高中生數(shù)學(xué)建模的實踐研究

曹剛 姚偉榮

【摘要】大數(shù)據(jù)時代的教學(xué)，與數(shù)學(xué)和技術(shù)都有著緊密的關(guān)聯(lián)。我校高中生數(shù)學(xué)建模教學(xué)及其課程基地的實踐研究，旨在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題，是把課堂與未來、課程與技術(shù)連接起來的前瞻性教學(xué)實踐。它是基于“問題解決”核心素養(yǎng)的“互聯(lián)網(wǎng)+”數(shù)學(xué)課程建設(shè)的需求，將會對新一輪課改起到很大的推動作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);課程建設(shè)

在21世紀這個大數(shù)據(jù)時代，許多學(xué)科乃至各行各業(yè)都與數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。實踐證明，學(xué)會用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的實際問題，是把課堂與未來、課程與技術(shù)連接起來的前瞻性教學(xué)實踐。

一、新一輪課改數(shù)學(xué)建模的價值定位

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)，就是用數(shù)學(xué)的方法來觀察世界，用數(shù)學(xué)的邏輯來思考世界，用數(shù)學(xué)的模式來表達世界。

1.構(gòu)建數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心框架

數(shù)學(xué)應(yīng)用既是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要組成要素，也是指導(dǎo)人的數(shù)學(xué)行為、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用的關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心框架。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培育是現(xiàn)代社會培養(yǎng)高素質(zhì)人才的重要組成部分。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，表現(xiàn)為能主動地用數(shù)學(xué)知識來觀察、分析、處理一些問題;具有數(shù)學(xué)觀察推理意識、數(shù)學(xué)敏感性等;明確數(shù)學(xué)應(yīng)用的科學(xué)意義、文化內(nèi)涵，懂得數(shù)學(xué)的美和價值等。

2.體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)課程即將全面實施。抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和學(xué)生的認知規(guī)律，通過創(chuàng)設(shè)情境，改變知識呈現(xiàn)方式;通過合作、探究，理解數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將是新課程建設(shè)的中心任務(wù)。

我校以“走進課堂”為模式，開展了新一輪核心素養(yǎng)課堂教學(xué)研討活動。目前高一“生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)”，高二“數(shù)學(xué)史探討”，高三“數(shù)學(xué)思想方法篇”已連續(xù)四輪授課。在挖掘更多適合學(xué)校學(xué)生發(fā)展、滲透核心素養(yǎng)的學(xué)科校本課程方面，起到了示范作用，更好地促進了學(xué)校課程體系的建構(gòu)。

3.培育學(xué)生的動手實踐能力

中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)分文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展和社會參與幾方面，強調(diào)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，將繼續(xù)實施學(xué)生的自主、合作、探究課程理念。

我校以十三五規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的課堂設(shè)計研究”為背景，以數(shù)學(xué)應(yīng)用為載體，落實“問題”課堂教學(xué)模式改革;在省級教研課題“高中數(shù)學(xué)問題探究模式研究”指導(dǎo)下的課堂教學(xué)中，構(gòu)建問題研究、小組合作下的課堂教學(xué)體系，并結(jié)合我校校本課程開發(fā)的良好氛圍，嘗試數(shù)學(xué)建模課程的開發(fā)與建設(shè)。

4.新時期立德樹人教育思想

教師立德樹人不應(yīng)僅僅局限于課堂，而要將立德樹人的觀念與課外實踐拓展相結(jié)合，通過豐富有趣的數(shù)學(xué)建?；顒樱⒔逃跇?，教會學(xué)生分析問題、解決問題，使其領(lǐng)悟出事物發(fā)展變化的內(nèi)在聯(lián)系。

我校通過數(shù)學(xué)建模選修、數(shù)學(xué)建模比賽、建模創(chuàng)客拓展等活動，利用必修課、選修課、實踐課、競賽課等多種課型，鼓勵學(xué)生開展案例收集、社會調(diào)查等活動。開展數(shù)學(xué)建模實踐活動，實現(xiàn)了跨學(xué)科學(xué)習(xí)，取得了較好的效果。

二、高中生數(shù)學(xué)建模的設(shè)計創(chuàng)意

我校數(shù)學(xué)建模及其課程基地建設(shè)致力于新課程立德樹人教育思想，旨在培養(yǎng)適應(yīng)未來生活的具有良好素養(yǎng)的現(xiàn)代小公民。

1.高中生數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的最佳途徑

數(shù)學(xué)建模實現(xiàn)了實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換，所以數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐能使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考周圍的實際問題，把數(shù)學(xué)運用到實際生活中去，從而不斷提高學(xué)生的核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

