淺談數(shù)學(xué)情境型試題的命制

沈健

摘要：基于對(duì)數(shù)學(xué)情境的認(rèn)識(shí)，還原2019年蘇州市學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中兩道小學(xué)數(shù)學(xué)試題（油價(jià)上調(diào)問(wèn)題和選購(gòu)比薩問(wèn)題）從取材到初稿，再到試測(cè)與修改，最后定稿的命制過(guò)程，說(shuō)明數(shù)學(xué)情境型試題（將數(shù)學(xué)問(wèn)題置入某種現(xiàn)實(shí)情境中的試題）的命制原則：突出現(xiàn)實(shí)性和針對(duì)性;體現(xiàn)過(guò)程性和導(dǎo)向性;重視開(kāi)放性和差異性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)情境試題命制學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

通過(guò)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)了解學(xué)生學(xué)業(yè)水平和綜合素養(yǎng)的發(fā)展是國(guó)際通行的做法，很多國(guó)家和地區(qū)都將其作為評(píng)價(jià)教育質(zhì)量和促進(jìn)教育質(zhì)量提升的重要手段。2019年蘇州市學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)學(xué)科工具命制小組提出了“基于課標(biāo)，關(guān)注素養(yǎng)，對(duì)接國(guó)際，著眼未來(lái)”的命題理念，要求兼顧對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力和素養(yǎng)的測(cè)試。這就對(duì)各個(gè)學(xué)科的試題命制提出了加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系生活實(shí)際，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的更高要求。

數(shù)學(xué)情境型試題是指將數(shù)學(xué)問(wèn)題置入某種現(xiàn)實(shí)情境中的試題。本文嘗試基于對(duì)數(shù)學(xué)情境的認(rèn)識(shí)，還原2019年蘇州市學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中兩道小學(xué)數(shù)學(xué)試題的命制過(guò)程，說(shuō)明數(shù)學(xué)情境型試題的命制策略。

一、對(duì)數(shù)學(xué)情境的認(rèn)識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）對(duì)數(shù)學(xué)情境有較充分的闡述，數(shù)次提到了“情境”一詞。例如，在“教材編寫(xiě)建議”中指出：“素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過(guò)程?！痹凇霸u(píng)價(jià)建議”中指出：“對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能的考查，要注重考查學(xué)生對(duì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，考查學(xué)生能否在具體情境中合理應(yīng)用。”

PISA（Programme?for?International?Student?Assessment）是一個(gè)具有廣泛影響的國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目。PISA數(shù)學(xué)學(xué)科的設(shè)計(jì)理念是：一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅僅是指學(xué)會(huì)（理解和掌握）一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更重要的是，能夠在未來(lái)的社會(huì)中、在各種不同的領(lǐng)域和情境中，提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。因此，PISA的數(shù)學(xué)題目都具有現(xiàn)實(shí)背景。

PISA將數(shù)學(xué)情境分成個(gè)人情境、教育與職業(yè)情境、公共情境、科學(xué)情境四大類(lèi)。個(gè)人情境與學(xué)生個(gè)人的日?；顒?dòng)直接相關(guān);教育與職業(yè)情境取材于學(xué)生的學(xué)校生活或工作環(huán)境;公共情境要求學(xué)生觀(guān)察更為廣泛的周邊環(huán)境的某些方面;科學(xué)情境更加抽象，可能會(huì)涉及一個(gè)技術(shù)過(guò)程、理論情境或明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、兩道數(shù)學(xué)情境型試題的命制過(guò)程

（一）取材

數(shù)學(xué)情境型試題可以取材于學(xué)習(xí)生活或社會(huì)生活的焦點(diǎn)或熱點(diǎn)問(wèn)題，從而在情境中既考查學(xué)生通過(guò)閱讀梳理?xiàng)l件和問(wèn)題的能力，又考查學(xué)生選擇并提取數(shù)學(xué)信息的能力，還可以考查學(xué)生是否養(yǎng)成認(rèn)真讀題審題、細(xì)心檢查反思的良好習(xí)慣。

