HPM視角下圓的面積公式教學(xué)

王雅琪 瞿鑫婷

【摘 要】“圓的面積”是滬教版數(shù)學(xué)六年級上冊的內(nèi)容。在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，大多數(shù)教師依照教科書的編排方式，將圓面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形面積進(jìn)行計(jì)算。在這種教學(xué)方式下，學(xué)生難以真正體會極限思想和“以直代曲”思想。為了讓學(xué)生更好地體會圖形變化中無限逼近的數(shù)學(xué)思想，更深入地理解圓面積公式，文章從HPM視角對“圓的面積”設(shè)計(jì)教學(xué)，通過融入劉徽的割圓術(shù)、阿基米德的同心圓法、開普勒的分割變形法等數(shù)學(xué)史料，促進(jìn)學(xué)生對圓面積公式的理解，幫助學(xué)生突破認(rèn)識上的障礙。

【關(guān)鍵詞】HPM;圓的面積公式;極限思想

“圓的面積”是滬教版數(shù)學(xué)六年級上冊的內(nèi)容。各版本數(shù)學(xué)教材分別采用了不同的引入方式：人教版、北師大版、滬教版以生活背景問題引入，蘇教版以數(shù)方格方法引入，西師大版以圓周長公式引入。各版本數(shù)學(xué)教材關(guān)于圓面積公式的推導(dǎo)均采用割圓拼補(bǔ)法，雖然轉(zhuǎn)化的目標(biāo)圖形不同，但所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想是一致的。

在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，大多數(shù)教師依照教科書的編排方式，啟發(fā)學(xué)生動手操作，將圓面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形面積[1-7]。受教科書給出的拼圖方法（用扇形拼成近似平行四邊形）的影響，學(xué)生往往認(rèn)為圓面積公式是一個近似公式，而非準(zhǔn)確公式，故難以真正體會極限思想和“以直代曲”思想，也難以接受拼圖法在極限的情況下能將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形、長方形。這些問題反映出學(xué)生對圓面積公式的探究和理解還不夠到位。而少數(shù)HPM教學(xué)設(shè)計(jì)為了解決以上問題，采用了開普勒等積變換方法。但在教學(xué)實(shí)踐中，有些教師直接將三角形面積代替了扇形面積，沒有體現(xiàn)極限的過程[8-9]。

為了讓學(xué)生更好地體會圖形變化中無限逼近的數(shù)學(xué)思想，更深入地理解圓面積公式，筆者嘗試從HPM視角對“圓的面積”進(jìn)行教學(xué)，通過融入劉徽的割圓術(shù)、阿基米德的同心圓法、開普勒的分割變形法等數(shù)學(xué)史料，促進(jìn)學(xué)生對圓面積公式的理解，幫助學(xué)生突破認(rèn)識上的障礙?；谝陨峡紤]，筆者擬定了如下教學(xué)目標(biāo)：

①知道圓面積概念，理解和掌握圓面積的計(jì)算公式，并能正確計(jì)算圓面積。

②通過剪圓的操作過程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力、動手操作能力、抽象概括能力和自主探索能力;通過交流與分享圓面積公式的推導(dǎo)過程，提升學(xué)生的語言表達(dá)能力。

③探索圓面積公式，體會“以直代曲”“圓出于方”的轉(zhuǎn)化思想和極限思想。

④了解歷史上數(shù)學(xué)家推導(dǎo)圓面積公式的方法，理解數(shù)學(xué)文化的多元性，體會數(shù)學(xué)背后的人文精神，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

1劉徽與圓面積公式

公元263年，劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)用割圓術(shù)證明了圓面積公式。所謂割圓術(shù)，是用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積的方法。劉徽在注中稱：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！比鐖D1所示，劉徽在單位圓內(nèi)作出內(nèi)接正十二邊形，利用出入相補(bǔ)原理，將正十二邊形拼成一個長為正十二邊形的半周長、寬為圓半徑的長方形[10]。再作圓內(nèi)接正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形……相應(yīng)得到與多邊形等面積的長方形。圓被分割得越細(xì)，長方形面積就越接近圓面積。隨著正多邊形的邊數(shù)越來越多，相應(yīng)長方形的長就越來越接近圓周長的一半，而寬始終等于圓半徑。最后通過長方形面積公式得到圓面積公式——半周長乘半徑。

