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則此時(shí)A坐標(biāo)為（2，0，0），A1坐標(biāo)為（2，0，4）M坐標(biāo)為（1，√3，2），N坐標(biāo)為（1，0，2），向量A1A為（0，0，-4），向量A1M為（-1，√3，-2），向量A1N為（-1，0，-2），向量MN為（0，-√3，0）。

接著，可設(shè)向量m為（x，y，z）作為平面A1MA的法向量，此時(shí)， 因此可得：

-x+√3y-2z=0，-4z=0，此時(shí)可得=（√3，1，0）。

設(shè)向量n為（p，q，r）作為平面A1MN的法向量，則此時(shí)

因此可得：

-√3q=0，-p-2r=0，此時(shí)可得=（2，0，-1）。

通過求兩個(gè)空間向量夾角的余弦值的公式可得：

=2√3/2*√5=√15/5

所以可得二面角A-MA1-N的正弦值是√10/5。

這就是通過兩種不同的方法來解答該大題第二小題的過程，很明顯，使用空間坐標(biāo)系和空間向量這兩種數(shù)學(xué)工具要比從空間幾何邏輯關(guān)系中進(jìn)行探索要簡單的多。

對(duì)于本空間幾何題目的反思：

從總體來看，該空間幾何解答題依然是在考察學(xué)生的確定性思維，尤其是在求二面角正弦值的過程中，這種考察學(xué)生確定性思維的意圖愈發(fā)明顯。學(xué)生是否能夠通過已經(jīng)獲得的條件來解答出本道題目？這是開啟本題正確答案大門的鑰匙。

通常，對(duì)涉及到幾何證明和二面角等空間幾何大題的組合，一般是采用分步驟進(jìn)行確定的“尋找垂直面”、“作出垂直線”、“相連再證明（計(jì)算）”這三大步驟。對(duì)于前兩個(gè)步驟來說，它們的目的是為了能夠有效尋找到一個(gè)在半平面上的合適的點(diǎn)。該店能夠在另一個(gè)半平面上面作出投影點(diǎn)，這也是求出二面角的關(guān)鍵過程。但是，在第二小題的兩種解法中，筆者更加傾向于構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并運(yùn)用空間向量來進(jìn)行解答，因?yàn)橄蛄烤哂懈喔又庇^的公式，這些公式將空間中的點(diǎn)與線進(jìn)行代數(shù)化，尤其是將線化為更加直觀的數(shù)對(duì)，這讓學(xué)生從較難的空間想象過程中得到解放，回歸到較為直觀簡單的代數(shù)關(guān)系部分，只要用對(duì)公式，就能夠更快地算出相應(yīng)結(jié)果[2]。也正是因?yàn)槿绱?，筆者才在進(jìn)行有關(guān)類似的立體結(jié)合問題的講解中推崇學(xué)生們掌握向量法。因?yàn)橄蛄糠ㄊ菙?shù)形結(jié)合方面的一大突破。誠然，有部分教師認(rèn)為幾何法的掌握能夠更好地推動(dòng)學(xué)生的解題速度，但是在向量這一更加直觀的工具面前，幾何法還是要耗費(fèi)更多的空間思考能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫鋆. 一道立體幾何試題的解法探究與拓展[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2017，56（4）：63-64.

[2]王榮峰. 對(duì)一道高考題的多方位探究[J]. 中學(xué)生理科應(yīng)試， 2017，23（11）：4-4.