例析“等時(shí)圓”在物理中的妙用

葉向忠

摘 要：物理學(xué)科的中心素養(yǎng)，是學(xué)生在承受物理教育過(guò)程中逐步形成的順應(yīng)個(gè)人畢生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需求的必備品格和關(guān)鍵能力，是學(xué)生通過(guò)物理學(xué)習(xí)內(nèi)化的帶有物理學(xué)科特性的品質(zhì)，是學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵成分。其中“科學(xué)思維”是提升物理核心素養(yǎng)的重要一環(huán)，而物理建模、物理思維是發(fā)展科學(xué)思維的一大捷徑，因而想更直觀、簡(jiǎn)約地解決物理問(wèn)題，常把復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化并抽象成簡(jiǎn)單地“物理模型”，在分析和解決物理問(wèn)題時(shí)，一般都是在已經(jīng)把握的“物理模型”的啟發(fā)下找到解決物理問(wèn)題的思緒與方法。所以在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)“物理模型”的建立與應(yīng)用是至關(guān)重要的，這也是提升學(xué)生物理學(xué)習(xí)力、培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng)的重要渠道。本文就以“等時(shí)圓”這一物理模型的建立與在物理中的應(yīng)用來(lái)闡明如何幫助學(xué)生建構(gòu)物理模型，并加以拓展、轉(zhuǎn)化應(yīng)用，發(fā)展科學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：物理模型;等時(shí)圓;建模;應(yīng)用

物理模型是對(duì)實(shí)踐成果的抽象，每一個(gè)模型的建立都有必然的條件和實(shí)用領(lǐng)域，在學(xué)習(xí)和運(yùn)用物理模型解決物理問(wèn)題時(shí)，最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)是把實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化成相應(yīng)的物理模型，借助由根本物理規(guī)律所構(gòu)建成的一些基本物理模型，可以把抽象問(wèn)題具體化，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而使物理問(wèn)題便于理解和接受，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到意想不到的效果。下面就以“等時(shí)圓”模型為例，體會(huì)如何通過(guò)巧妙地構(gòu)建物理模型達(dá)到簡(jiǎn)化求解，基于此對(duì)“等時(shí)圓”的規(guī)律和應(yīng)用從三方面加以闡述：分別是動(dòng)力學(xué)中的“等時(shí)圓”，磁場(chǎng)中的“等時(shí)圓”及光學(xué)中的“等時(shí)圓”。

動(dòng)力學(xué)中的“等時(shí)圓”

模型建立

如圖1所示，A為豎直平面內(nèi)圓周的頂點(diǎn)，AB為豎直直徑，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)靜止釋放，沿著不同的光滑弦到達(dá)圓周上的時(shí)間相等，此圓稱(chēng)為“等時(shí)圓”，該圓就是重力場(chǎng)中的“等時(shí)圓”

證明：設(shè)某一條弦AC與水平方向的夾角為α，圓的直徑為d（如圖1）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a=gsinα，位移為s=dsinα，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

顯然t與α無(wú)關(guān)，即從A點(diǎn)沿不同的光滑弦到達(dá)圓周上的時(shí)間相等，且等于從最高點(diǎn)A自由下落到B點(diǎn)的時(shí)間，這個(gè)叫做圓的自由弦的等時(shí)性，即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。同理，如圖2所示情形，從圓周上不同的點(diǎn)沿光滑弦滑到圓周上的最低點(diǎn)B，所需的時(shí)間也相等（證法同上），需要說(shuō)明的是，等時(shí)圓中的端點(diǎn)應(yīng)是幾何空間的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。

模型適用條件

“等時(shí)圓”的適用條件是：在重力場(chǎng)的豎直平面內(nèi)任意的一個(gè)圓上，質(zhì)點(diǎn)從幾何最高點(diǎn)（或圓周上）沿任何一條弦無(wú)摩擦下滑到圓周上（或幾何最低點(diǎn)）發(fā)生的時(shí)間相等。

