利用二次曲線系求解一類高中圓錐曲線問題

方禮喆

摘要：利用曲線系解題實(shí)質(zhì)上是取曲線方程中的特征量（如直線方程中的斜率 ，截距 ，圓的半徑 有心曲線中的 等）作為變量，得到曲線系，根據(jù)所給的已知量，采用待定系數(shù)法，達(dá)到解決問題的目的.常常體現(xiàn)的是參數(shù)變換的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和整體處理的解題策略.通常的題型有求點(diǎn)的坐標(biāo)、求曲線的方程、求圖形的性質(zhì)等等.

關(guān)鍵詞：二次曲線系；四點(diǎn)共圓；圓系；定點(diǎn)問題

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)解析幾何的重中之重，作為必考題的倒數(shù)第二題，難度也是整張高考數(shù)學(xué)試卷中最難的題目之一，如何又快又好地解出這道題無疑是學(xué)生所追求的，下給出一種利用二次曲線系的解法。

結(jié)論1：設(shè)

則方程 表示兩條直線 上的所有點(diǎn)

結(jié)論2：一般地，設(shè)兩條二次曲線的方程分別為 那么過這兩條二次曲線交點(diǎn)的二次曲線系為

其中 為參數(shù).

一、簡(jiǎn)化運(yùn)算

圓錐曲線的大題，往往需要聯(lián)立直線與圓錐曲線方程表示交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合韋達(dá)定理求解，而這一過程的計(jì)算量通常不小，而且也容易算錯(cuò)。而二次曲線系的解法就避免了這樣繁雜的運(yùn)算。

例1.（2010·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 中，如圖， 的左右頂點(diǎn)為 右焦點(diǎn)為 設(shè)過 的直線 分別交橢圓于 其中 求證：直線 必過定點(diǎn).

解： ，

設(shè)

它們都是過 四點(diǎn)的二次曲線，令兩者一致， 與 系數(shù)之比為

，得

所以 過定點(diǎn)

二、轉(zhuǎn)化條件

利用二次曲線系解題是一種從宏觀層面對(duì)圖形定性的解題方法，他能在我們無法通過平常套路轉(zhuǎn)化條件時(shí)達(dá)到出其不意，奇招制勝的效果

例2. 與 交于 過 的圓交拋物線于 求 夾角.

解：設(shè) 則 ： 那么該圓的方程可以表示為

由于圓的方程中 項(xiàng)系數(shù)為0，有

， 所以 的斜率 ，夾角

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于圓，我們通常利用直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角；半徑處處相等等性質(zhì)對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而此題中圓的圓心、半徑都很難尋找，轉(zhuǎn)化條件十分困難。因此我們直接利用圓的方程中 項(xiàng)系數(shù)為0的特征，在過 四點(diǎn)的二次曲線系中直接找出唯一的圓，再反回去求解關(guān)于 直線的信息。這種解題方法與我們平時(shí)的做法從思維方式上來看相差甚遠(yuǎn)，因而有巧奪天工的感覺。

例3.（2014·全國大綱卷）已知拋物線 的焦點(diǎn)為 ，過 的直線 與 相交于 兩點(diǎn)，若 的垂直平分線 與 相交于 兩點(diǎn)，且 四點(diǎn)在同一圓上，求 的方程.

解：已知 設(shè)

由 得

有 ∴ 中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

計(jì)算得中點(diǎn)的坐標(biāo)為：

則

即

既在拋物線上，也在雙直線 上，那么過四點(diǎn)的圓的方程滿足

由① 項(xiàng)與 項(xiàng)系數(shù)相等② 項(xiàng)系數(shù)為0

得 ， 解得

三、一個(gè)特殊例子

例4.在直角坐標(biāo)系 中，二次函數(shù) 的圖像與 軸交于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 當(dāng) 變化時(shí)，過 三點(diǎn)的圓在 軸上截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

解：對(duì)于 ，他們是 軸與拋物線的交點(diǎn)，故對(duì)于任意過 兩點(diǎn)的曲線的方程，當(dāng) 時(shí)， 必有兩根為方程 的根.那么由圓的方程的特征，設(shè)過A、B的圓系為 其中 為參數(shù)

∵該圓還過 ∴ ，則過 的圓為

為參數(shù)

令 得 ，弦長(zhǎng)即為

點(diǎn)評(píng)：之所以說這個(gè)題是一個(gè)“特殊例子”，是因?yàn)樗慕夥ㄖ袥]有前面幾個(gè)題中將兩個(gè)二次曲線線性結(jié)合得到一個(gè)二次曲線系，而是根據(jù)題目所給條件直接調(diào)制出了圓的方程，再通過余下條件求得參數(shù)。雖然能這樣做的題少之又少，但是此解法也能體現(xiàn)二次曲線系整體變換的核心思想，值得我們學(xué)習(xí)。