高中三角教學中有效滲透數(shù)學思想方法的案例分析

樂小良

【摘要】在高中三角內(nèi)容的教學中，從內(nèi)容上看紛繁復雜和靈活多變，但進行教材分析之后我們發(fā)現(xiàn)較多有章可循的地方，不是零散而無序的，而是完整的知識體系。還有貫穿整個體系的脈絡(luò)，也是體系的精髓——數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法不是以具體的教材內(nèi)容出現(xiàn)，卻是統(tǒng)領(lǐng)學生學習三角知識的指揮棒，也是衡量學生數(shù)學學習能力的重要標志。筆者在現(xiàn)有的教學經(jīng)驗基礎(chǔ)上依托中學數(shù)學教育教學規(guī)律，探討教師在三角內(nèi)容的教學實踐中怎樣實現(xiàn)全面有效滲透數(shù)學思想方法。結(jié)合教學實例分析各種數(shù)學思想方法在三角內(nèi)容中的應用，證實三角教學中滲透數(shù)學思想方法的研究價值。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；三角教學；數(shù)學思想；有效滲透

一、研究的背景

高中教材中的三角部分系統(tǒng)性強，有相對完整的知識體系，可以根據(jù)學生的特點在三角學習的過程中加強思想方法的訓練。眾所周知，思想引領(lǐng)著知識，學生在學習知識的時候，如果不始終貫穿思想，學生學習的知識是零散無效的，學生的思維能力也得不到發(fā)展。因此在研究高中三角內(nèi)容的教學時，應從教學中如何滲透數(shù)學思想方法著手。在三角教學中較好滲透數(shù)學思想方法不僅解決學生學習三角困難而且可以發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，為學習其他數(shù)學知識打下堅實的基礎(chǔ)，建立學生學好數(shù)學的自信心。同時也是發(fā)展教師專業(yè)能力的良好途徑。另外對三角內(nèi)容的考查一直是高考的關(guān)注點，研究近幾年高考試題我們可以發(fā)現(xiàn)，考查內(nèi)容主要是運用三角函數(shù)的函數(shù)內(nèi)含解決數(shù)學問題和運用解三角形知識進行三角形邊角關(guān)系的推算。弱化了繁難巧的三角變換考查，符合《新課程標準》提出重視對基本概念的教學，以及培養(yǎng)學生數(shù)學思想和數(shù)學核心素養(yǎng)的要求。

數(shù)學思想是數(shù)學本質(zhì)的思維形式，它是在提高學生數(shù)學思維能力中獲得的。數(shù)學思想不僅引領(lǐng)知識，也啟發(fā)思維。隨學生思維的成熟和知識的積累，學生逐漸掌握數(shù)學思想方法并將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹R的遷移能力，學生具備了知識的遷移能力才可能應對靈活多變的問題。所以在教學實踐中，教師應逐步滲透數(shù)學思想方法，并在教學活動中幫助學生建立數(shù)學思想方法引領(lǐng)數(shù)學思維的學習模式。

二、數(shù)學思想方法在三角教學中的應用案例分析

三角函數(shù)是體現(xiàn)數(shù)學思想的經(jīng)典案例，在解不等式，比較大小，最優(yōu)化的問題時常常將三角函數(shù)作為媒介達到解決問題的目的。在三角教學中滲透函數(shù)思想主要體現(xiàn)在以下兩方面：其一，運用三角函數(shù)特殊性質(zhì)解決求值、證明、不等式、方程等問題；其二，用三角代換將其他問題通過轉(zhuǎn)移到三角問題上來，利用三角知識靈活性和多變性解決原有問題。

高中常見的數(shù)學思想有：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，函數(shù)與方程思想和化歸轉(zhuǎn)化思想。下面結(jié)合三角教學案例來分析如何有效滲透各種數(shù)學思想方法。