模型應(yīng)用

借助“等時(shí)圓”模型，可以使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，方便于學(xué)生理解和接受。利用“等時(shí)圓”模型可以巧妙、方便地解決相關(guān)問(wèn)題，它常用于以下幾種情況。

能直接觀察到的等時(shí)圓

例1：如圖3所示，通過(guò)空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定

解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確。

確定運(yùn)動(dòng)路徑

有些問(wèn)題我們不能直接觀察出來(lái)，有時(shí)需要運(yùn)用等效、類(lèi)比來(lái)構(gòu)建“等時(shí)圓”。

例2：如圖7，AB是一傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假設(shè)光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？

解析：常規(guī)的解法就是利用解析法進(jìn)行求解：設(shè)P點(diǎn)到斜面的垂直距離為PC，P點(diǎn)與傳送帶的位置確定后，PC就是一個(gè)定值，原料沿最快管道PD下滑的加速度為a=gcosβ，有：

在ΔPDC中，有，則

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)時(shí)，t有最小值

若借助“等時(shí)圓”，如圖4所示，可以過(guò)P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點(diǎn)，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系得：PC與豎直方向間的夾角等于θ/2。

比較以上兩種解法，可以看到利用“等時(shí)圓”解題要比解析法來(lái)的直觀、簡(jiǎn)潔、快速。

3、比較運(yùn)動(dòng)快慢（計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間）

例3：兩光滑斜面的高度都為h，OC、OD兩斜面的總長(zhǎng)度都為l，只是OD斜面由兩部分組成，如圖8所示，將甲、乙兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)由靜止釋放，不計(jì)拐角處的能量損失，問(wèn)哪一個(gè)球先到達(dá)斜面底端？

解析：（解法1）本題采用v-t圖象求解，作出物體分別沿OC、OD斜面運(yùn)動(dòng)的v-t圖象（如圖9），由圖可得乙球先到達(dá)斜面底端。

解法2：構(gòu)建如圖10所示的等時(shí)圓，交OC于A點(diǎn)，交OD于B點(diǎn)。由“等時(shí)圓”可知，tOB=tOA，由機(jī)械能守恒定律可知，VB>VA，VC=VD，所以VBD>VAC，又因?yàn)閮尚泵娴目傞L(zhǎng)度相等，故XBD<XAC，所以有tBD<tAC，有t乙<t甲，即乙球先到達(dá)斜面底端。

解后反思：對(duì)于涉及豎直面上物體運(yùn)動(dòng)快慢、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比較、計(jì)算等問(wèn)題，可考慮用“等時(shí)圓”模型來(lái)求解，會(huì)更直觀、高效，激發(fā)學(xué)生的思維，提升建模的能力，給學(xué)生帶來(lái)意想不到的效果。

磁場(chǎng)中的“等時(shí)圓”

模型建立

如圖11所示，在xoy平面內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射出大量同種帶電粒子，它們的速度大小相等，方向均在xoy平面內(nèi)，與y軸的正方向的夾角分布在0--3600的范圍內(nèi)。則在任一時(shí)刻這些粒子都在同一個(gè)圓上，此圓稱(chēng)為磁場(chǎng)中的“等時(shí)圓”。

證明：設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m（不計(jì)重力），電量為q，速度為v，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，那么帶電粒子在洛倫茲力的作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11實(shí)線所示：

經(jīng)過(guò)時(shí)間t，任一粒子到圓心O點(diǎn)的距離均為：，將所有粒子所在位置用一曲線連接起來(lái)，這就是我們所說(shuō)的“等時(shí)圓”，如圖11虛線所示。

應(yīng)用例析

例4：如右下圖所示，在0≤x≤a，0≤y≤a/2范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)。求最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的。

（1）速度的大小;

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

分析：本題的難度是：學(xué)生分析不出最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子究竟是哪一個(gè)粒子，其運(yùn)動(dòng)軌跡有什么特征？如果運(yùn)用“等時(shí)圓”模型就能迅速化解此難點(diǎn)。

