基于LPV觀測(cè)器的永磁同步電機(jī)反推控制

(江南大學(xué) 輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122)

隨著半導(dǎo)體功率器件、永磁材料和控制理論的發(fā)展，永磁同步電機(jī)因其具有高功率密度、結(jié)構(gòu)緊湊、高氣隙磁通和高轉(zhuǎn)矩慣性比等優(yōu)點(diǎn)[1]，在當(dāng)前的中小功率運(yùn)動(dòng)控制中起著越來(lái)越重要的作用。然而，PMSM本身存在著諸如定子電流、電磁轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)子磁鏈的耦合、參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)等諸多不利的因素，會(huì)直接導(dǎo)致控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能下降[2]。為提高PMSM的轉(zhuǎn)速響應(yīng)和跟蹤性能，近年來(lái)出現(xiàn)了多種改進(jìn)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[3-4]和設(shè)計(jì)方法[5-6]。這些方法不僅豐富了PMSM的控制理論，而且一定程度上改進(jìn)了PMSM的動(dòng)態(tài)性能。

PMSM是一個(gè)高度非線性、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)[7]，反推控制作為一種有效的非線性控制設(shè)計(jì)方法[8-9]，其設(shè)計(jì)方法是通過(guò)逐步選取虛擬狀態(tài)和虛擬控制函數(shù)，從原系統(tǒng)選取并構(gòu)造新的子系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，逐步設(shè)計(jì)子系統(tǒng)的實(shí)際控制，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。

高性能的PMSM調(diào)速系統(tǒng)需要準(zhǔn)確的電機(jī)轉(zhuǎn)子速度和位置信息，傳統(tǒng)的方法是通過(guò)加入機(jī)械傳感器直接測(cè)量，由于傳感器的安裝，導(dǎo)致電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的成本增加、可靠性降低和體積增大，使得PMSM的使用范圍受到了限制[10]。針對(duì)這一問(wèn)題，學(xué)者們提出了許多控制方法來(lái)獲得準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)速位置信息。文獻(xiàn)[11]采用基波反電動(dòng)勢(shì)檢測(cè)法，利用繞組反電動(dòng)勢(shì)與永磁轉(zhuǎn)子速度的相互關(guān)系進(jìn)行估算，其原理簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)方便，但在低速時(shí)由于反電動(dòng)勢(shì)的難測(cè)而容易失效。文獻(xiàn)[12]采用高頻信號(hào)注入法，通過(guò)向凸極內(nèi)埋式電動(dòng)機(jī)注入特定形式的高頻電流，并檢測(cè)出線端的負(fù)序電流，來(lái)估算轉(zhuǎn)子的位置信息。該方法調(diào)速范圍寬，但終端信號(hào)處理過(guò)于復(fù)雜，且對(duì)于電機(jī)的凸極效應(yīng)過(guò)于敏感。為了達(dá)到更好的控制效果，可以將多種方法相結(jié)合，例如文獻(xiàn)[13]中，學(xué)者提出了一種高頻信號(hào)注入法和模型參考自適應(yīng)法相結(jié)合的控制方法，該方法既保證了高速時(shí)電機(jī)的快速動(dòng)態(tài)響應(yīng)，也保證了低速時(shí)的速度跟蹤精度，但該方法計(jì)算量大，設(shè)計(jì)復(fù)雜。

本文針對(duì)PMSM無(wú)速度傳感器轉(zhuǎn)速跟蹤控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于觀測(cè)器的永磁同步電機(jī)反推控制方法，并結(jié)合線性參數(shù)變化(LPV)方法，解決在電機(jī)控制中由于電機(jī)負(fù)載變化帶來(lái)的性能變化的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，該方法相較于傳統(tǒng)PI矢量控制，跟蹤精度高、響應(yīng)快、抗負(fù)載擾動(dòng)強(qiáng)。

1 PMSM模型

基于表貼式永磁同步電機(jī)，其交直軸電感近似相等，即滿足Ld=Lq=L，在d-q參考坐標(biāo)系內(nèi)的數(shù)學(xué)模型方程可寫(xiě)為[14]

(1)