2阿基米德與圓面積公式

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《圓的度量》一書中給出一個命題：“圓面積等于一條直角邊長等于圓半徑，另一條直角邊長為圓周長的直角三角形面積?！盵11]據(jù)推測，阿基米德通過以下方法發(fā)現(xiàn)圓面積公式：如圖2所示，將圓從圓心開始直到邊緣分成一些細(xì)窄的同心圓環(huán)，并將這些同心圓環(huán)逐一展開疊成一個直角三角形，將圓無限細(xì)分時(shí)，圓面積與直角三角形面積近似相等。

3開普勒與圓面積公式

17世紀(jì)，德國著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒在自己的婚禮上，仍思考著葡萄酒桶體積的算法。要解決這個問題，就要先求出圓面積公式。如圖3，開普勒將圓分割成一些小扇形，分割得越細(xì)，小扇形就越接近以圓心為頂點(diǎn)、半徑為高的小三角形。依次將這些小三角形轉(zhuǎn)化為等底等高的小三角形，拼起來就得到一個直角三角形。在極限的情形下，該直角三角形面積等于圓面積[12]。

本課注重聯(lián)系實(shí)際，在學(xué)生原有知識和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上引入圓面積概念及方法;在分析交流環(huán)節(jié)中，融入劉徽的割圓術(shù)、阿基米德的同心圓法、開普勒的分割變形法等相關(guān)數(shù)學(xué)史，并將它們作為閱讀材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、推理，在教學(xué)過程中滲透“化曲為直”“以直代曲”“無限逼近”等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力。

1復(fù)習(xí)舊知，引入新課

在教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的概念、圓的周長、弧長等內(nèi)容。教師通過簡短的問答，既能幫助學(xué)生回顧之前所學(xué)內(nèi)容，又能很快引入本節(jié)課的課題。

師：在前幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的什么知識？

生：圓的周長、弧長、圓周率。

師：你們還想知道關(guān)于圓的哪些知識呢？

生：我們還想知道如何求圓面積。

師：那今天就讓我們一起來探究如何求圓面積。什么是圓面積呢？

生：圓面積是圓所占平面的大小。

2動手操作，感知極限

這一階段設(shè)計(jì)兩個操作環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生通過探究正多邊形與圓的關(guān)系，知道可以利用正多邊形面積無限逼近圓面積，體會極限思想。

環(huán)節(jié)一：將方形紙片剪成圓

師：請大家只用剪刀把桌上的方形紙片剪成一個圓形。大家可以怎么剪呢？

生1：可以四分之一、四分之一地剪（如圖4所示）。

生2：先將紙對折四次，再剪出稍微平一些的?。ㄈ鐖D5所示）。

師：剪完展開后我們發(fā)現(xiàn)，這個圓類似花瓣，而且有點(diǎn)坑坑洼洼。你們還有其他方法嗎？

生3：我的方法與生2相同，剪完展開后，再將凸起來的地方進(jìn)行修整。

師：老師發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生將紙片對折起來，只要剪一個半圓就可以了;有的學(xué)生將紙片對折兩次，只要剪四分之一圓弧就可以了。那么，如何使剪的路徑盡可能短呢？

生：將紙片對折更多次。

師：我們將紙片對折到不能對折為止，那么怎樣剪才能使展開的圖形更接近圓呢？

生：剪一段不太彎的弧。

師：我們不妨用直線段代替曲線，剪直線段試試（操作展示，如圖6所示）。

生：基本接近圓了。

師：利用圓的對稱性，對折的次數(shù)越多，剪出的正多邊形就越接近圓。我們知道，在紙片上對折的次數(shù)是有限的，如果借助技術(shù)手段將紙片無限次對折，用剪刀沿著直線段剪后展開，在極限狀態(tài)下得出的圖形就是圓。

環(huán)節(jié)二：將圓形紙片剪成正多邊形

師：通過剪圓，我們感受到“圓出于方”的思想。這對我們求圓面積有什么啟發(fā)嗎？

生：我們可以把圓面積近似看成一個正多邊形面積。

師：雖然正多邊形面積近似等于圓面積，但它們之間還有一定的差值?，F(xiàn)在我們把圓形紙片剪成正多邊形，感受它們之間的差值到底有多大。

學(xué)生分組操作，將圓對折不同的次數(shù)（2次、3次、4次、5次），剪出圓中最大的正多邊形，并比較剪下來的部分。

師：我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓對折的次數(shù)越多，正多邊形面積與圓面積之間的差值就越小。如果圓能夠無限次對折，那么正多邊形面積與圓面積就相等了。