解析：畫(huà)出三個(gè)半徑相等且滿足的“抽樣”軌跡圓，如圖19實(shí)線所示，讓帶電粒子分別從矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的上邊界、右邊界、下邊界的三個(gè)不同段射出，每個(gè)“抽樣”軌跡圓與邊界的交點(diǎn)即為帶電粒子出磁場(chǎng)的點(diǎn)，以右邊界上的出射點(diǎn)為圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，畫(huà)出一個(gè)“等時(shí)圓”，如圖12虛線所示;同理，以與磁場(chǎng)的上邊界相切的出射點(diǎn)為圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，畫(huà)出一個(gè)“等時(shí)圓”，如圖13虛線所示;由此可以輕松的判斷出：運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)上邊界相切的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)。

解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)洛倫茲力提供向心力：有：

如圖14所示：依據(jù)題意，有，∠OCA=900，由幾何關(guān)系可得： 得：，則有：

3、評(píng)析：

學(xué)生在求解本題時(shí)，難點(diǎn)是不能找到問(wèn)題的突破口，也就不能分析得出結(jié)論：在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡與磁場(chǎng)的上邊界相切，運(yùn)用“等時(shí)圓”模型能清晰找到此臨界情況，從而克服難點(diǎn)。

光學(xué)中的“等時(shí)圓”

1、模型建立

如圖15，一束平行光經(jīng)平面界面折射后仍為平行光，對(duì)入射光束作垂直平面AB，這是入射光的一個(gè)波面;對(duì)折射光束作垂直平面A′B′，這是折射光的一個(gè)波面.那么各光線從一個(gè)波面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)波面所經(jīng)歷的時(shí)間是否相等？

分析：由折射定律可得：

設(shè)光束邊緣的兩條光線在兩個(gè)波面間傳播的距離分別為x1，x2，所以有：

，可得即：t1=t2

結(jié)論：當(dāng)一束平行光發(fā)生折射時(shí)，各光線從一個(gè)波面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)波面的時(shí)間相等。這是單色光的等時(shí)性，對(duì)于單色光的直線傳播及反射也同樣成立。那對(duì)于復(fù)色光呢？有怎樣的結(jié)論？

如圖16所示，一束白光PO從真空斜射入某種介質(zhì)中，入射點(diǎn)為O，發(fā)生折射后，各種單射光在相同的時(shí)間內(nèi)從入射點(diǎn)開(kāi)始到達(dá)的位置均在一個(gè)幾何圓周上，此圓稱(chēng)為“等時(shí)圓”。

證明：在O點(diǎn)的右側(cè)介質(zhì)界面上任取一點(diǎn)N，作以O(shè)N為直徑的半圓。設(shè)白光折射色散后的邊界紅光為OH，紫光為OZ，（H，Z為圓周上的交點(diǎn)）;作過(guò)N點(diǎn)與入射光線PO平行的光線MN（白光），又過(guò)端點(diǎn)O作平行光MN的垂線OM交MN于M點(diǎn)，根據(jù)惠更斯原理可知，對(duì)于介質(zhì)中的紅光OH的H點(diǎn)（或紫光OZ的Z點(diǎn)）與N點(diǎn)處于同一波面上，即白光在真空中從M點(diǎn)傳播到N點(diǎn)的時(shí)間等于在介質(zhì)中紅光從O點(diǎn)傳播到H點(diǎn)（紫光從O點(diǎn)傳播到Z點(diǎn)）的時(shí)間。各種色光在真空中的波速是相等的，所以不論是紅、紫光還是其他的單色光，在介質(zhì)中色散彼此傳播的光線均是一簇發(fā)散弦，光線在這些弦上傳播時(shí)間均相等。這就是光學(xué)中的“等時(shí)圓”。

