基于魔比斯環(huán)的拓展實驗和性質初探

沈敏

【摘要】：從素質教育素材引入魔比斯環(huán)及其手工實驗，在此基礎上從不同初始扭轉值、裁剪多次、不沿中線裁剪三個方向拓展出一系列相關手工實驗，并取得初步的實驗數(shù)據，基于這些手工實驗和實驗數(shù)據，對以魔比斯環(huán)為代表的、初始扭轉為奇數(shù)*π的一系列紙圈的性質進行了初步探討，最后指出未來有潛力的深入研究方向。

【關鍵詞】：拓撲幾何? 魔比斯環(huán)? 素質教育 拓展實驗

素質教育一直是備受關注的話題，而類似四色定理、魔比斯環(huán)等等數(shù)學領域的話題其實完全可以作為素質教育的素材，用以啟迪青少年的學習興趣。本文擬從摩比斯環(huán)的手工實驗切入，做一些簡單的嘗試。

一、?????? 摩比斯環(huán)的制作

魔比斯環(huán)又叫莫比烏斯帶，是數(shù)學領域里一種特殊的曲面，有著很多奇妙的性質。魔比斯環(huán)于公元1858年由德國數(shù)學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）發(fā)現(xiàn)并以莫比烏斯的名字命名。拋開深邃而嚴謹?shù)臄?shù)學公式，我們可以這樣制作一個簡單的魔比斯環(huán)：把一根紙條的一端扭轉π后，與另一端粘接起來做成一個紙帶圈。

二、?????? 摩比斯環(huán)的性質

魔比斯環(huán)具有很多魔術般的性質。

如我們比較熟知的，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，我們沿紙帶中間畫一條連續(xù)曲線只能覆蓋到紙帶的一個面（比如正面），如果想要覆蓋到另一面（比如反面），就必須越過紙帶的邊緣。而魔比斯環(huán)只有一個面（即單側曲面），我們沿紙帶中間畫一條連續(xù)曲線可以不必越過紙帶的邊緣就能覆蓋到整個曲面，或者說從曲線出發(fā)點出發(fā)，筆尖不必越過紙帶邊緣就可以將這條連續(xù)曲線劃到出發(fā)點背面對應的位置。

將魔比斯環(huán)沿中央剪開，紙圈并沒有一分為二，而是成為一個兩倍長的大紙圈。這個大紙圈是一個扭轉的雙側曲面，扭轉了多少度呢？它等價于將紙帶一端扭轉4π后與另一端粘接起來做成的紙帶圈。從上述手工實驗可以發(fā)現(xiàn)，制作單側曲面的摩比斯環(huán)時一端扭轉的π，在沿中線裁剪過程中翻了4倍并轉移到新形成的大的雙側曲面紙帶圈上，即大的紙帶圈扭轉了4π。

三、?????? 摩比斯環(huán)的拓展及相關性質

如果把上述得到的扭轉4π的雙側曲面紙帶圈再沿中線剪開，則得到兩條互相纏繞的雙側曲面紙帶圈，并且這兩條紙帶圈分別等價于將紙帶一端扭轉4π后與另一端粘接起來做成的紙帶圈。即這個扭轉4π的紙帶圈再次沿中線裁剪后得到的兩個紙帶圈扭轉效果不再變化，每條紙帶圈均扭轉4π。而且，這兩條相互纏繞的紙帶如果選其中一條為基準，則另一條繞它旋轉纏繞兩圈，即纏繞4π。其他初始扭轉的紙帶及其沿中線裁剪后的情況詳見表1，表中右下角空白處因未做實驗，暫無數(shù)據。

從上表中的實驗數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)，初始扭轉為偶數(shù)*π的紙圈沿中線裁剪后的情況相對簡單。而初始扭轉為奇數(shù)*π的紙圈的性質都類似于魔比斯環(huán)，都是單側曲面，并且沿中線裁剪后的情況都相對復雜得多。比如初始扭轉為3π的紙圈，沿中線裁剪第2次后得到的紙圈雖然只有2個，但是不光每個紙圈的扭轉達到8π，而且兩個紙圈既有相互多重纏繞，還有自身的多重纏繞，已經十分錯綜復雜。

另一方面，上述的裁剪均是沿中線裁剪，如果不是沿中線裁剪呢？

實驗結果顯示，初始扭轉為偶數(shù)*π的紙圈，由于初始扭轉是整圈，故不管是否沿中線裁剪均不影響結果。但是初始扭轉為奇數(shù)*π的紙圈則不同，如果不沿中線裁剪而是偏一邊裁剪，剪第1次后得到的就不是1個更長的紙圈，而是1個同原來一樣長但窄一些、扭轉值等于初始值的紙圈，外加1個更長的紙圈。其中這個長紙圈與沿中線裁剪得到的長紙圈等價，并且這一長一短兩個紙圈相互纏繞在一起，纏繞值=初始扭轉值*2。

四、?????? 小結

從上述的手工實驗結果可以發(fā)現(xiàn)，實際上性質類似魔比斯環(huán)的紙帶圈遠不止將一端扭轉180°或π后粘接的紙圈這一種，而是初始扭轉為奇數(shù)*π的這一類紙圈都有類似性質，并且隨著初始扭轉值越大，沿中線裁剪后得到的紙圈情況越復雜。上述的手工實驗看似簡單，但實際上至少啟發(fā)了兩個問題或者兩個探索方向：

1. 能否通過嚴謹?shù)臄?shù)學推理得到如表1所示的紙圈的規(guī)律。其中兩個自變量分別為初始扭轉值和沿中線裁剪次數(shù)，因變量則包括得到紙圈數(shù)、每個紙圈扭轉值、自身纏繞值、相互纏繞值等。

2. 能否構建電腦模型來模擬上述手工實驗用以研究其規(guī)律。