1.數(shù)形結(jié)合思想

恩格斯說過：“研究客觀世界里物質(zhì)之間量的關(guān)系和空間關(guān)系的科學是數(shù)學。”數(shù)形結(jié)合有兩個方面。一方面，“以形助數(shù)”是以圖的直觀性指導思維方向，得到解決問題的思路。另一方面，“以數(shù)解形”是在解決問題時通過計算的數(shù)量來解決具體幾何問題，這表明了“數(shù)和形”巧妙結(jié)合。實現(xiàn)數(shù)與形之間來去自如的轉(zhuǎn)變，需要理解數(shù)所含的形，形所需的數(shù)。

代數(shù)的可運算和幾何的可操作都集中在數(shù)形結(jié)合思想之中。在高中數(shù)學教學中運用廣泛，以下進行舉例說明。

在三角教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想解決問題類型如下：

1.求值域（取值范圍）中的數(shù)形結(jié)合思想

例1 求函數(shù) 的值域。

圖4

分析：原函數(shù)可以改寫成，我們可以把該式視作定點A（3，-2），和動點連接的斜率，設(shè)，則由： ，x2+y2=1知，動點B表示的是單位圓。則y表示連接定點A與單位圓上任意一點B的直線的斜率，如圖4所示，設(shè)直線1的方程為y+2=k（x-3）即kx-y-3k-2=0圓心到直線l的距離不大于半徑得 ，解出k的值即為函數(shù)的值域。

解：由知，y表示定點A（3，-2）和動點連線的斜率，設(shè)，則由：，s2+y2=1知，動點B為單位圓。則y表示連接定點A與單位圓上的任意一點B的直線l的斜率，如圖1所示設(shè)直線l的方程為y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0。圓心到直線l的距離不大于半徑得，解之得，所以函數(shù)的值域為

注意在運用數(shù)形結(jié)合求解三角函數(shù)的問題時，應時刻牢記動點（acosd，asind）表示圓，遇到分式想斜率，遇到平方和想距離。

2.證明或求值中的數(shù)形結(jié)合思想

求證：

分析：，直線l：ax+by=1，則點A與點B均在直線上也均在單位圓上，即它們是直線與單位圓的交點，如圖5所示設(shè)圓心o到直線l的距離為d，由平面幾何知識知，代入數(shù)據(jù)化簡即可得到要證明的結(jié)論。證明設(shè)，直線l：ax+by=1，則點A與點B是直線與單位圓的交點，如圖2所示圓心到直線的距離為d，由平面幾何有

2.分類討論思想

將復雜多變的問題按一定可行的標準對關(guān)鍵要素進行分類，分類要注意做到不重不漏，在每類情況中這個要素是確定的，所以每類的問題變得簡潔可行，達到解決原有問題的目的。三角函數(shù)知識中蘊含了豐富的分類討論的思想。三角函數(shù)的周期性、正弦余弦平方關(guān)系中符號的確定、三角變換中的誘導公式都是常見的討論點。在解決該類型的題目時，要時刻記住注意對相關(guān)角及參數(shù)進行分門別類的討論。

例3 化簡：

解析：原式=

（1）當n為偶數(shù)，即時

原式

（2）當n為奇數(shù)，即時

原式

所以。

分類討論思想往往不是單獨使用，和其他數(shù)學思想方法一起被綜合運用，例如在復合函數(shù)的單調(diào)性和最值問題中，應結(jié)合整體思想進行分類討論。

例 4 求函數(shù)的最小值.

分析：本例考查了學生的整體代換、分類討論的數(shù)學思想，以及函數(shù)圖像如對勾的函數(shù)的單調(diào)性 。其中k 是個待定常數(shù)，“對鉤”函數(shù)的最值與常數(shù)k 的取值有關(guān)， k的取值范圍確定了“對鉤”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求最值點需要依據(jù)單調(diào)區(qū)間的確定，為了解題的方便一般用整體代換法，因為整體代換是通向數(shù)學本質(zhì)的一座橋梁，它能夠?qū)碗s問題簡單化。

