基于波動(dòng)光學(xué)的顯微光場(chǎng)成像點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

顧夢(mèng)濤，宋祥磊，張彪，唐志永，許傳龍，*

（1.東南大學(xué) 能源與環(huán)境學(xué)院 能源熱轉(zhuǎn)換及其過程測(cè)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096；2.中國科學(xué)院上海高等研究院 低碳轉(zhuǎn)化科學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201210）

航空航天發(fā)動(dòng)機(jī)由于換熱量大，且內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，傳統(tǒng)換熱器已經(jīng)不能滿足其對(duì)空間及換熱性能的雙重需求，而微通道換熱器因換熱性能強(qiáng)、結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、體積小等優(yōu)點(diǎn)成為研究熱點(diǎn)。目前，微通道換熱器仍處于發(fā)展階段，研究其流動(dòng)特性可指導(dǎo)微通道的構(gòu)型優(yōu)化，且流動(dòng)特性的研究有助于換熱特性的研究。因此，流動(dòng)特性是微通道換熱器重要的研究內(nèi)容之一［1］。由于微通道流動(dòng)特征尺度微小，流體分子間作用力、靜電力等表面力效應(yīng)增強(qiáng)，同時(shí)受到微通道構(gòu)型、壁面粗糙度和浸潤性等因素影響，微尺度流動(dòng)特性非常復(fù)雜，目前還沒有合適的理論模型來對(duì)微通道內(nèi)復(fù)雜的流動(dòng)特性進(jìn)行解釋［2-3］。傳統(tǒng)的接觸式測(cè)量會(huì)侵入微通道影響流動(dòng)，無法完成精確測(cè)量，而顯微粒子圖像測(cè)速（Micro-PIV）技術(shù)可實(shí)現(xiàn)非接觸、全場(chǎng)、瞬態(tài)、定量的微尺度速度場(chǎng)測(cè)量，是流動(dòng)可視化的實(shí)驗(yàn)方法之一，特別是三維Micro-PIV技術(shù)可以揭示微通道內(nèi)的三維流動(dòng)，對(duì)研究微尺度流動(dòng)有重要意義［4］。現(xiàn)有的三維Micro-PIV技術(shù)或設(shè)備復(fù)雜或局限于周期性流場(chǎng)的測(cè)量，無法利用單相機(jī)完成非定常和非周期性流場(chǎng)的測(cè)量［5-6］。

近年來，光場(chǎng)技術(shù)進(jìn)一步發(fā)展，利用微透鏡陣列，單相機(jī)一次曝光能同時(shí)完成光線的位置和方向信息（即光場(chǎng)）的記錄。因此，在傳統(tǒng)顯微成像系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加裝微透鏡陣列構(gòu)成顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)［7］，可以實(shí)現(xiàn)單相機(jī)一次曝光記錄物空間的光場(chǎng)信息，進(jìn)一步利用圖像處理技術(shù)可以得到物空間的三維坐標(biāo)信息［8］，因此光場(chǎng)顯微成像結(jié)合粒子圖像測(cè)速技術(shù)（光場(chǎng)Micro-PIV），通過單個(gè)光場(chǎng)相機(jī)有望實(shí)現(xiàn)微尺度瞬時(shí)三維速度場(chǎng)的測(cè)量。微尺度流場(chǎng)中，示蹤粒子的三維坐標(biāo)信息的準(zhǔn)確重建是光場(chǎng)Micro-PIV技術(shù)實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)三維速度場(chǎng)測(cè)量的關(guān)鍵。示蹤粒子的成像過程可表示為示蹤粒子的光強(qiáng)分布與成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）的卷積［9］，因此可通過反卷積進(jìn)行示蹤粒子三維重建。反卷積算法主要有線性反卷積法［10］、盲反卷積法［11］和Lucy-Richardson（L-R）算法［12］。線性反卷積法對(duì)噪聲敏感度高且無法復(fù)原高頻信息，重建精度低；盲反卷積法雖然精度高，但需在迭代重建的同時(shí)更新PSF，計(jì)算量大，耗時(shí)長；L-R算法能夠按照泊松噪聲統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)給定PSF的退化圖像進(jìn)行反卷積迭代推演，當(dāng)給定的PSF足夠精確時(shí)，可以準(zhǔn)確而快速地完成三維重建。但準(zhǔn)確獲得PSF是L-R算法完成示蹤粒子三維重建的關(guān)鍵。

現(xiàn)有的PSF模型可分為兩大類：基于幾何光學(xué)的PSF模型和基于波動(dòng)光學(xué)的PSF模型。由于顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)衍射無法忽略，同時(shí)系統(tǒng)中微透鏡陣列的引入，導(dǎo)致現(xiàn)有的基于幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)的PSF模型均不適用于光場(chǎng)Micro-PIV中PSF的確定。因此，需要建立適合顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)的PSF模型。目前，PSF可通過理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法確定。對(duì)于顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法要求粒子直徑小于衍射限制，同時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，需要重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，導(dǎo)致PSF確定過程極為耗時(shí)。而理論計(jì)算方法沒有上述限制，且系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，只需改變PSF模型中相應(yīng)的參數(shù)，即可計(jì)算出新的PSF。