《普通高中課程標準》認為，數(shù)學(xué)建模是一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。它通過實踐探索，幫助學(xué)生認識到數(shù)學(xué)和技術(shù)結(jié)合的應(yīng)用價值，啟發(fā)學(xué)生如何面對生產(chǎn)、生活中的一個個需要解決的問題，使其運用學(xué)過的數(shù)學(xué)方法，并結(jié)合其他學(xué)科專業(yè)知識來解決實際生活中遇到的問題。

2.高中生數(shù)學(xué)建模是學(xué)生自主、合作、探究能力培養(yǎng)的契機

從核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力出發(fā)，數(shù)學(xué)建模強調(diào)師生共同設(shè)計規(guī)劃、質(zhì)疑討論，鼓勵學(xué)生從多角度表達個人的觀點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的想象能力、合作能力和應(yīng)用能力。同時，也能使學(xué)生運用學(xué)過的知識舉一反三，達到觸類旁通的效果，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力和社會參與能力。

3.高中生數(shù)學(xué)建模是發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用和學(xué)科融合的互動平臺

運用數(shù)學(xué)知識來解決未來生產(chǎn)技術(shù)中的實際問題，讓學(xué)生親歷應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的過程，并且通過跨學(xué)科學(xué)習(xí)或?qū)W科融合，培養(yǎng)適應(yīng)未來社會的高素質(zhì)綜合性創(chuàng)新人才，數(shù)學(xué)建模成了數(shù)學(xué)應(yīng)用和學(xué)科融合的互動平臺。

面對要解決的問題，教師要讓學(xué)生學(xué)會篩選有用的信息和數(shù)據(jù)，并通過建立數(shù)學(xué)模型來解決問題，使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，從而認識到數(shù)學(xué)不是孤立的學(xué)科，而是其他學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有融合和創(chuàng)新，才能使科學(xué)技術(shù)不斷走向新的天地。

三、高中生數(shù)學(xué)建模的課程目標

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》的基本理念之一是“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》提出了高中數(shù)學(xué)課程要把數(shù)學(xué)建模的思想滲透在各模塊內(nèi)容之中的要求。

1.數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)理建構(gòu)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》指出，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實中遇到的生產(chǎn)生活問題的數(shù)學(xué)抽象，是用數(shù)學(xué)語言來表達解決問題的方法和思路，用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)邏輯來分析、驗證和構(gòu)建問題解決模型的過程。

按照新課程標準，“數(shù)學(xué)建?！庇晌鍌€部分組成：一是呈現(xiàn)知識情境，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題;二是通過分析問題，設(shè)計解決問題的模型;三是通過數(shù)學(xué)模型，求解結(jié)論;四是驗證結(jié)果如何，或者改進模型;五是最終解決生產(chǎn)生活中遇到的問題。

數(shù)學(xué)模型的學(xué)理建構(gòu)，就是人們通過細致的觀察、分析、求證，靈活運用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，從實際課題中抽象、提煉和驗證數(shù)學(xué)模型。這種數(shù)學(xué)方法，在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域往往與其他學(xué)科知識和技術(shù)相結(jié)合，從而形成交叉學(xué)科知識。方法和技術(shù)的創(chuàng)新，使數(shù)學(xué)建模在計算機、工程技術(shù)等領(lǐng)域獲得了快速的發(fā)展，由此可知，數(shù)學(xué)建模將是未來新技術(shù)的基礎(chǔ)。

高中生數(shù)學(xué)建模及其課程的學(xué)理要求，需要我們構(gòu)建數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，通過數(shù)學(xué)方法和解決問題的計算模型，來解決實際問題，從而培育、發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)建模及其課程對核心素養(yǎng)中問題解決能力的培養(yǎng)也具有重要的作用，即在實際生產(chǎn)生活情境中讓學(xué)生針對問題建立數(shù)學(xué)模型，并嘗試基于生產(chǎn)生活背景來分析、求證和完善模型，從而不斷增強其創(chuàng)新意識和實踐應(yīng)用能力。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)實踐建構(gòu)

高中生數(shù)學(xué)建模是一種以課本中的數(shù)學(xué)應(yīng)用為基礎(chǔ)，逐漸拓展到與其他學(xué)科的交叉以及處理數(shù)據(jù)中計算機語言的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)模型是一種解決問題的方案和模擬，是用數(shù)學(xué)算法、程序、圖形和計算機技術(shù)，對需要解決問題的本質(zhì)屬性的抽象和概括，它能解決某些機械原理，提高生產(chǎn)效率，提供最優(yōu)策略，乃至揭示未來社會某些發(fā)展規(guī)律。

數(shù)學(xué)建模課程與現(xiàn)實生活密不可分，它與其他學(xué)科的交叉和融合，與現(xiàn)代技術(shù)、創(chuàng)客技術(shù)的緊密結(jié)合等，勢必會提升學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，激發(fā)其學(xué)習(xí)的熱情。