式中，ud、uq分別為d、q軸的定子電壓；id、iq分別為d、q軸的電樞電流；L為定子電感；Rs為定子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子電角速度；p為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

選取轉(zhuǎn)子角速度ω為調(diào)度變量，選取狀態(tài)變量x=[id,iq,ω]Τ，控制輸入u=[ud,uq,TL]Τ，則永磁同步電機(jī)的LPV凸多胞形模型可以表示為

(2)

其中，

如果轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度ω的取值范圍已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，滿足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2為權(quán)重比系數(shù)，且滿足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，則以調(diào)度變量ω的取值邊界為凸胞形頂點(diǎn)的PMSM的LPV模型可寫(xiě)為

(3)

其中，

2 基于LMI的LPV觀測(cè)器設(shè)計(jì):

考慮以下LPV系統(tǒng)

(4)

式中，u∈Rm和y∈Rn分別為系統(tǒng)的控制輸入和控制輸出；θ為調(diào)度變量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均為系統(tǒng)矩陣。

假定系統(tǒng)矩陣均在凸集Ω內(nèi)變化，即

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]}k≥0

(5)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)量不可直接獲取時(shí)，可以選擇以下形式的狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)其狀態(tài)向量：

(6)

圖1為狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖，利用原系矩陣A(θ)、B(θ)、C(θ)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)信息的重構(gòu)，并通過(guò)增益矩陣L(θ)調(diào)節(jié)輸出誤差，使得觀測(cè)系統(tǒng)與原系統(tǒng)逐步逼近。

圖1 狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖

根據(jù)式(4)和式(6)，則系統(tǒng)的狀態(tài)誤差的動(dòng)態(tài)方程可以描述為

(7)

因此，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)尋找能夠使系統(tǒng)(7)魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定收斂于零的參數(shù)L(θ)的問(wèn)題。

定理1 對(duì)于給定的正可調(diào)參數(shù)γ∈R，如果存在對(duì)稱(chēng)的正定矩陣P(θ) 、矩陣Y(θ)以及單位矩陣I∈Rs×s和一個(gè)正定因子ε∈R，滿足下列不等式條件[15-16]：

P(θ)=PΤ(θ)，ε>0

(8)

(9)

其中，

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AΤ(θ)P(θ)-Y(θ)C-CΤY(θ)+εγI

(10)

則設(shè)計(jì)的LPV觀測(cè)器能夠確保觀測(cè)矩陣A(θ)-L(θ)C穩(wěn)定，同時(shí)具有較快的估計(jì)速度和估計(jì)精度。其中，* 表示矩陣對(duì)稱(chēng)，從而得到LPV觀測(cè)器增益

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(11)

證明：根據(jù)式(6)中狀態(tài)誤差表達(dá)式，結(jié)合式(4)，并對(duì)其求導(dǎo)可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(12)

考慮誤差擾動(dòng)φ，式(12)可重寫(xiě)為

(13)

(14)

將式(13)代入式(14)，有：

P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C]ex+

(15)

引理 1[17]：如果存在適維矩陣M、N，和不確定矩陣F，以及正定標(biāo)量ε，且對(duì)于F有FFΤ≤I，則

(MFN)Τ+MFN≤ε-1MMΤ+εNΤN

(16)

令φ=γex，γ是正可調(diào)參數(shù)，使用引理1，不等式

(17)

等價(jià)于

(18)

其中，ε>0。

則只要

AΤ(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(19)

針對(duì)永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)LPV觀測(cè)器，其觀測(cè)器模型為

(20)

以PMSM轉(zhuǎn)速范圍邊界為工作點(diǎn)的觀測(cè)器LPV頂點(diǎn)模型為

(21)

L1、L2分別為凸多胞頂點(diǎn)ω=ωmin和ω=ωmax處的觀測(cè)器反饋增益矩陣；ρ1、ρ2表達(dá)式為

3 反推控制器設(shè)計(jì)

反推控制，又叫反演控制，相較與其他控制策略，其優(yōu)點(diǎn)在于算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，能保證系統(tǒng)的快速收斂。該方法使用了拆分的思想，將高階系統(tǒng)拆分成多個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，保證了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。除此之外，反推控制還能結(jié)合一些非線性控制方法，使得其在非線性控制領(lǐng)域得到廣泛推廣。

