平底蛋形斷面隧洞正常水深直接計(jì)算方法

牛坤　華強(qiáng)

摘要：平底蛋形斷面具有施工相對(duì)簡(jiǎn)單、適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但斷面形狀較復(fù)雜，正常水深計(jì)算需要求解超越方程，計(jì)算過(guò)程繁瑣且無(wú)法直接求解。利用面積分割法計(jì)算出普通平底蛋形斷面的水力要素方程，得到3種典型斷面的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e、濕周和水深方程。根據(jù)正常水深基本方程和優(yōu)化擬合理論，推導(dǎo)出求解3種平底蛋形典型斷面正常水深超越方程的直接簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并進(jìn)行公式精度分析。結(jié)果表明，直接簡(jiǎn)化計(jì)算公式具有形式簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、精度高的特點(diǎn)，在適用范圍內(nèi)正常水深相對(duì)誤差最大值僅為0.34%。

關(guān)鍵詞：平底蛋形斷面;水力要素;正常水深;直接計(jì)算

中圖分類號(hào)：TV133

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn. 1000 - 1379.2019. 04.021

正常水深是明渠水流計(jì)算中的重要參數(shù)，其傳統(tǒng)計(jì)算方法主要有試算法、迭代法和查圖法等[1]，計(jì)算過(guò)程繁瑣且一般無(wú)法直接求解。對(duì)于常見(jiàn)無(wú)壓隧洞如城門(mén)洞形、馬蹄形等斷面形式的正常水深計(jì)算研究，通過(guò)采用擬合優(yōu)化或迭代算法，已取得了較為實(shí)用的成果[2-5]。無(wú)壓蛋形斷面隧洞是排灌工程采用的斷面形式之一，結(jié)構(gòu)受力條件良好，水力性能優(yōu)越，適用于地質(zhì)條件差、山巖壓力大的地質(zhì)環(huán)境。對(duì)于普通的六圓弧和四圓弧蛋形斷面，文獻(xiàn)[6-9]推導(dǎo)出水力要素表達(dá)式，并給出了正常水深的直接計(jì)算公式。

平底蛋形斷面作為《水工設(shè)計(jì)手冊(cè)》[10]推薦的無(wú)壓水工隧洞專用斷面之一，將普通六圓弧蛋形斷面的反拱圓弧底調(diào)整為平底板，降低了施工難度，具有較好的應(yīng)用前景。目前，對(duì)于平底蛋形斷面的水深計(jì)算未見(jiàn)研究成果，本文推導(dǎo)了平底蛋形普通斷面的水力要素表達(dá)式，分析了3種平底蛋形典型斷面正常水深隱函數(shù)方程，運(yùn)用擬合優(yōu)化方法獲得該斷面形式的簡(jiǎn)化直接計(jì)算公式，為工程應(yīng)用提供簡(jiǎn)單、實(shí)用的計(jì)算方法。

1 平底蛋形普通斷面形狀特征參數(shù)

平底蛋形普通斷面由5段圓弧和底部水平直線段組成，其斷面形狀如圖l（a）所示。斷面最大寬度為b，底部水平直線段兩端為1/4圓弧段，圓弧半徑為r1;中部扇形區(qū)域由半徑為r2的兩段圓弧圍成，圓心位于斷面最大寬度處的水平線上，圓心角為θ;頂拱段圓弧半徑為r3，圓心位于斷面中心線上，對(duì)應(yīng)的圓心角為π一2θ。

2 平底蛋形斷面水力要素計(jì)算

2.1 平底蛋形普通斷面水力要素

根據(jù)平底蛋形普通斷面的形狀特征，不同水深處的過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA由兩側(cè)扇形區(qū)、中部矩（梯）形區(qū)組合而成，斷面水力計(jì)算參數(shù)如圖l（b）所示，則過(guò)水?dāng)嗝婷娣e

2.2 平底蛋形典型斷面水力要素

無(wú)壓隧洞斷面高寬比一般在1.0 - 1.5之間，《水工設(shè)計(jì)手冊(cè)》[10]給出了3種常用的平底蛋形典型斷面形狀特征參數(shù)，見(jiàn)表1。I型、Ⅱ型和Ⅲ型斷面的最大寬度均為6，高寬比分別為1.0、1.2、1.4，中部扇形區(qū)域圓弧半徑與斷面寬度的比值分別為1.0、1.5、2.0。3種斷面隨著高寬比的增大，斷面向“瘦高形”變化，頂拱圓心角越小，越適用于垂直地應(yīng)力（豎向荷載）大的場(chǎng)合。

3 平底蛋形斷面正常水深計(jì)算

3.1 平底蛋形斷面正常水深的理論計(jì)算

平底蛋形斷面正常水深的計(jì)算采用明渠均勻流基本方程，即

將表2中3種平底蛋形典型斷面的水力參數(shù)計(jì)算公式代人式（4），整理可得不同水深范圍的正常水深求解方程。限于篇幅，僅給出I型斷面的正常水深求解方程，Ⅱ型、Ⅲ型求解方程類似。

