基于EWB的三階自治混沌系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)

摘 要：基于EWB仿真軟件，本研究設(shè)計(jì)了一個三階自治混沌系統(tǒng)的物理電路，分析了該系統(tǒng)的混沌機(jī)理，在EWB軟件上仿真并獲取了該混沌電路的二維相圖，表明了電路設(shè)計(jì)的有效性。

關(guān)鍵詞：EWB;三階自治混沌系統(tǒng);混沌電路

中圖分類號：TP242.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5168（2019）32-0029-02

Circuit?Design?of?Third-Order?Autonomous?Chaotic?System?Based?on?EWB

LYU?Ensheng

（Henan?Technical?Institute，Zhengzhou?Henan?450042）

Abstract：?Based?on?EWB?simulation?software，?this?paper?designed?a?physical?circuit?of?a?third-order?autonomous?chaotic?system?and?analyzed?the?chaotic?mechanism?of?the?system，?then?simulated?and?acquired?the?two-dimensional?phase?diagram?of?the?chaotic?circuit?on?the?EWB?software，?which?showed?the?effectiveness?of?the?circuit?design.

Keywords：?EWB;third-order?autonomous?chaotic?system;chaotic?circuit

自1983年蔡少棠發(fā)明蔡氏混沌電路（Chua’s?Circuit）以來1，2，混沌電路的設(shè)計(jì)與研究就成了熱點(diǎn)問題，為了研究混動動力學(xué)行為，學(xué)者通過搭建混沌電路或虛擬仿真測量等方式獲取混沌相圖1。EWB仿真軟件簡潔、使用方便，是最可靠的混沌電路設(shè)計(jì)軟件之一。EWB軟件是加拿大交換圖像技術(shù)有限公司（Interactive?Image?Technologies?Ltd）發(fā)行的EDA仿真軟件，功能豐富。EWB軟件是專用電路仿真軟件，入門與上手快、人機(jī)交互方便，界面友好，深受電子學(xué)工作者歡迎，擁有數(shù)量非常大的用戶。EWB軟件還有一個優(yōu)點(diǎn)，它能夠提供較大規(guī)模的電路，同時運(yùn)行速度能夠滿足使用者感官要求。

混沌電路的設(shè)計(jì)主要有兩種類型。一種是先設(shè)計(jì)混沌電路，再分析電路，寫出狀態(tài)方程，如蔡氏電路，這類電路的設(shè)計(jì)往往技巧性較強(qiáng)，不容易實(shí)現(xiàn)。另一種是先有混沌系統(tǒng)方程，根據(jù)混沌系統(tǒng)方程設(shè)計(jì)電路，如洛倫茨（Lorenz）系統(tǒng)電路，這類電路設(shè)計(jì)主要用集成運(yùn)放組合設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)1，設(shè)計(jì)較為簡單。目前，常見的混沌電路類型有Chua電路、Lorenz混沌電路、Rossler混沌電路和Jerk混沌電路3。另外，還有近些年設(shè)計(jì)的混沌電路。這些電路大多為三維系統(tǒng)，風(fēng)格差別大、來源廣泛，多為自治系統(tǒng)，幾乎任何一個混沌方程都能找到相應(yīng)的混沌電路，因此將EWB應(yīng)用到普通三階自治混沌系統(tǒng)電路仿真中具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

1 三階自治混沌系統(tǒng)

選取的三階自治混沌系統(tǒng)狀態(tài)方程3為：

x=-0.5x-x-Bx-x2????????????????????????（1）

式中，B為控制參數(shù)。

為了方便設(shè)計(jì)混沌電路，改寫式（1），設(shè)x=-y，y=-z，那么式（1）可以寫成式（2），即

dx/dt=-ydy/dt=-zdz/dt=-0.5z+y-Bx-x2???????????（2）

若已知三階自治混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在多數(shù)情況下，可以使用通用電路設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出相應(yīng)的混沌電路，一般微分方程組的數(shù)學(xué)模型可以用基本初等函數(shù)表示，就能夠用比例運(yùn)算、積分器、加減法器和模擬乘法器等實(shí)現(xiàn)電路設(shè)計(jì)。

2 三階自治混沌系統(tǒng)的混沌機(jī)理分析

在式（2）相空間中求平衡點(diǎn)，令x=0，y=0，z=0，得到兩個平衡點(diǎn)s+=（0，-1，0）、s-=（0，0，0）。當(dāng)分析式（2）在平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性時，在s+和s-處線性化處理的Jacobian矩陣為：

