分析靜電場(chǎng)中零勢(shì)點(diǎn)的選擇

周明

摘 要：在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)是一參考量，所以只有在零電勢(shì)點(diǎn)確定后，才可談空間中的電勢(shì)，零電勢(shì)選擇得當(dāng)可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，選擇不當(dāng)，則會(huì)使電勢(shì)的表達(dá)形式比較繁瑣甚至出現(xiàn)無(wú)確定的值。本文將從幾種典型電場(chǎng)的零電勢(shì)位置的確定，說(shuō)明選擇零電勢(shì)點(diǎn)的一般原則和方法。

關(guān)鍵詞：靜電場(chǎng)；零勢(shì)點(diǎn)；選擇

一、電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性和受限性

1.電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性

電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)是相對(duì)零電勢(shì)點(diǎn)而言的，靜電場(chǎng)力把單位正電荷從場(chǎng)點(diǎn)p處移到參考點(diǎn) 處所作的功是 。例如帶電量為正 的點(diǎn)電荷電場(chǎng)，若選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則電場(chǎng)中任意點(diǎn)的電勢(shì)為 = 其中 是場(chǎng)點(diǎn)到點(diǎn)電荷 的距離，若零電勢(shì)點(diǎn)選在距點(diǎn)電荷rA處，則 = （ ）顯然，電勢(shì)零點(diǎn)選擇位置不同，該點(diǎn)的電勢(shì)值不同，但它們都有確定的物理意義，且零勢(shì)點(diǎn)的選取不會(huì)影響電勢(shì)的變化規(guī)律。因此，對(duì)于點(diǎn)電荷，它的零電勢(shì)點(diǎn)無(wú)論選在何處，電場(chǎng) ，其性質(zhì)沒(méi)有變，所以我們可以這樣說(shuō)，對(duì)于點(diǎn)電荷電場(chǎng)，電勢(shì)零點(diǎn)的選擇具有任意性。

2.電勢(shì)零點(diǎn)選擇的受限性

電勢(shì)零點(diǎn)的選擇雖然帶有一定的任意性，但也受一定條件限制，這個(gè)條件是：電勢(shì)零點(diǎn)一旦選定，電場(chǎng)中各個(gè)點(diǎn)電勢(shì)必須具有確定的值，否則就毫無(wú)意義，即積分

必須是收斂的，所以說(shuō)電勢(shì)零點(diǎn)的選擇要依具體問(wèn)題具體分析。

由一定帶電體系所決定的電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)是場(chǎng)點(diǎn)的矢量函數(shù)，它的形式一般為 其中A是與場(chǎng)源電荷分布情況，場(chǎng)源電荷電量大小及選取單位有關(guān)的比例系數(shù)，r指場(chǎng)點(diǎn)至帶電體或至帶電體系中心的距離，m為整數(shù)，電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)可寫(xiě)為：

= =

從上式可以看出，電勢(shì)參考點(diǎn)的選取由m決定，下面分三種情況討論電勢(shì)。

（1）當(dāng)m>1時(shí)，零電勢(shì)參考點(diǎn)的選取

此時(shí)，電場(chǎng)中p點(diǎn)的電勢(shì)可寫(xiě)為 = = =A ，對(duì)（1）式，當(dāng)取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí) ，當(dāng)取電場(chǎng)中某一點(diǎn) 為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí) ，當(dāng)取帶電體本身的電勢(shì)為零時(shí) ，例如點(diǎn)電荷的電場(chǎng) ，電偶極子的電場(chǎng) ，電四極子的電場(chǎng) =

三式都是電荷分布在有限的區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式，且其中的m均大于1，只是在選無(wú)窮遠(yuǎn)的電勢(shì)為零時(shí)，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式最為簡(jiǎn)單，便于我們處理問(wèn)題。

（2） 當(dāng)m<1時(shí)，零電勢(shì)參考點(diǎn)的選取

此時(shí)，空間中某一點(diǎn)的電勢(shì)可寫(xiě)為 = = = ，同理，當(dāng)取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)即 時(shí) = ，當(dāng)取帶電體本身所在處為電勢(shì)零點(diǎn)即 時(shí) = ，當(dāng)取帶電體附近的某一點(diǎn) 為電勢(shì)零點(diǎn)即 時(shí)

同樣，當(dāng)m<1時(shí)，帶電體系激發(fā)的場(chǎng)中零電勢(shì)的參考點(diǎn)既可選在帶電體的表面上，又可選在電場(chǎng)中的某一點(diǎn)上，當(dāng)選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)中任意一點(diǎn)的電勢(shì) = ，沒(méi)有意義。

（3）當(dāng)m=1時(shí)，零電勢(shì)參考點(diǎn)的選取

此時(shí)，帶電體系在空間激發(fā)的電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)可寫(xiě)為 = = = ，當(dāng)取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)， = 當(dāng)取帶電體本身所在處為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)即 時(shí)， = ，當(dāng)取帶電體附近的某一點(diǎn) 為電勢(shì)零點(diǎn)即 時(shí)， = ，由上式我們可以看出，當(dāng)m=1時(shí)，要想使電勢(shì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式有意義， 必須不為零，那樣， 才有確切的值。

1.3 零點(diǎn)不同的電勢(shì)如何疊加

在勻外場(chǎng) 中置入一個(gè)點(diǎn)電荷 ，把坐標(biāo)原點(diǎn)取在點(diǎn)電荷所在處，均勻電場(chǎng)的電勢(shì)零點(diǎn)，我們?cè)O(shè)為 ，則 ，點(diǎn)電荷的電勢(shì)為 ，若選無(wú)窮遠(yuǎn)處為零點(diǎn)，則 = ，則合電場(chǎng)的電勢(shì)通常表示為

我們知道，無(wú)論零點(diǎn)如何，電勢(shì)的表達(dá)式中，變量項(xiàng)的形式總是一定的，因?yàn)榱泓c(diǎn)不同，電勢(shì)只差一個(gè)常數(shù)，只影響常數(shù)項(xiàng)，而點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)隨空間變化的規(guī)律取決于 ，均勻電場(chǎng)的電勢(shì)取決于 ，兩個(gè)場(chǎng)疊加起來(lái)以后，變化規(guī)律取決于 + ，而零電勢(shì)點(diǎn)的變化，只須改變 的取值即可，均勻電場(chǎng)的電勢(shì)在x方向的變化規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

[1] 梁俊.物理學(xué)中對(duì)于“零”的理解及其應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討，2002（11）：35-36.