函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

許福生

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)解題中的基本思想，函數(shù)是運(yùn)用一動一變的思想，分析和研究數(shù)學(xué)中的變量關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)換問題、解決問題;方程思想則是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過解方程組或不等式組使問題獲得解決。

一、函數(shù)與方程思想密不可分

函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，看似沒有交集，實(shí)則密切相關(guān)。在高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程應(yīng)用最廣泛的是方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y= f（x）的零點(diǎn)，即y= f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根[?]函數(shù)y= f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)[?]函數(shù)y= f（x）有零點(diǎn)。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a[≠]0）的零點(diǎn)：1.若[Δ]>0，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);2.若[Δ]=0，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);3.[Δ]<0，方程ax2+bx+c=0無實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，二次函數(shù)不存在零點(diǎn)。因此可以這樣說函數(shù)的解決離不開方程，方程的解決要運(yùn)用函數(shù)，兩者在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮著重要的作用。

例：函數(shù)f（x）=x3-x2-x+1在[0，2]上有幾個(gè)零點(diǎn)？

解析：由于f（x）=x3-x2-x+1=（x-1） 2-（x-1） ，令f（x）=0，得到x=1，因此函數(shù)在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)。

例：若a>1，設(shè)函數(shù)f（x）=ax+x-4的零點(diǎn)為m，g（x）=logax+x-4的零點(diǎn)為n，則[1m+1n]的取值范圍是多少？

解析：欲求[1m+1n]的取值范圍，很容易聯(lián)想到基本不等式，于是需探討m、n之間的關(guān)系，觀察f（x）與g（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義，可以把題目中兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax與直線y=-x+4交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，故其圖像關(guān)于直線y=x對稱，又因直線y=-x+4垂直于直線y=x，指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax與直線y=-x+4交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是直線y=x與y=-x+4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，這樣即可建立起m、n的數(shù)量關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式求解。

令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x與y=-x+4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，由[y=xy=-x+4]，解得x=2，所以n+m=4，因?yàn)椋╪+m）（ [1m+1n]）=1+1+[1m+1n]≥4，又n≠m，故（n+m）（[1m+1n] ）>4，則[1m+1n] >1。利用函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)位置，使方程滿足其根的限制條件，是最常見的方程與函數(shù)統(tǒng)一的思想。

二、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

（一）在不等式中的應(yīng)用

不等式反映的是不等量的關(guān)系，往往需要用等量關(guān)系去解決，這就是方程。函數(shù)與不等式可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù) y= f（x），當(dāng)y>0 時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式 f（x）>0，借助于函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以解決不等式的有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式。

例：設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍。

分析：常見的思維定勢，易把此問題看成關(guān)于x的不等式討論，然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]上恒成立的問題，因此可以變?yōu)?，設(shè)f（m）=（x2-1）m-（2x-1） ，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)f（m）的值在[-2，2]內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)滿足的條件{f（2） <0，f（-2） <0}。

解：問題變成關(guān)于m的一次不等式：（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]恒成立，設(shè)f（m）=（x2-1）m-（2x-1），

則 f（2）= 2（x2-1）-（2x-1） <0

f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1） <0

一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題明朗化?；蛘咴诤袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)更具靈活性，從而巧妙地解決問題。

（二）在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或其子集，數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和就是以自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要。在運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問題的同時(shí)，也加深了對數(shù)列概念的本質(zhì)理解。

（三）在實(shí)際問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)知識不單單是對公式定理的理解，還應(yīng)將所學(xué)的知識能很好地應(yīng)用在實(shí)際問題中，真正地做到舉一反三，學(xué)以致用，而函數(shù)與方程思想常常運(yùn)用于實(shí)際問題中。

例：某農(nóng)場，可以全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等農(nóng)作物，且產(chǎn)品全部供應(yīng)距農(nóng)場d（km）（d<200km）的中心城市，其產(chǎn)銷資料如下表：當(dāng)距離d達(dá)到n（km）以上時(shí)，四種農(nóng)作物中以全部種植稻米的經(jīng)濟(jì)效益最高（經(jīng)濟(jì)效益=市場銷售價(jià)值—生產(chǎn)成本—運(yùn)輸成本），則n的值是多少？

[ 水果 蔬菜 稻米 甘蔗 市場價(jià)格（元/kg） 8 3 2 1 生產(chǎn)成本（元/kg） 3 2 1 0.4 運(yùn)輸成本（元/kg.km） 0.06 0.02 0.01 0.01 單位面積相對產(chǎn)量（kg） 10 15 40 30 ]

解析：設(shè)單位面積全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的經(jīng)濟(jì)效益分別為y1、y2、y3、y4，則y1=50-0.6d，y2=15-0.3d，y3=40-0.4d，y4=18-0.3d，由[y3≥y1y3≥y2y3≥y4d<200?]50≤d<200，故n=50。通過運(yùn)用不等式方程組，可以很方便地解決生活中遇到的實(shí)際問題。

三、結(jié)語

由以上解題過程我們發(fā)現(xiàn)，只要我們勤于動腦，善于動腦，樹立起運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的意識，就一定會在解題中有新的發(fā)現(xiàn)，新的創(chuàng)新，從而將數(shù)學(xué)知識學(xué)活，使我們的數(shù)學(xué)解題能力不斷提高。

（責(zé)編 ?唐琳娜）