反推控制作為一種有效的非線性控制器設(shè)計(jì)方法，其設(shè)計(jì)步驟為逐步選取虛擬狀態(tài)和虛擬控制函數(shù)，從原系統(tǒng)方程選取狀態(tài)構(gòu)造新的子系統(tǒng)，然后構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，逐步設(shè)計(jì)直至得到系統(tǒng)的實(shí)際控制，使得整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定。

針對(duì)PMSM，定義轉(zhuǎn)速跟蹤誤差為

e=ω*-ω

(22)

選擇轉(zhuǎn)速跟蹤誤差e為新的狀態(tài)變量，構(gòu)造新的子系統(tǒng)為

(23)

為了使轉(zhuǎn)速跟蹤誤差趨于零，對(duì)式(22)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(24)

對(duì)式(24)求導(dǎo)可得

(25)

(26)

整理式(26)，選取

對(duì)eq求導(dǎo)可得

(27)

為使eq漸進(jìn)穩(wěn)定，構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)為

(28)

對(duì)上式求導(dǎo)，可得：

(29)

整理得：

(30)

(31)

為使d軸電流跟蹤誤差趨于穩(wěn)定零，構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)為

(32)

對(duì)式(32)求導(dǎo)，可得

(33)

整理得

ud=Rid-pLωiq+Lk2ed

(34)

綜上，在無(wú)速度傳感器控制系統(tǒng)中，通過(guò)觀測(cè)器引入控制輸入，選取輸入控制律滿足

即可滿足整個(gè)PMSM系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定。

4 仿真分析

本節(jié)分別采用PI控制方法和所提方法對(duì)PMSM矢量控制系統(tǒng)利用Matlab/Simulink進(jìn)行仿真。反推控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

仿真給定電機(jī)初始轉(zhuǎn)速為1000 r/min，仿真時(shí)長(zhǎng)0.2 s，初始負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，在t=0.1 s時(shí)突加4 N·m的負(fù)載擾動(dòng)。PMSM具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)設(shè)置

根據(jù)表1參數(shù)，代入式(21)，利用定理1中的不等式條件式(8)和式(9)，分別求得電機(jī)工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min處的反饋增益矩陣：

選取仿真參數(shù)k=1200，k1=450，k2=150，圖3和圖4分別為電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤仿真曲線和轉(zhuǎn)速誤差跟蹤仿真曲線。

圖3 轉(zhuǎn)速跟蹤仿真曲線

圖4 轉(zhuǎn)速跟蹤誤差仿真曲線

由圖可以看出，本文所提方法相較傳統(tǒng)PI矢量控制，在電機(jī)啟動(dòng)時(shí)，能快速跟蹤參考轉(zhuǎn)速，調(diào)節(jié)時(shí)間短，超調(diào)小，在t=0.1 s突加TL=4 N·m負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)速能快速恢復(fù)到參考轉(zhuǎn)速附近，且誤差較小。圖5和圖6分別為電磁轉(zhuǎn)矩跟蹤仿真曲線和電磁轉(zhuǎn)矩跟蹤誤差仿真曲線，由圖可以看出，本文所提方法相較于傳統(tǒng)PI矢量控制，轉(zhuǎn)矩響應(yīng)快，精度高。

圖5 轉(zhuǎn)矩跟蹤仿真曲線

圖6 轉(zhuǎn)矩跟蹤誤差仿真曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)永磁同步電機(jī)無(wú)速度傳感器轉(zhuǎn)速跟蹤控制，結(jié)合LMI和Lyapunov穩(wěn)定性定理，提出了一種基于LPV結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)速觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法，有效解決了系統(tǒng)參數(shù)不確定性問(wèn)題，提高了抗負(fù)載擾動(dòng)能力，并通過(guò)設(shè)計(jì)反推控制器，簡(jiǎn)化了控制器設(shè)計(jì)，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)方法相較于傳統(tǒng)PI矢量控制，跟蹤精度高、響應(yīng)快、抗負(fù)載擾動(dòng)強(qiáng)。