3.數(shù)學(xué)課程體系建構(gòu)

高中生數(shù)學(xué)建模及其課程建設(shè)，是一門綜合性、開放性、生成性與自主性于一體的課程，在教學(xué)實踐中，它提倡與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、課外活動和社會實踐活動緊密結(jié)合，從而實現(xiàn)如下課程建設(shè)目標。

（1）突出從學(xué)習(xí)者的生活經(jīng)驗出發(fā)，建設(shè)實效性、實踐性課程。提供與學(xué)生生活相關(guān)的生活情境素材，密切課程與生活的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)的意義，將學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生個人經(jīng)驗。

（2）突出從學(xué)習(xí)者的學(xué)科知識出發(fā)，建設(shè)真實性、綜合性課程;從實際生產(chǎn)生活出發(fā)，進行課程整合、跨學(xué)科學(xué)習(xí)，克服知識本位的現(xiàn)象，為學(xué)生將來的全面、智能、關(guān)聯(lián)的深度學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

（3）突出從學(xué)習(xí)者的個性特長出發(fā)，建設(shè)選擇性、創(chuàng)造性課程。學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇學(xué)校課程的內(nèi)容;教學(xué)的組織形式靈活多樣，可以在實驗室、微機房、閱讀室，也可以在圖書館，可以是聽演講、報告，也可以是觀看電影、錄像或社會實踐。

（4）突出從學(xué)習(xí)者的未來生活出發(fā)，建設(shè)開放性、信息化課程。教師要突破教學(xué)的傳統(tǒng)授課方式，通過調(diào)查、訪問、熱點材料收集、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等適時探究，提高解決問題的適應(yīng)性、實踐性、互助性和開放性，力求與物聯(lián)技術(shù)、國際教育和前沿學(xué)術(shù)相接軌。

四、高中生數(shù)學(xué)建模的實驗場景

新課程標準要求培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，要求學(xué)生學(xué)會觀察、分析和解決帶有實際生產(chǎn)生活意義的數(shù)學(xué)問題，使用數(shù)學(xué)語言表達解決現(xiàn)實問題的方法和模型，培育問題解決、社會參與、實踐創(chuàng)新素養(yǎng)。

我校建設(shè)了“一空間、二實驗、三活動、四課程”的“一二三四”實驗工程建設(shè)項目。具體內(nèi)容如下：“一空間”指建設(shè)有加工車間、工作室等的數(shù)學(xué)創(chuàng)客空間室;“二實驗”指建設(shè)用于教學(xué)的探究實驗室、物聯(lián)實驗室各三間;“三活動”指開展數(shù)學(xué)建模競賽活動、小發(fā)明小創(chuàng)造設(shè)計活動、工程技術(shù)模擬制作活動;“四課程”指數(shù)學(xué)建模選修課程、數(shù)學(xué)建模實踐課程、數(shù)學(xué)建模生活創(chuàng)意課程和數(shù)學(xué)建模競賽課程。

1.創(chuàng)設(shè)具有特色的教學(xué)環(huán)境

構(gòu)建具有數(shù)學(xué)建模的教學(xué)環(huán)境，尋找數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實和生產(chǎn)生活原型;引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法去觀察、分析、論證、抽象，從而得到數(shù)學(xué)公式、定理、法則的教學(xué)方式;解決現(xiàn)實和生產(chǎn)生活問題，是數(shù)學(xué)建模及其課程的魅力所在。

在高中教學(xué)中，教師應(yīng)建設(shè)具有數(shù)學(xué)建模特色的教學(xué)環(huán)境，打造數(shù)學(xué)建模學(xué)科情境和專業(yè)特色，并通過建立數(shù)學(xué)建模實驗室和實驗工廠，形成充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、學(xué)科品牌、數(shù)學(xué)文化的特色學(xué)科。

2.促進自主學(xué)習(xí)的互動平臺

學(xué)校通過開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，可以給學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的發(fā)展平臺，以促進學(xué)生個性和特長的發(fā)揮。我們將運用新模式、新技術(shù)等引進或開發(fā)人機互動、自主檢測的教學(xué)軟件，建設(shè)智慧教室和智慧校園，以激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、快樂學(xué)習(xí)的動力。

我們每周抽取一定時間進行案例分析，分析教學(xué)中遇到的困難，總結(jié)建模的方法和問題解決的途徑;同時通過數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè)，讓學(xué)生了解一些經(jīng)典案例，學(xué)習(xí)建模方法，感受數(shù)學(xué)的真善美。