教師通過幾何畫板分別作了圓內(nèi)接正四邊形、正八邊形、正十六邊形、正三十二邊形（如圖7所示），讓學(xué)生更直觀地感受多邊形的邊數(shù)越多，圓面積與正多邊形面積的差值就越小。當(dāng)邊數(shù)無窮多時(shí)，正多邊形面積近似等于圓面積。

環(huán)節(jié)一中，教師引導(dǎo)學(xué)生對折紙片后沿直線段剪，體現(xiàn)了“以直代曲”思想;環(huán)節(jié)二中，教師要求學(xué)生比較剪下來圖形的面積大小，感受正多邊形與圓之間的面積差，體會極限思想。此外，在方形紙中剪圓，本質(zhì)上是從外側(cè)逼近圓;而在圓形紙中剪正多邊形，則是從內(nèi)側(cè)逼近圓，體現(xiàn)了阿基米德的雙側(cè)逼近法。由于這部分內(nèi)容偏難，因此不作為學(xué)生在課堂上的閱讀材料，而是融入到他們的實(shí)際操作當(dāng)中。

3轉(zhuǎn)化圖形，推導(dǎo)公式

師：從圓中剪出正多邊形的過程與我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)十分類似。材料一（多媒體放映，略）介紹了劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，推導(dǎo)出圓面積公式，并求得圓周率的近似值。有沒有同學(xué)會翻譯劉徽的經(jīng)典名句“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”？

生4：割得越細(xì)，剩下的面積越少;割了又割，到最后不可以割時(shí)，正多邊形面積就和圓面積一樣了，差值為零。

師：很好！通過動手剪圓操作和劉徽割圓術(shù)的啟發(fā)，我們可以利用正多邊形面積近似替代圓面積。而在極限的狀態(tài)下，正多邊形面積就等于圓面積。那么，怎樣求正多邊形面積呢？

生5：先將正多邊形沿半徑分割成許多小的等腰三角形，然后展開，最后將這些小三角形倒插起來。

師：很好的思路！老師現(xiàn)在把一個正多邊形剪成16個小三角形。你能給大家演示如何將這些小三角形倒插起來嗎？（生5演示小三角形倒插過程，略）請問倒插起來后得到的是一個什么圖形？

生5：平行四邊形（如圖8所示）。

師：這個平行四邊形的底和高分別是什么？

生5：它的底近似等于圓周長C的一半，它的高近似等于圓的半徑r，所以平行四邊形面積近似為S=12Cr。

師：當(dāng)圓被分割得越來越細(xì)時(shí)，平行四邊形面積就越來越接近圓面積。在極限的情形下，平行四邊形的底等于圓周長C的一半，平行四邊形的高等于圓的半徑r，其面積為S=12Cr，這也是圓面積公式。

教師書寫圓面積公式的推導(dǎo)過程：S=12Cr=12·2πr·r=πr2

學(xué)生拼接圓形的方法是將無限接近于圓的正多邊形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積，與劉徽的割圓術(shù)具有異曲同工之妙。這與課本上將圓分割成許多小扇形，再將這些小扇形直接拼成近似平行四邊形的方法不同：課本上的方法所拼成的圖形面積始終等于圓面積，其形狀是近似的平行四邊形;而學(xué)生的方法所拼成的圖形是真實(shí)的平行四邊形，其面積是圓面積的近似值。

師：還有其他推導(dǎo)方法嗎？

生6：將正多邊形沿半徑分割成許多小的等腰三角形，求其中一個等腰三角形的面積，再乘三角形的個數(shù)就可以了。

師：很好的思路！假設(shè)我們將正n邊形分割成n個相同的小三角形。每個小三角形的底邊為a，用C正表示正n邊形的周長，那么C正與a有何關(guān)系？

生6：a=C正n。

師：若設(shè)每個小三角形的高為h，則它的面積S△是多少？

生6：S△=12·a·h=12·C正n·h。

師：那么，正n邊形的面積是多少？

生6：nS△=12·C正n·h·n=12C正h。

師：我們通過剪紙操作可知，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越多時(shí)，正多邊形周長C正就越接近圓周長C，小三角形高h(yuǎn)也越接近圓半徑r（PPT演示，如圖9所示）。在極限的情形下，正多邊形周長C正變成了圓周長C。此時(shí)，正多邊形的面積是多少？