我們分別從一條新華網(wǎng)的消息和一個(gè)網(wǎng)絡(luò)段子中摘選了兩個(gè)素材。

素材1記者從國(guó)家發(fā)改委獲悉，12月29日0點(diǎn)，國(guó)家上調(diào)汽油、柴油限價(jià)，汽油每噸上調(diào)70元，柴油每噸上調(diào)70元。本次調(diào)價(jià)是年內(nèi)第十一次上調(diào)。本次調(diào)價(jià)過(guò)后，2017年成品油調(diào)價(jià)將呈現(xiàn)“十一漲六跌八擱淺”的格局。北京市92號(hào)汽油價(jià)格調(diào)至6.84元/升，按一般家用汽車(chē)油箱50L容量估測(cè)，加滿(mǎn)一箱92號(hào)汽油多花約2.5元。下一次調(diào)價(jià)窗口將在2018年1月13日0時(shí)開(kāi)啟。

2017年油價(jià)的第十一次上調(diào)雖然不屬于和學(xué)生生活有密切聯(lián)系的“個(gè)人情境”，但是是學(xué)生耳聞目染的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，屬于“公共情境”。

素材2今天上午改試卷遲了，食堂沒(méi)有吃的了，幾個(gè)老師就去沃爾瑪吃比薩。點(diǎn)了一份9寸（直徑）的，結(jié)果服務(wù)員端來(lái)兩份5寸（直徑）的。我們說(shuō)：“我們點(diǎn)的是9寸的?。　狈?wù)員客氣地說(shuō)：“9寸的沒(méi)有了，所以給你們上了兩份5寸的，不僅價(jià)格是9寸的一半，還多送了你們1寸?！庇谑牵覀兝》?wù)員，好好地給她普及了一下圓的面積的知識(shí)：“圓的面積公式是S=πr2。算了一下，9寸的面積約為63.585平方寸，5寸的面積約為19.625平方寸，所以，兩個(gè)5寸的面積加起來(lái)是39.25平方寸。老實(shí)說(shuō)，給我們?nèi)?寸的，我們還虧著呢！”服務(wù)員驚呆了，無(wú)語(yǔ)了，最后上了四份5寸的，相當(dāng)于免費(fèi)多送了一份。我們都吃得走不動(dòng)路了。知識(shí)就是力量??！

這一材料的背景，大部分學(xué)生都比較熟悉，屬于“個(gè)人情境”。由一個(gè)場(chǎng)景引出數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，通過(guò)面積計(jì)算實(shí)現(xiàn)“劇情反轉(zhuǎn)”，能夠體現(xiàn)《課標(biāo)》中“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”的要求。

（二）初稿

根據(jù)命題的要求和遴選的素材，我們命制了兩道試題。

試題12017年12月29日，汽油價(jià)格出現(xiàn)年內(nèi)第十一次上調(diào)。北京市92號(hào)汽油價(jià)格調(diào)至6.84元/升，按一般家用汽車(chē)油箱50?L容量估測(cè)，加滿(mǎn)一箱92號(hào)汽油多花約2.5元，則油價(jià)上調(diào)前為元/升。

結(jié)合監(jiān)測(cè)框架，確定本題的各項(xiàng)指標(biāo)（見(jiàn)表1）。

本題重點(diǎn)考查學(xué)生解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力，要求學(xué)生在讀懂題意的基礎(chǔ)上，抽象出數(shù)量關(guān)系，即“上調(diào)前每升油的價(jià)格+每升油上調(diào)的價(jià)格=現(xiàn)在每升油的價(jià)格”和“每升油上調(diào)的價(jià)格=多花的錢(qián)÷加油的量”。求的是上調(diào)前的油價(jià)，可以用算術(shù)和方程兩種方法解決。

