全國(guó)卷中離心率求值問(wèn)題的解題策略

吳世朗

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要概念，是橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)的一個(gè)交匯點(diǎn).全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷對(duì)圓錐曲線離心率的考查一直是個(gè)熱點(diǎn)，考查頻率很高，幾乎每年都有涉及。如2018理科卷Ⅱ12、卷Ⅲ11，文科卷Ⅰ4、卷Ⅱ11、卷Ⅲ11;2017理科卷Ⅰ15、卷Ⅱ9、卷Ⅲ10，文科卷Ⅱ5、卷Ⅲ11;2016理科卷Ⅱ11、卷Ⅲ11，文科卷Ⅰ5、卷Ⅲ12……全國(guó)卷對(duì)離心率的考查，基本上是以客觀題為主，偶有填空題解答題，中檔題居多，尤其近三年有加大的趨勢(shì)。

對(duì)于求圓錐曲線離心率的問(wèn)題，通常有兩類：一是求離心率的值問(wèn)題;二是求離心率的取值范圍，但從全國(guó)卷來(lái)分析，基本上側(cè)重于求離心率的值。

一般來(lái)說(shuō)，求離心率，只需要由條件得到一個(gè)關(guān)于基本量a，b，c的一個(gè)關(guān)系式，列出方程（組）或不等式（組），就可以從中求出離心率。如橢圓的離心率，雙曲線的離心率，就是由a，c或a，b的關(guān)系可直接求得離心率的值。但如果選擇方法不恰當(dāng)，則極可能計(jì)算量大，運(yùn)算繁瑣，小題大作了。本文從全國(guó)卷高考為例，探討分析離心率求值的解題策略。

一、直接利用題目中已具有的條件，建立等量關(guān)系。

有些試題中題意顯然，等量關(guān)系已存在，解題思路是根據(jù)已有的關(guān)系，直接列出方程或方程組。

例1（2016年全國(guó)卷1文數(shù)5）直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

【解析】設(shè)橢圓（a>b>0），根據(jù)題意直線l方程為，利用點(diǎn)到橢圓中心到l的距離為，由，即得。故答案選B。

【點(diǎn)評(píng)】因?yàn)轭}意中的等量關(guān)系很明顯，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可以直接建立a，b，c的一個(gè)齊次等式。

例2（2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)理20文20）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率;

【解析】：由已知可得，故直線MN的斜率為將代入，解得，（舍去）.故C的離心率為.

【點(diǎn)評(píng)】本題已知直線MN的斜率，可用兩點(diǎn)的斜率公式建立方程。

二、緊抓圓錐曲線的定義、轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn)三角形處理。

在橢圓、雙曲線上，若有某個(gè)點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離問(wèn)題，一般上，要根據(jù)曲線的定義，抓住PF1+PF2=2a或|PF1-PF2|=2a，焦距長(zhǎng)為F1F2=2c，轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn)三角形△PF1F2，利用解三角形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，如常用正弦定理、余弦定理、勾股定理建立方程。

例3、（2013全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷文5）、設(shè)橢圓（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF1⊥PF2，∠PF1F2=30°，則C的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

【解析】在中，因?yàn)?，所以。又，所以，即橢圓的離心率為.故答案選D

【點(diǎn)評(píng)】本題利用直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件將三邊用c表示出來(lái)，再根據(jù)圓錐曲線定義找出a、c間的等式求出e.本題主要考查了橢圓的定義，幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與化歸思想。

三、挖掘題目中的等量關(guān)系，巧用平幾，進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，

解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。圓錐曲線是解析幾何問(wèn)題，因此當(dāng)題目中條件關(guān)于a、b、c間的一個(gè)齊次等式不明顯時(shí)，充分挖掘題目中隱含的幾何條件，結(jié)合有關(guān)的平面幾何知識(shí)，將幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.如何將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題？首先是審清題意，理解幾何對(duì)象的本質(zhì)特征;其次恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來(lái).數(shù)形結(jié)合，這樣往往能減少計(jì)算量，解決問(wèn)題就會(huì)達(dá)到事半功倍效果.

（一）活用三角形知識(shí)，巧搭橋梁求解離心率.

例4、（同上例1）

【解法二】設(shè)橢圓（a>b>0），橢圓中心到l的距離為OA，由焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可，BF=a，在中，利用等面積法，可得，再由，即得。

【點(diǎn)評(píng)】方法二巧用直角三角形的等面積法建立關(guān)系式，比例1的解法運(yùn)算量稍低些。

例5（2012年高考新課標(biāo)全國(guó)數(shù)學(xué)理）設(shè)F1F2是橢圓（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是直線上一點(diǎn)，是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）

A、 B、 C、 D、

【解析】設(shè)直線與X軸交于點(diǎn)M，結(jié)合圖象可知，在直角三角形中，，所以。答案選C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，從中挖掘直角三角形，等腰三角形的平面幾何性質(zhì)，找到等量關(guān)系。

在幾何圖形中，利用解三角形和三角形相似等知識(shí)，轉(zhuǎn)化為邊角之間的關(guān)系解決解析幾何問(wèn)題.在解題時(shí)，要善于將幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)間等量關(guān)系。能巧用幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，能減少計(jì)算量.

