兩點(diǎn)之間距離公式的“變身”

李黨森

在知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中，不同的知識(shí)之間，會(huì)有有很多的聯(lián)系，形成知識(shí)體系，進(jìn)而行成完整的學(xué)科知識(shí)。在高中數(shù)學(xué)中，有一個(gè)很有趣的知識(shí)點(diǎn)，它就是兩點(diǎn)之間的距離公式。有很多知識(shí)都是它的變形，或者說(shuō)是它的化身。讓學(xué)生了解知識(shí)的本質(zhì)，掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程。

首先，我們先回顧一下兩點(diǎn)之間的距離公式。如右圖，過(guò)點(diǎn)分別向軸和軸作垂線和，垂足分別為（，0）和（0，），過(guò)點(diǎn)分別向軸和軸作垂線和，垂足為（，0）和（0，），延長(zhǎng)直線與相交于點(diǎn).則是直角三角形。

在中，由勾股定理可以得到，。要求，必須知道和的值。為了計(jì)算和，就要求的坐標(biāo)，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)相同，則的坐標(biāo).

于是有：=，=，所以=，，下面我們看一下點(diǎn)到直線的距離公式的定義和推倒。已知點(diǎn)直線求點(diǎn)P到直線?的距離。（因?yàn)樘厥庵本€很容易求距離，這里只討論一般直線）根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線?的距離是點(diǎn)P到直線?的垂線段的長(zhǎng)，如圖2，

設(shè)過(guò)點(diǎn)P做直線的垂線為?，垂足為Q，由?可知?的斜率為?，的方程：與聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)：

其實(shí)，點(diǎn)到直線的距離的本質(zhì)就是點(diǎn)P到兩直線的交點(diǎn)Q的距離，就是兩點(diǎn)之間的距離的一個(gè)化身。平行線間的距離公式本質(zhì)也是一條直線上的任意一點(diǎn)到另一直線的距離，其本質(zhì)也就是點(diǎn)到直線的距離公式。下面是平行線間的距離公式的推導(dǎo)。

設(shè)直線的方程分別為，，，點(diǎn)是直線上的任一點(diǎn)，設(shè)這點(diǎn)到直線的距離為，則，又，所以兩平行直線之間的距離.

兩點(diǎn)之間的距離公式的另一個(gè)變形就是圓的方程。其本質(zhì)還是兩點(diǎn)之間的距離公式的一個(gè)變形，等同于知道了兩點(diǎn)之間的距離和其中的一點(diǎn)坐標(biāo)，求另一點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為，定長(zhǎng)為，這動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由定義知：，兩邊平方得：，兩點(diǎn)之間的距離公式的另一個(gè)變形就是直線與圓錐曲線相交后，弦長(zhǎng)的計(jì)算公式。直線與圓錐曲線相交后的兩點(diǎn)之間的距離，也即是弦長(zhǎng)。下面我們推導(dǎo)一下弦長(zhǎng)公式。設(shè)直線的方程為，直線與圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則弦長(zhǎng)：

總之，正確認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)，注重知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，提高對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)，符合新課程理念的要求。在教學(xué)過(guò)程中，給學(xué)生一個(gè)更高的認(rèn)識(shí)，能讓學(xué)生很快構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高解題的能力，能更好的提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。