試題2一般來(lái)說(shuō)，必勝客普通裝比薩是9寸（直徑）的，大盒裝是12寸的，小盒裝是6寸的，可以滿(mǎn)足不同的需求。小章和小陶去吃比薩，點(diǎn)了一份12寸的。服務(wù)員客氣地說(shuō)：“很抱歉，12寸的賣(mài)完了。”同時(shí)，端來(lái)了一份9寸的和一份6寸的來(lái)抵換。小章說(shuō)可以，“9+6=15（寸），還大了3寸”。小陶說(shuō)不行，一定要服務(wù)員拿一份9寸的加兩份6寸的。你同意誰(shuí)的觀(guān)點(diǎn)？用計(jì)算來(lái)支持你的看法。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

12寸面積=36π或113.04，得2分

9寸面積=20.25π或63.585，得2分

6寸面積=9π或28.26，得2分

9寸面積+6寸面積=29.25π<36π，得2分

9寸面積+6寸面積×2=38.25π>36π。得2分

結(jié)合監(jiān)測(cè)框架，確定本題的各項(xiàng)指標(biāo)（見(jiàn)表2）。

本題重點(diǎn)考查學(xué)生解決生活中稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的能力，要求學(xué)生從換比薩情境中抽象出圓的面積問(wèn)題，即“一個(gè)直徑為9的圓和一個(gè)直徑為6的圓”與“一個(gè)直徑為9的圓和兩個(gè)直徑為6的圓”，哪一種組合的面積之和更加接近一個(gè)直徑為12的圓的面積——比薩的大小本質(zhì)上是圓柱的體積，但是由于比薩的厚度大致相同，所以可以轉(zhuǎn)化成圓的面積來(lái)比較。

（三）試測(cè)及修改

根據(jù)第一輪試測(cè)（選取約300名外地學(xué)生進(jìn)行的小規(guī)模測(cè)試）的數(shù)據(jù)分析，對(duì)兩道試題做進(jìn)一步修改。

試題1在第一輪試測(cè)中得分率為44.9%，表明不少學(xué)生無(wú)法對(duì)這道題正確作答，但是其具體原因可能是多樣的。根據(jù)本題的特點(diǎn)，決定將其改為選擇題：相對(duì)于填空題而言，選擇題通過(guò)設(shè)置不同的選項(xiàng)，不僅可以測(cè)量學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的程度，而且可以測(cè)量學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解、分析、判斷、應(yīng)用和綜合的能力;通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)的分析，更便于發(fā)現(xiàn)、剖析學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，以更好地指導(dǎo)教學(xué)。修改后的試題1如下：

2017年12月29日，汽油價(jià)格年內(nèi)第十一次上調(diào)。北京市92號(hào)汽油價(jià)格調(diào)至6.84元/升，按一般家用汽車(chē)油箱50升容量估測(cè)，加滿(mǎn)一箱92號(hào)汽油比上調(diào)前多花約2.5元，則油價(jià)上調(diào)前為（）

A.?6.89元/升B.?6.79元/升

C.?7.34元/升D.?6.34元/升

其中，B為正確選項(xiàng);錯(cuò)選選項(xiàng)A表明學(xué)生可能審題不清，如理解題中“上調(diào)”“調(diào)至”“上調(diào)前”等關(guān)鍵詞的意義出現(xiàn)失誤，導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系分析錯(cuò)誤;錯(cuò)選選項(xiàng)C表明學(xué)生運(yùn)算出錯(cuò);錯(cuò)選選項(xiàng)D表明學(xué)生不但運(yùn)算出錯(cuò)，而且數(shù)量關(guān)系分析錯(cuò)誤。

試題2在第一輪試測(cè)中得分率為46.0%，有37.19%的學(xué)生得滿(mǎn)分，而有47.93%的學(xué)生得0分。觀(guān)察難度曲線(xiàn)（如圖1），可以看到本題區(qū)分度良好，但是能力值較低的學(xué)生得分率基本都為0。