3.突出數(shù)學(xué)建模的教學(xué)模型

圍繞數(shù)學(xué)建模重點、難點，在課堂教學(xué)中，教師以形象直觀的情境體驗，增強了對數(shù)學(xué)建模教學(xué)中遇到的具體內(nèi)容的抽象概括、抽象內(nèi)容的直觀理解等疑難問題，鞏固和拓展了學(xué)科知識，提高了學(xué)習(xí)效率。

教學(xué)模型建構(gòu)的一般步驟如下：

（1）模型準備。首先熟悉問題的背景，掌握相關(guān)信息，通過觀察、分析和統(tǒng)計，概括現(xiàn)實對象的特征。

（2）模型假設(shè)。對要解決的問題做出合理的假設(shè)，即把現(xiàn)實問題歸納、提煉成數(shù)學(xué)問題，分清問題的主次，力爭把問題線性化、均勻化。

（3）模型構(gòu)成。根據(jù)初步的假設(shè)，查找與現(xiàn)實對象的因果關(guān)系，利用現(xiàn)實對象的內(nèi)在規(guī)律，依據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，力爭用簡潔的模型，建構(gòu)各個量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系和邏輯聯(lián)系。

（4）模型求解。即用解方程、解不等式、繪出圖形等數(shù)學(xué)方法，求解數(shù)學(xué)模型。生產(chǎn)生活中的新技術(shù)、新設(shè)備往往還要應(yīng)用計算機技術(shù)或物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，以適應(yīng)未來高新技術(shù)的發(fā)展需求。

（5）模型分析。即運用數(shù)學(xué)方法進行分析，并根據(jù)模型求解的結(jié)果得出結(jié)論、決策、預(yù)報等，有時還需根據(jù)條件和計算的精度，進行誤差分析。

（6）模型檢驗。運用數(shù)學(xué)模型分析出的結(jié)論要與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等進行比較，以檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴嵱眯院蜏蚀_性，必要時對模型進行修正或補充，或重新建立數(shù)學(xué)模型。

4.開發(fā)數(shù)學(xué)建模課程資源

豐富而有特色的課程資源，是課程建設(shè)成果展示和示范輻射的重要載體。結(jié)合校本教材和高中教學(xué)實際，對準備好的數(shù)學(xué)模型實踐專題，教師要精心選擇習(xí)題和實例，師生共同參與數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過程。同時，內(nèi)容要由淺入深，開始時可以選擇一些僅需基本的數(shù)學(xué)方法就能解決的例題，把重點放在如何運用數(shù)學(xué)方法去分析和建構(gòu)模型上，使學(xué)生熟悉建模流程，并激發(fā)學(xué)生參與建模的積極性。

教師可以讓學(xué)生以小組為單位，依據(jù)探究主題和情境，收集、整理信息，自主假定、設(shè)計已知條件，通過質(zhì)疑、交流、研討，或提出驗證結(jié)論、解決方案，或?qū)懗鼋鉀Q問題的小論文，最后進行成果展示和觀摩交流，展示數(shù)學(xué)建模及其課程建設(shè)的特色成果。

5.建構(gòu)教師成長發(fā)展平臺

將學(xué)科教研組、專家工作室和師生研學(xué)中心、創(chuàng)客中心等建在課程基地，并通過開展課程建設(shè)的橫向交流，把課程基地打造成教師專業(yè)發(fā)展的平臺。

聯(lián)合高校和科研機構(gòu)等課程基地專家工作委員會，打造課程基地名師隊伍。通過高校和科研機構(gòu)在環(huán)境、資源和時間、空間上的擴展，開展課外校外、線上線下的教學(xué)活動，形成一支拉得出、打得響的骨干教師隊伍。

6.開展實踐創(chuàng)新校本探索

數(shù)學(xué)建模及其課程基地建設(shè)的宗旨，是使學(xué)生形成對建模課程的體驗和認知，在綜合實踐中培養(yǎng)師生探究、創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生面對問題質(zhì)疑探索、勇于創(chuàng)新的良好習(xí)慣。

數(shù)學(xué)建模的實踐活動選題，在起始年級以高中數(shù)學(xué)教材中涉及的學(xué)習(xí)內(nèi)容為主，如概率統(tǒng)計模型有比賽成績處理、有獎促銷、水庫中的魚量等;等比數(shù)列有人口增長、資產(chǎn)折舊、銀行信貸、股票行情等。通過學(xué)生的實踐創(chuàng)新活動，學(xué)校開發(fā)特色化、系列化、直觀化、數(shù)字化的數(shù)學(xué)建模校本課程，并進行項目成果展示。

我校高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模及其課程基地建設(shè)，定位為基于“問題解決”核心素養(yǎng)的“互聯(lián)網(wǎng)+”數(shù)學(xué)建模項目建設(shè)，它將對新一輪課程建設(shè)起到巨大的推動作用。

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