2、應(yīng)用例析

如果我們能夠借助于惠更斯的“等時(shí)圓”模型，求解有關(guān)光的傳播時(shí)間問(wèn)題，便很能清晰地說(shuō)明問(wèn)題，直觀易懂，加深印象，更有利于學(xué)生理解與掌握。

例5：如圖17所示一束由紅、藍(lán)兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角θ射入，穿過(guò)玻璃磚從下表面射出，已知該玻璃對(duì)紅光的折射率為1.5，設(shè)紅光與藍(lán)光穿過(guò)玻璃磚所需時(shí)間分別為t1和t2，則在θ逐漸由0°增大到90°的過(guò)程中有：

A. t1始終大于t2 B. t1始終小于t2

C. t1先大于后小于t2 D. t1先小于后大于t2

解析：（解法1）設(shè)折射角為α，玻璃磚的厚度為h，由折射定律，且，在玻璃磚中的時(shí)間為：，聯(lián)立解得

紅光頻率較小，θ為零時(shí)，t1

此法定量去解析求解，比較繁瑣，不直觀易懂，且需要特殊值代入加以檢驗(yàn)，說(shuō)服力不強(qiáng)，若能夠借助于惠更斯的“等時(shí)圓”模型來(lái)求解，則簡(jiǎn)潔、直觀，問(wèn)題就迎刃而解。

解法2：已知該玻璃對(duì)紅光的折射率為1.5，則臨界角的正弦值為，而，即紅光的臨界角小于450，那么紫光的臨界角也小于450，也就是最大的折射角都小于450，由圖18可知，構(gòu)建一個(gè)惠更斯“等時(shí)圓”，在折射角小于450的情況下，在等時(shí)圓中藍(lán)光對(duì)應(yīng)的等時(shí)弦始終小于紅光的等時(shí)弦，所以在平行玻璃磚中，折射率小的折射光線在其中的距離總比原來(lái)在等時(shí)圓中等時(shí)弦短，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間就短，所以在在平行玻璃磚中紅光傳播的時(shí)間始終小于藍(lán)光傳播的時(shí)間。

若玻璃對(duì)紅光的折射率為1.4，則臨界角的正弦值為，表明臨界角大于450，因此當(dāng)入射角增大到一定值時(shí)，折射角會(huì)大于450，此時(shí)等時(shí)弦如圖19所示，對(duì)于平行玻璃磚，折射率大的折射光線在其中的距離比原來(lái)在等時(shí)圓中等時(shí)弦短，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間就短，因此，在折射角逐步從零增大的過(guò)程中，紅光在平行玻璃磚傳播的時(shí)間先小于藍(lán)光傳播的時(shí)間，而后大于藍(lán)光傳播的時(shí)間。

結(jié)語(yǔ)：核心素養(yǎng)，是每個(gè)人發(fā)展與完善自我、融入社會(huì)及勝任工作所必需的基礎(chǔ)性素養(yǎng)，是適應(yīng)個(gè)人終生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的必備品格與關(guān)鍵能力。科學(xué)的基本活動(dòng)就是探索與建立模型，幫助學(xué)生從新的物理情境中提取有效信息，挖掘隱含條件，構(gòu)建物理模型，然后把所學(xué)的物理概念和規(guī)律遷移到問(wèn)題中快速找到解決問(wèn)題的方法。面對(duì)這樣一群鮮活的、有學(xué)習(xí)積極性的學(xué)生，我們教師應(yīng)該針對(duì)性地進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，以提高思維的敏捷性和建模能力，從而助推物理核心素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)

[1]《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》文件.2016年

[2]黃國(guó)龍《高中物理競(jìng)賽重要思維方法專(zhuān)題》浙江大學(xué)出版社2018年

[3]范小輝《新編高中物理奧賽指導(dǎo)》南京師范大學(xué)出版社2017年

[4]鄭志湖、鄭陸敏《“學(xué)為中心”的高中物理教學(xué)》浙江教育出版社2017年