《課標(biāo)》指出：“恰當(dāng)評(píng)價(jià)學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的不同水平。”所以針對(duì)以上情況，對(duì)試題2在兩方面進(jìn)行修改：（1）修改題干的描述，加上直觀(guān)的圖示，使題目更具有生活氣息，從而降低閱讀難度;（2）修改評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，使之能將能夠判斷結(jié)論但在說(shuō)明中存在困難的學(xué)生區(qū)分出來(lái)。修改后的試題2如下：

某快餐店一般有直徑為6寸、9寸、12寸幾款厚度大致相同的普通比薩供顧客選擇。小章和小陶去吃比薩，點(diǎn)了一份12寸的。服務(wù)員客氣地說(shuō)：“很抱歉，12寸的賣(mài)完了?！蓖瑫r(shí)，端來(lái)了一份9寸的和一份6寸的來(lái)抵換。

小章說(shuō)：“可以，9+6=15（寸），還大了3寸。”小陶說(shuō)：“不行，拿一份9寸的加兩份6寸的，那才差不多?！蹦阃庹l(shuí)的觀(guān)點(diǎn)？用計(jì)算來(lái)支持你的看法。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

答：同意小陶的觀(guān)點(diǎn)。得1分

12寸面積=36π或113.04，

9寸面積=20.25π或63.585，

6寸面積=9π或28.26，得3分

9寸面積+6寸面積=29.25π<36π，

9寸面積+6寸面積×2=38.25π>36π。得4分

圖1

（四）定稿

經(jīng)過(guò)試測(cè)和修改，試題1基本達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)，可以定稿。

定稿后的試題1在正式測(cè)試中的選項(xiàng)分析曲線(xiàn)如圖2所示，表明各個(gè)選項(xiàng)都有一定比例的學(xué)生選擇，并且選擇情況與學(xué)生的數(shù)學(xué)水平基本一致。

試題2雖然也滿(mǎn)足了命題要求和框架，但是在查看學(xué)生的作答時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：部分學(xué)生不同意小陶的觀(guān)點(diǎn)，理由是3個(gè)比薩的面積之和超出了1個(gè)12寸比薩的面積，要求店家虧本補(bǔ)貼顯然是不合理的;部分學(xué)生同意小陶的觀(guān)點(diǎn)，理由是相對(duì)而言，3個(gè)比薩的面積之和更接近1個(gè)12寸比薩的面積。分析這兩種相互矛盾但都有道理的觀(guān)點(diǎn)的成因，是對(duì)題目中“差不多”三個(gè)字理解的歧義。由此造成的解答的多樣化并不體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也給閱卷帶來(lái)了很大的困擾。此外，可將之前的比薩平面圖改為立體圖，使之更加生動(dòng)形象。因此，對(duì)本題做進(jìn)一步修改：

某快餐店一般有直徑為6寸、8寸、12寸幾款厚度大致相同的普通比薩供顧客選擇。小章和小陶去吃比薩，點(diǎn)了一份12寸的。服務(wù)員客氣地說(shuō)：“很抱歉，12寸的賣(mài)完了?！蓖瑫r(shí)，端來(lái)了一份8寸的和一份6寸的來(lái)抵換。

小章說(shuō)：“可以，8+6=14（寸），還大了2寸?！毙√照f(shuō)：“不行，拿一份8寸的加兩份6寸的，那才差得不多?！蹦阃庹l(shuí)的觀(guān)點(diǎn)？用計(jì)算來(lái)支持你的看法。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