生：S=12Cr，這就是圓面積。

上述雖然沒有采用拼圖方法，但每次割圓之后計(jì)算每個小三角形的面積并將其相加，得到正多邊形的面積，實(shí)際上是將開普勒的分割變形法置于求極限的過程之中。

師：在推導(dǎo)圓面積公式時(shí)，我們運(yùn)用了數(shù)學(xué)中著名的極限思想。不論是將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形，還是轉(zhuǎn)化成若干個小三角形，都是用直線代替曲線，這也是“以直代曲”數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。

教師播放劉徽割圓術(shù)的微視頻，讓學(xué)生進(jìn)一步感知極限思想。此環(huán)節(jié)后，教師又展示了多個生活中“以直代曲”的例子（如圖10所示），讓學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)。

4.重溫經(jīng)典，交流分享

在數(shù)學(xué)史長河中，雖然早已有關(guān)于圓面積計(jì)算公式的記載，但仍然有許許多多數(shù)學(xué)家出于對數(shù)學(xué)的熱愛，不斷創(chuàng)造新方法來探索圓面積公式。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生回顧歷史，重溫經(jīng)典。在閱讀歷史材料（多媒體放映，略）中兩位數(shù)學(xué)家推導(dǎo)圓面積公式的小故事后，教師要求學(xué)生根據(jù)圖形的變化，交流分享數(shù)學(xué)家推導(dǎo)圓面積公式的過程。

生7：將圓想象成無數(shù)個同心圓套在一起，然后沿半徑剪開，再沿著剪開的地方“掰開”，就可以近似得到一個等腰三角形。等腰三角形的底即圓的最外圈，其長度就是圓的周長C，而高就是圓的半徑r，可以得到圓面積公式S=12Cr。

生7：半徑不動，把每個同心圓都拉直，還可以近似得到一個直角三角形。

教師動畫演示，略。

師：阿基米德將圓分割成無數(shù)、無限細(xì)的同心圓環(huán)，這樣的極限思想讓人佩服。在我們課本的第一節(jié)里有一句話“點(diǎn)動成線，線動成面”，這其中也蘊(yùn)含著極限思想。

生8：先將圓分割成無數(shù)個極小的扇形，再把這些扇形展開鋪在一條直線上，平移它們的頂點(diǎn)，使面積不變（即等積變換），得到新三角形的底即圓的周長C，高即圓的半徑r，可得圓面積公式S=12Cr。

教師動畫演示，略。

師：同學(xué)們你們看，開普勒在自己的婚禮宴會上竟將注意力放在一個葡萄酒桶上，可見他對數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了癡迷的程度。

在交流分享環(huán)節(jié)，教師將講臺交給學(xué)生。學(xué)生通過閱讀歷史材料，自主探究，進(jìn)行猜想、推理，升華他們對圓面積公式的認(rèn)識。在學(xué)生講解之后，教師進(jìn)行動畫演示，讓學(xué)生直觀感受推導(dǎo)圓面積公式的動態(tài)過程，體驗(yàn)極限思想。

5講解例題，總結(jié)回顧

本環(huán)節(jié)中，教師用例題進(jìn)行回顧。題1是《九章算術(shù)》方田章圓田問題“今有圓田，徑十步，問為田幾何？”。教師要求學(xué)生將問題譯成現(xiàn)代漢語，并自主解答。題1后是關(guān)于圓面積公式的若干應(yīng)用問題。其中有一題將圓面積與圓周長聯(lián)系在一起：已知一個圓的周長為628米，求這個圓的面積。教師提示學(xué)生可以利用半周長乘半徑方法求解。

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生說出最喜歡的數(shù)學(xué)家或求圓面積的方法，并談?wù)勛约涸谶@節(jié)課中感受到的數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，為了延續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的熱情，教師可以要求學(xué)生課后向家長介紹圓面積公式的探索過程，鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力。此外，還可以讓學(xué)生查閱意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里的棉線法以及其他求圓面積不同的方法，感悟數(shù)學(xué)家對真理孜孜不倦的探究精神。