J=0-1000-1-B1-0.5???????????????????????????（3）

令λI-J=0，當(dāng)B=1時，式（3）在s+和s-處有相同的特征根：λ1=-1.142?14、λ2，3=σ1+jω1=0.821?069±j0.448?771。由此可知，三階自治混沌系統(tǒng)在s+和s-平衡點(diǎn)有實(shí)特征根γ及一對共軛復(fù)特征根σ±jw、σγ<1，根據(jù)Shilnikov定理4，系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌鞍焦型同宿軌道和異宿軌道，進(jìn)而產(chǎn)生混沌態(tài)。

三個Lyapunov指數(shù)分別為λ1=0.094、λ2=0.00、λ3=-0.594，其中，λ1>0，表明該系統(tǒng)混沌的。

通過Kaplan-Yorke公式5計(jì)算新系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)，DL=2.158表明系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)維分形，求式（2）的？V。三階自治混沌系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)，以e-0.5t速度進(jìn)行收斂，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)會演變?yōu)橐粋€體積為0的吸引子。

3 Jerk系統(tǒng)的硬件電路設(shè)計(jì)

用EWB5.12軟件搭建式（2）的仿真電路，除去x2為非線性項(xiàng)，其余均為線性項(xiàng)，利用基本線性電路，即積分模塊、反相器模塊、加法器模塊和非線性項(xiàng)模塊（本例為乘法器模塊）四大模塊電路6，按照式（2）三階自治混沌系統(tǒng)各變量的對應(yīng)關(guān)系，連接各模塊的輸入端和輸出端，實(shí)現(xiàn)三階自治混沌系統(tǒng)的混沌電路功能，如圖1所示。其中，反相器模塊和加法器模塊的電阻阻值關(guān)系為式（2）的對應(yīng)系數(shù)，調(diào)節(jié)非常方便，互不影響，設(shè)計(jì)的電路十分簡潔。

下面進(jìn)行電路分析。集成運(yùn)放A1輸出端的是x，則集成運(yùn)放A2輸出端是y（-x），集成運(yùn)放A3輸出端是z（-x），電阻R1右端是-x，x是由x、x、x組合的多項(xiàng)式：集成運(yùn)放A5輸出是-0.5x-Bx-x2，A5輸出是0.5x-x+Bx+x2，對照式（2）可知，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)三階自治混沌系統(tǒng)的混沌電路功能。

基于EWB設(shè)計(jì)的電路圖，用EWB仿真，利用雙蹤示波器觀察到的二維相圖如圖2所示，它是單渦卷形狀，是混沌的表現(xiàn)，表明設(shè)計(jì)有效。

4 結(jié)論

針對三階自治混沌系統(tǒng)，本文分析了其混沌機(jī)理，基于EWB軟件，設(shè)計(jì)了三階自治混沌系統(tǒng)的混沌電路。研究表明，以模塊電路連接起來，軟件仿真和硬件調(diào)試都很方便?；煦缦到y(tǒng)和混沌電路動力學(xué)分析軟件很多，主要有VB、EWB、PSPICE、MATLAB仿真軟件，EWB設(shè)計(jì)混沌電路最為簡潔，如果EWB軟件仿真成功，那么真實(shí)物理電路按照仿真電路也可以做出來，這種設(shè)計(jì)方法在其他三階自治混沌系統(tǒng)也不失一般性。

參考文獻(xiàn)：

1張新國，馬義德，李守亮.非線性電路：基礎(chǔ)分析與設(shè)計(jì)M.北京：高等教育出版社，2011.

2CHUA?L?O，LIN?G?N.Canonical?realization?of?Chua's?circuit?familyJ.IEEE?Transactions?on?Circuits?and?Systems，1990（7）：885-902.

3Sprott?J?C.A?new?class?of?chaotic?circuitJ.Physics?Letters?A，2000（1）：19-23.

4Christopher?P?S.Shil'nikov's?Theorem：A?tutorialJ.IEEE?Transactions?on?Circuits?and?Systems?I?Fundamental?Theory?and?Applications，1993（10）：675-682.

5禹思敏.混沌系統(tǒng)與混沌電路：原理、設(shè)計(jì)及其在通信中的應(yīng)用M.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011.

6呂恩勝，張光鋒.Chen氏系統(tǒng)的標(biāo)度化設(shè)計(jì)及其硬件實(shí)現(xiàn)J.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2013（7）：2083-2086.