3.函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是將遇到的問題通過觀察、聯(lián)想構(gòu)造成已經(jīng)掌握的函數(shù)模型上來，再研究這個函數(shù)的性質(zhì)達到解決原有問題目的。方程思想是將數(shù)學問題中的數(shù)學關(guān)系用含未知數(shù)的等式表達出，達到解決問題的目的。三角的學習過程中函數(shù)思想和方程思想非常常見，例如初中學習的二次函數(shù)和一元二次方程經(jīng)常是被用來研究含三角函數(shù)的復合函數(shù)問題的突破口。將剛學習的三角問題用熟練的函數(shù)性質(zhì)來解決，方程方法也是解決三角問題的較好途徑之一。

例5 函數(shù)的最大值

分析： 為求函數(shù)的最大值，需轉(zhuǎn)化為某一個角的同一種三角函數(shù)，從而需建立 與之間的關(guān)系，為此，自然想到，引入輔助函數(shù)，設(shè)，則

所以

利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值為。

例6 設(shè)為銳角，且

求證：

證明：將已知的等式整理成以為變量的一元二次方程：

其判別式

所以

又為銳角，，于是有

又因為

所以，即

4.化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸轉(zhuǎn)化思想將遇到的問題通過邏輯推理轉(zhuǎn)化到已掌握的知識和能力上來。在學習新知的過程中經(jīng)常是題目的已知條件和題目的問題存在較大距離，只能借助已有的知識或解決模式來分析面對的新問題，將面臨的問題轉(zhuǎn)移到已掌握的方法上來。從而順利解決棘手的問題。三角函數(shù)中常見的轉(zhuǎn)化問題有“切化弦”“統(tǒng)一名稱”“統(tǒng)一大小”“整體代換”等?；瘹w轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵是要從表象看本質(zhì)，通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化來解決問題。在三角教學中我們可以經(jīng)?？吹交瘹w轉(zhuǎn)化思想的運用，例如體現(xiàn)在兩角和差公式推導出倍角公式中，研究一般三角函數(shù)性質(zhì)和與其他函數(shù)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)中。

例7 已知，求 的取值范圍。

分析：由可得

因為，所以

解得或

故

令，則，（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）

因為的對稱軸為，所以

即的取值范圍是

點評：本題的解法體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，把困難的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單的二次函數(shù)的定義域，值域問題。但在轉(zhuǎn)化過程中要注意三角函數(shù)的范圍問題，此題中的最小值不是-1。

再如比較常見是將三角函數(shù)依題意代入已知條件中，利用三函數(shù)值的封閉性確定其他參數(shù)的范圍，也可將參數(shù)視為含三角函數(shù)的復合函數(shù)并以此來求值域，從而確定參數(shù)的范圍，順利完成化歸轉(zhuǎn)化。

例8.關(guān)于x的方程有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍。

解：原方程可化為

所以

故所求范圍是

點撥：例題利用三角代換，轉(zhuǎn)換參數(shù)x成，快速解m，跨度較大，但巧妙靈活。

解決三角問題的過程是在三角函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)理解基礎(chǔ)上對角的值、函數(shù)名稱和代數(shù)結(jié)構(gòu)進行變換的過程。題型有化簡、求值及證明等不同的形式，但其中包含的數(shù)學思想方法還是有章可循的，運用以上轉(zhuǎn)化、化歸思想，可以幫助學生將面臨的問題進行轉(zhuǎn)化到自己的能力范圍內(nèi)，從而提高學生學習的自信心和內(nèi)驅(qū)力，引導學生走進創(chuàng)新思維的殿堂中。

作為數(shù)學教育的核心內(nèi)容——數(shù)學思想的培養(yǎng)是一個廣泛而深刻的課題，本文只是對三角內(nèi)容隱含的數(shù)學思想方法進行了案例分析方面的研究，整個高中數(shù)學應如何滲透數(shù)學思想方法的教學研究需要廣大數(shù)學教育工作者們更深入地探討，為突破高中數(shù)學教學中的重難點問題提供更多更好的方法。

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