淺談用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題

劉飛澤

摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以使復(fù)雜問題直觀化.使學(xué)生的抽象思維能力得到發(fā)展.也為學(xué)生提供了一種簡單解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想和意識.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)? 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是一門論思想方法的學(xué)科，在平時(shí)實(shí)際教學(xué)中思想方法也就蘊(yùn)含其中.相比較知識的教學(xué)而言，數(shù)學(xué)中的思想與方法的滲透更加重要.要解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，行之有效的方法就是在教學(xué)中從分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解;讓學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)性質(zhì);加強(qiáng)知識間的橫向聯(lián)系.讓學(xué)生理解概念，掌握基本的技能，訓(xùn)練解題的思維是數(shù)學(xué)的核心與精神.因此，在給學(xué)生講解二次函數(shù)是注重理解二次函數(shù)的概念與思想方法尤為重要.比如說，數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，老師可抓住部分典型例題讓學(xué)生利用這種思想方法解題，從而在學(xué)生腦海里留下比較深的思路.

學(xué)生主要存在的困難是對函數(shù)概念難以理解，對各類函數(shù)中兩個(gè)變量的變化關(guān)系感覺比較抽象，對函數(shù)關(guān)系的表示方法不能靈活轉(zhuǎn)化.要解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，行之有效的方法就是在教學(xué)中從分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化.數(shù)形結(jié)合的思想不斷在幫助我們解決了很多實(shí)際問題，比如數(shù)軸的學(xué)習(xí)幫助我們解決了實(shí)數(shù)大小的比較問題.初中二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)一步得到了滲透并應(yīng)用，從實(shí)際生活中類似于向上拋物運(yùn)動的軌跡的生活實(shí)例引入，例如，噴泉噴出水運(yùn)動路線，投籃時(shí)籃球的運(yùn)動軌跡.讓學(xué)生感知拋物線的美，再到根據(jù)性質(zhì)求最值問題，結(jié)合拋物線開口方向判斷最值，判斷自變量x的取值范圍，判斷關(guān)于對稱軸兩側(cè)的增減性.開始由狹隘、具體、形象的數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展到具有一定數(shù)形結(jié)合思想，能夠融會運(yùn)用，在具體問題中應(yīng)用解決.老師在實(shí)際教學(xué)中可設(shè)置一定的問題，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用這種思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的思維提高到一定的高度.我認(rèn)為在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注重下列三個(gè)環(huán)節(jié)：

1、讀圖能力

二次函數(shù)的圖像及圖像的性質(zhì)，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).要訓(xùn)練好學(xué)生的三種語言表達(dá)，即文字語言，圖像語言，符號語言.會看圖，并且會看圖說話，學(xué)生難以把握，由于“數(shù)”和“形”是一種對應(yīng)，因此教師可以把“數(shù)”的對應(yīng)———“形”找出來，利用圖像來幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的性質(zhì)，為學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)奠定好的基礎(chǔ).通過觀察常數(shù)的變化與圖形變化之間的關(guān)系，學(xué)生從多方面觀察函數(shù)圖像的變化，發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)規(guī)律.由此，學(xué)生可以根據(jù)任意一個(gè)二次函數(shù)（如：y=-3x2-3x+3）的表達(dá)式，在頭腦中呈現(xiàn)出該函數(shù)的大致圖像.同時(shí)學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖像特征，可以確定表達(dá)式中常數(shù)的取值情況.在這一過程，學(xué)生可體會“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識.

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如下所示，根據(jù)圖像構(gòu)建問題.

a、b、c

及代數(shù)式 由拋物線的走勢決定 具體說明

a 由拋物線的開口方向決定 開口向上→a>0

開口向下→a<o

b 由對稱軸x=-b/2a的位置決定 對稱軸在y軸左側(cè)→a、b同號

對稱軸在y軸右側(cè)→a、b異號

對稱軸是y軸→b=0

c 由拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）的位置決定 與y軸交點(diǎn)在正半軸上→c>o

與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上→c<0

拋物線過原點(diǎn)→c=0

b2-4ac 由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定 與x軸有2個(gè)交點(diǎn)→△>o

與x軸有1個(gè)交點(diǎn)→△=o

與x軸沒有交點(diǎn)→△<o

2a-b -b/2a與-1比較

2a+b -b/2a與1比較

a+b+c 令x=1，看縱坐標(biāo)

a-b+c 令x=-1，看縱坐標(biāo)

4a+2b+c 令x=2，看縱坐標(biāo)

4a-2b+c 令x=-2，看縱坐標(biāo)

例1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：? ①a>0;②c>0;③b2-4ac>0;④b<0，其中正確的個(gè)數(shù)是

2、選擇能力

例2、解不等式2x2-3x+1﹥0的解集.

（以二次函數(shù)y=2x2-3x+1的圖像為條件，位于軸x上方的圖像所對應(yīng)的所有x即不等式的解集.）

3、轉(zhuǎn)化能力

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題歸根到底就是要尋找解題的途徑即解題的金鑰匙，變難為易，變繁為簡.

例3、已知一次函數(shù)y=ax+c與y=ax2+bx+c，它們的大致圖象是（? ?）

解決二次函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，注重從“形”到“數(shù)”的有機(jī)結(jié)合.要讓學(xué)生潛移默化的應(yīng)用這種思想解決實(shí)際問題，方法往往滲透于知識之中.進(jìn)一步提高學(xué)生的思維水平.

解決二次函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，注重從“形”與“數(shù)”的有機(jī)結(jié)合. 要讓學(xué)生潛移默化的應(yīng)用這種思想解決實(shí)際問題.數(shù)形結(jié)合是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋，數(shù)學(xué)疑難復(fù)雜問題要清晰化，具體化都離不開數(shù)形結(jié)合思想的灌輸與運(yùn)用，教學(xué)過程中重視應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.教師在教學(xué)中善用，巧用這種思維方法，不僅可以有效幫助學(xué)生掌握好知識，使學(xué)生的抽象思維能力得到發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

[1] 張冰.“數(shù)”與“形”[J].科技教育，2011，（3）

[2] 楊關(guān).數(shù)形結(jié)合思想探析[J].陜西財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2011，（7）

[3]《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）