在涉及三角形題型中，經(jīng)常要用到如下性質(zhì)。（1）已知三角形兩邊垂直時(shí)，又有坐標(biāo)條件則轉(zhuǎn)化為斜率乘積為-1或向量數(shù)量積為0;有長(zhǎng)度條件時(shí)則考慮用勾股定理建立方程。（2）若已知條件是三角形某邊上的中線等于這條邊的一半，則轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題斜率或向量問(wèn)題。（3）若已知條件是兩角相等（角平分線），則轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題：底邊水平或豎直時(shí)，兩腰斜率之和為0。（4）已知條件角是銳角、鈍角時(shí)，則轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積，斜率問(wèn)題。

（二）關(guān)注與圓知識(shí)的結(jié)合，利用圓的幾何性質(zhì)建立關(guān)系

圓是平面幾何中重要的內(nèi)容之一，圓與橢圓、雙曲線經(jīng)常性地交匯命題。能準(zhǔn)確地作出圖形，挖掘幾何圖形中所隱含的條件，靈活運(yùn)用好圓的有關(guān)知識(shí)，能使解幾問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決。

例6（2017年全國(guó)卷Ⅲ理10文數(shù)11）已知橢圓（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ）

A. B. C. D.

【解析】：以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，可得，，，因此C的離心率為答案選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，建立關(guān)系。

在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題中，注意幾何性質(zhì)與代數(shù)形式的轉(zhuǎn)化。如果題意中若考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)的向量數(shù)量積與“0”比較大小，或運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式與半徑比較;若考查的是直線與圓相切、相交的問(wèn)題，則轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，可能要用到勾股定理、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式.

（三）點(diǎn)共線問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為斜率或向量問(wèn)題。

坐標(biāo)法是解析幾何中最基本的方法，是以坐標(biāo)系為橋梁，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題。而斜率公式、向量運(yùn)算也是與坐標(biāo)運(yùn)算緊密相連，在涉及點(diǎn)線問(wèn)題，利用它們之間坐標(biāo)的聯(lián)系，進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化為斜率或向量問(wèn)題，利用斜率或向量相關(guān)知識(shí)，建立方程。

例7（2016年全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)11文數(shù)12）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓（a>b>0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

【解析】：設(shè)則直線l的方程為，OE的中點(diǎn)由于三點(diǎn)共線，可得，整理得，橢圓的離心率。答案選A。

【點(diǎn)評(píng)】本題是利用三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為斜率相等，建立等量關(guān)系。

四、利用點(diǎn)在曲線上，列出方程，建立關(guān)系

有些試題等量關(guān)系不明顯，幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化有難度，但題目中發(fā)現(xiàn)有某個(gè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是這個(gè)方程的解，可以根據(jù)已知條件，用關(guān)于含有a，b，c的代數(shù)式表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入曲線方程中，從而建立關(guān)系。

例8（2015新課標(biāo)Ⅱ理11）.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（）

A. B.2 C. D.

【解析】：設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），?ABM為等腰三角形，則，過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為N，在直角三角形MBN中，，將M代入雙曲線方程中，可得b=a，所以雙曲線的離心率.故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題抓住題意，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)M在雙曲線上，從而列出方程。無(wú)獨(dú)有偶，在2018全國(guó)卷的考查中，仍有例8的影子。

例9（2018年全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)12）已知F1，F(xiàn)2是橢圓（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（ ）

A. B. C. D.

【簡(jiǎn)析】△PF1F2為等腰三角形，求得，過(guò)A且斜率為的直線方程為y=（x+a），將點(diǎn)P代入，或者由，易得。所以答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題的解法與例9相似，雙曲線問(wèn)題改為橢圓問(wèn)題，點(diǎn)在雙曲線上改為點(diǎn)在直線上。

總之，在解決有關(guān)離心率問(wèn)題時(shí)，要審清題意，從題意中挖掘顯性的等量關(guān)系、隱性的幾何條件，建立方程，然后將其轉(zhuǎn)化為含離心率e的式子，進(jìn)而求其值。在實(shí)際教學(xué)中，尋找等量關(guān)系，從哪種途徑入手，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用，才能真正掌握離心率的求法。

（備注福建省寧德市中學(xué)教育科學(xué)研究2018年度課題：“高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)科試題特點(diǎn)及教學(xué)對(duì)策研究”。立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJNDKY18-803）