由式（5）可知，平底蛋形典型斷面的正常水深方程均為關(guān)于圓心角與已知量綜合參數(shù)的一元方程。式（5）為超越方程，無(wú)法直接求解計(jì)算，一般通過(guò)間接迭代法或試算法求解，計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜。

3.2 平底蛋形典型斷面正常水深的直接計(jì)算式推求

關(guān)于無(wú)壓隧洞無(wú)量綱正常水深x的取值范圍，理論上為0≤x≤H/b，在工程實(shí)際中，對(duì)于x<0.05的較小過(guò)流情況，正常水深計(jì)算的實(shí)際意義不大。同時(shí)現(xiàn)行規(guī)范[11]規(guī)定，無(wú)壓隧洞應(yīng)避免運(yùn)行中出現(xiàn)明滿流交替狀態(tài)，要求頂部?jī)艨彰娣e不小于整個(gè)隧洞斷面面積的15%。經(jīng)試算求得XI≤0.75、xII≤0.90、xIII≤1.05，無(wú)量綱正常水深均位于斷面頂拱以下區(qū)域內(nèi)，相應(yīng)的無(wú)量綱綜合參數(shù)Y1∈[0.040 5，0.477 2]、yII∈[0.040 9.0.541 5]、yⅢ∈[0.038 1，0.608 5].

在x取值范圍內(nèi)以一定的步長(zhǎng)值給定一組數(shù)值，將其代人式（6）的αβ表達(dá)式中，再將求出的αβ值代人式（5），即可求得相應(yīng)的無(wú)量綱綜合參數(shù)y值。運(yùn)用Curve Expert軟件，對(duì)散點(diǎn)（y、x）進(jìn)行擬合分析，得到無(wú)量綱正常水深的直接計(jì)算公式。I型斷面公式為

4 公式精度分析

為分析擬合公式的正確性及誤差分布情況，以I型斷面為例進(jìn)行精度分析。首先在XI∈[0.05，0.75]的范圍內(nèi)給定不同的x值，由式（6）求出α、β值，再將其代人式（5），求出相應(yīng)的y值，把y值代人式（7）即可求出x的近似值x，從而計(jì)算準(zhǔn)確值x的相對(duì)誤差，同理可得出Ⅱ型和Ⅲ型斷面擬合公式（8）、公式（9）的誤差分布情況，具體結(jié)果見(jiàn)圖2。

由圖2可知，正常水深直接計(jì)算公式在適用范圍內(nèi)的相對(duì)誤差圍繞無(wú)量綱水深x呈正負(fù)小幅波動(dòng)，相對(duì)誤差均較小，大部分區(qū)域相對(duì)誤差在±0.1%之間，最大相對(duì)誤差不超過(guò)0.34%。表明上述正常水深直接計(jì)算公式可滿足工程需要，是3種平底蛋形典型斷面正常水深計(jì)算的高精度簡(jiǎn)便方法。

5 應(yīng)用舉例

某水庫(kù)泄洪隧洞擬采用平底蛋形斷面，斷面最大寬度6= 8.4 m，隧洞表面糙率n=0.015.隧洞比降江0.014，設(shè)計(jì)流量為460 m/s，校核流量為580 m/s，分別計(jì)算采用I、Ⅱ、Ⅲ型斷面時(shí)的隧洞正常水深。

經(jīng)計(jì)算得：采用I型斷面時(shí)，正常水深數(shù)值解分別為4.342、5.362 m，相對(duì)誤差分別為-0.1 12%、0.122%;采用Ⅱ型斷面時(shí)，正常水深數(shù)值解分別為4.293、5.206m，相對(duì)誤差分別為-0.074%.-0. 116%：采用Ⅲ型斷面時(shí)，正常水深數(shù)值解分別為4. 311、5.157 m，相對(duì)誤差分別為0.068%、- 0.083%。可見(jiàn)，擬合公式精度滿足工程需要。

6 結(jié)論

根據(jù)明渠均勻流基本方程，推導(dǎo)了平底蛋形斷面的水力要素表達(dá)式，研究了其正常水深的計(jì)算方法，通過(guò)擬合優(yōu)化計(jì)算，給出了3種平底蛋形典型斷面正常水深的直接簡(jiǎn)化計(jì)算公式。通過(guò)算例驗(yàn)證了正常水深直接計(jì)算公式的準(zhǔn)確性，與理論值比較，其最大相對(duì)誤差僅為0.34%。直接計(jì)算公式形式簡(jiǎn)單、計(jì)算方便，精度完全滿足工程應(yīng)用要求，便于工程設(shè)計(jì)應(yīng)用。

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