答：同意小陶的觀(guān)點(diǎn)。得1分

12寸面積=36π或113.04，

8寸面積=16π或50.24，

6寸面積=9π或28.26，得3分

8寸面積+6寸面積=25π<36π，

8寸面積+6寸面積×2=34π，更接近36π。得4分

將原來(lái)的“9寸”改為“8寸”，使得小陶的方案為34π，更接近36π;同時(shí)，將原來(lái)的“差不多”改為“差得不多”，避免了文字理解的歧義，不會(huì)引起考生不必要的猜測(cè)和誤解。

定稿后的試題2在正式測(cè)試中的難度曲線(xiàn)如下頁(yè)圖3所示，區(qū)分度優(yōu)異，使得各個(gè)層次的學(xué)生能力均有體現(xiàn)。圖2

圖3

三、數(shù)學(xué)情境型試題命制的基本原則

（一）突出現(xiàn)實(shí)性和針對(duì)性

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，又服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生活。上述兩道試題均選擇了現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)素材——油價(jià)上漲是學(xué)生經(jīng)常聽(tīng)說(shuō)的生活情境，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，并與其數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系;選購(gòu)比薩是學(xué)生日常經(jīng)歷的生活情境，有利于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，體現(xiàn)學(xué)生對(duì)具體情境中數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。在試題信息的選擇上，兩道試題呈現(xiàn)的都是生活中的真實(shí)數(shù)據(jù)，有據(jù)可查?？紤]到小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，試題2呈現(xiàn)對(duì)話(huà)情境，配以具有生活氣息的圖片，顯得簡(jiǎn)潔、清晰，便于學(xué)生閱讀，具有較強(qiáng)的針對(duì)性。

（二）體現(xiàn)過(guò)程性和導(dǎo)向性

《課標(biāo)》指出：“在書(shū)面測(cè)驗(yàn)中，積極探索可以考查學(xué)習(xí)過(guò)程的試題，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程?！薄霸u(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程?！泵茢?shù)學(xué)情境型試題，應(yīng)該重視過(guò)程性和導(dǎo)向性，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維過(guò)程的考查，方便教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平做出判斷，從而肯定成績(jī)、找出問(wèn)題，進(jìn)而引導(dǎo)和改進(jìn)教學(xué)。

例如，上述試題1的不同選項(xiàng)，便考查了學(xué)生的不同思維過(guò)程。針對(duì)學(xué)生的不同錯(cuò)誤，教師可在相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，貫穿“理解題意—分析數(shù)量關(guān)系—列式解答和檢驗(yàn)—回顧反思”的策略;關(guān)注學(xué)生審題能力的提升，如理解題中“上調(diào)”“調(diào)至”“上調(diào)前”等關(guān)鍵詞的意義;突出對(duì)基本數(shù)量關(guān)系的分析，即結(jié)合題中關(guān)鍵詞的意義，找到正確的數(shù)量關(guān)系。

（三）重視開(kāi)放性和差異性

數(shù)學(xué)情境型試題在解題策略和方法上常常能更多地體現(xiàn)開(kāi)放性：學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，可以得到不同的解題策略和方法。命制數(shù)學(xué)情境型試題，應(yīng)該滿(mǎn)足評(píng)價(jià)不同思維層次學(xué)生的需求，允許不同的學(xué)生展現(xiàn)不同的推理、運(yùn)算等思維過(guò)程，讓不同的人在數(shù)學(xué)考試中展現(xiàn)不同的發(fā)展，而不是用程式化的套路題給學(xué)生戴上“金箍”。

例如，上述試題2需要學(xué)生靈活運(yùn)用圓柱和圓的相關(guān)知識(shí)以及轉(zhuǎn)化的策略，選擇合適的解題方法;還需要學(xué)生選擇合理的計(jì)算方法，用數(shù)據(jù)來(lái)有理有據(jù)地表達(dá)觀(guān)點(diǎn)，比如用圓周率的近似數(shù)3.14進(jìn)行計(jì)算，或者用π來(lái)代替，以避免復(fù)雜的運(yùn)算。這些能體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上的差異。

參考文獻(xiàn)：

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