課后，筆者對43名聽課學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查。有42名學(xué)生表示喜歡本節(jié)課中數(shù)學(xué)史的融入，認(rèn)為對其學(xué)習(xí)圓面積公式有較大幫助。關(guān)于圓面積公式的不同推導(dǎo)方法，21名學(xué)生喜歡劉徽的割圓術(shù)，10名學(xué)生喜歡阿基米德的同心圓法，10名學(xué)生喜歡開普勒的分割變形法，還有2名學(xué)生喜歡將圓割成三角形拼成平行四邊形的方法。關(guān)于難以理解的方法和仍存在的困惑，8名學(xué)生認(rèn)為他們沒有難以理解的方法和困惑;8名學(xué)生對割圓術(shù)的理解比較困難，因?yàn)檎噙呅问冀K無法與圓完全重合，且他們對割圓術(shù)中用到出入相補(bǔ)原理沒有完全理解;9名學(xué)生對同心圓法的理解比較困難，因?yàn)檎归_圖形的形狀呈“階梯狀”而并非是嚴(yán)格的三角形;4名學(xué)生對分割變形法的理解比較困難，因?yàn)槿切蔚牡走吶允乔€;14名學(xué)生對棉線法的理解比較困難。關(guān)于課堂中印象深刻的環(huán)節(jié)，17名學(xué)生對剪圓、剪多邊形的動手操作印象深刻，6名學(xué)生對自主推導(dǎo)公式的過程印象深刻，10名學(xué)生對數(shù)學(xué)家的不同推導(dǎo)公式方法印象深刻，10名學(xué)生對微視頻、動畫等印象深刻。對于“你認(rèn)為這節(jié)課中，相關(guān)數(shù)學(xué)史知識給你什么幫助與啟示”問題，有的學(xué)生認(rèn)為，這節(jié)課讓他們知道了要勇于創(chuàng)新，而不是拘泥于他人的方法，而且圖文并茂的方式有助于直觀理解問題;有的學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于生活和無數(shù)次的實(shí)踐，反復(fù)推敲才能得出大家熟知的公式;有的學(xué)生認(rèn)為，三種圓面積的推導(dǎo)方法，充分體現(xiàn)了人類永無止境的探索精神;還有的學(xué)生認(rèn)為，做數(shù)學(xué)題不能只是簡單地套用公式，而是要理解如何推導(dǎo)、如何運(yùn)用，這才是做數(shù)學(xué)題的核心。

在本節(jié)課中，融入數(shù)學(xué)史的價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

第一，歷史上不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家都對圓面積公式做過證明。本節(jié)課運(yùn)用了歷史上兩種推導(dǎo)圓面積公式的方法，一是劉徽的割圓術(shù)，二是開普勒的分割變形法。同時(shí)，閱讀材料還呈現(xiàn)了阿基米德的同心圓法。學(xué)生在本節(jié)課中充分感受到了求圓面積公式的“方法之美”。

第二，通過用方形紙片剪圓和圓形紙片剪正多邊形的操作活動，學(xué)生理解了正多邊形與圓之間的關(guān)系，體會到了“以直代曲”“圓出于方”的轉(zhuǎn)化思想和極限思想。教師借鑒推導(dǎo)圓面積公式的歷史，引領(lǐng)學(xué)生通過剪紙操作發(fā)現(xiàn)割圓術(shù)，實(shí)際上通過數(shù)學(xué)史營造了“探究之樂”。從學(xué)生課后的反饋表明，大多數(shù)學(xué)生喜歡這一環(huán)節(jié)。

第三，數(shù)學(xué)并不是孤立的一門學(xué)科。本節(jié)課將歷史、語文等多門學(xué)科融合在一起，如教師讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上翻譯古代漢語。課堂上所展示的不同時(shí)空數(shù)學(xué)家的圓面積公式推導(dǎo)方法，讓學(xué)生認(rèn)識了數(shù)學(xué)文化的多元性。因此，通過數(shù)學(xué)史的融入，教師展示了數(shù)學(xué)的“文化之魅”。此外，學(xué)生也能體會到古代數(shù)學(xué)家求真、創(chuàng)新、執(zhí)著的精神，達(dá)成了“德育之效”。

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