針對(duì)光場(chǎng)Micro-PIV中PSF的確定，本文基于波動(dòng)光學(xué)建立了顯微光場(chǎng)成像PSF模型，進(jìn)行了數(shù)值模擬，獲得了理論的PSF圖像。構(gòu)建了光場(chǎng)Micro-PIV實(shí)驗(yàn)裝置，實(shí)驗(yàn)確定了顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)的PSF圖像，進(jìn)一步通過L-R算法實(shí)現(xiàn)了微尺度三維流動(dòng)中示蹤粒子的三維重建，對(duì)PSF理論計(jì)算模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 光場(chǎng)M icro-PIV

光場(chǎng)的概念最早由Gershun［13］提出，用來描述光在三維空間中的輻射傳輸特性。當(dāng)光線在傳播過程中保持能量不變時(shí)，可表示為四維光場(chǎng)。對(duì)于四維光場(chǎng)的表征，主要采用雙平面法，表達(dá)形式為L（u，v，s，t），其中（u，v）和（s，t）分別表示光線與2個(gè)相互平行的平面的坐標(biāo)交點(diǎn)。基于光場(chǎng)理論，在傳統(tǒng)顯微鏡與相機(jī)傳感器之間加裝微透鏡陣列，可組成顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)，從而記錄待測(cè)對(duì)象的光場(chǎng)信息。圖1為顯微光場(chǎng)成像原理示意圖。其中，微透鏡陣列位于筒鏡后焦面處，相機(jī)傳感器位于微透鏡陣列后焦面處。測(cè)量體內(nèi)任意一點(diǎn)S發(fā)出光線，經(jīng)過顯微鏡內(nèi)物鏡與筒鏡的作用，會(huì)聚于微透鏡陣列C處，每個(gè)微透鏡把接收的光線按其傳播方向分散到相機(jī)傳感器的不同像素點(diǎn)上，因此可通過單光場(chǎng)相機(jī)實(shí)現(xiàn)四維光場(chǎng)信息采集。

基于顯微光場(chǎng)成像的Micro-PIV系統(tǒng)原理如圖2所示。光場(chǎng)Micro-PIV 系統(tǒng)主要由激光器（激光波長λ0＝532 nm）、顯微鏡、微注射泵、光場(chǎng)相機(jī)系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)組成。通過光場(chǎng)Micro-PIV系統(tǒng)獲得時(shí)間間隔為Δt的2張示蹤粒子的光場(chǎng)圖像后，通過L-R算法反卷積重建出示蹤粒子的三維坐標(biāo)信息，再利用互相關(guān)算法獲得瞬時(shí)三維速度場(chǎng)。L-R算法的迭代公式可表示為［11］

圖1 顯微光場(chǎng)成像原理示意圖Fig.1 Schematic diagram ofmicroscopic light field imaging

圖2 光場(chǎng)M icro-PIV系統(tǒng)原理圖Fig.2 Schematic diagram of light field Micro-PIV system

從式（1）可見，顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)的PSF是光場(chǎng)Micro-PIV通過L-R算法完成三維重建的前提。準(zhǔn)確獲得顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)的PSF圖像之后，反卷積問題將轉(zhuǎn)換為線性復(fù)原問題。

2 顯微光場(chǎng)成像PSF模型

點(diǎn)光源是最基本的光源單位，對(duì)于復(fù)雜的光源，可以將其視為眾多點(diǎn)光源的疊加?，F(xiàn)以點(diǎn)光源為例，分析其在顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)中的成像過程。以物鏡的焦點(diǎn)為原點(diǎn)，系統(tǒng)光軸為z軸，建立如圖1所示坐標(biāo)系。其中，z＝0表示物鏡焦平面，z＞0表示離焦且靠近物鏡，z＜0表示離焦且遠(yuǎn)離物鏡。測(cè)量體內(nèi)任一點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在系統(tǒng)中的傳播過程可分為以下3個(gè)部分：

1）球面波經(jīng)過顯微鏡內(nèi)物鏡和筒鏡到達(dá)微透鏡陣列。顯微鏡可視為衍射受限光學(xué)系統(tǒng)，點(diǎn)光源S（x，y，z）發(fā)出的發(fā)散球面波投射到物鏡上，經(jīng)顯微鏡變換為筒鏡上的會(huì)聚球面波，根據(jù)基于波動(dòng)光學(xué)的標(biāo)量衍射理論［14］，到達(dá)微透鏡陣列的球面波的波陣面U（x，y，z）可表示為

式中：x、y、z為點(diǎn)光源的三維坐標(biāo)；r和a分別為物面徑向和軸向光學(xué)坐標(biāo)；fo為物鏡焦距；λ為熒光波長；M為物鏡的放大倍率；α為物鏡孔徑角的半數(shù)，sinα＝NA，NA為物鏡的數(shù)值孔徑；ρ為物鏡孔徑的規(guī)格化徑向坐標(biāo)；P（ρ）為歸一化光瞳函數(shù)；J0（·）為零階貝塞爾函數(shù)；s、t為微透鏡陣列面坐標(biāo)。

2）球面波透過微透鏡陣列。微透鏡陣列可簡化為疏狀函數(shù)，本文采用的微透鏡孔徑為正方形，因此微透鏡陣列的透過率函數(shù)T（x，y，z）可表示為

式中：rect（·）和comb（·）分別為矩形函數(shù)和梳狀函數(shù)；fμ和D分別為微透鏡的焦距和孔徑。

球面波穿過微透鏡陣列后，其波陣面U′（x，y，z）為

3）球面波傳播到相機(jī)傳感器面。球面波傳播到相機(jī)傳感器面可視為菲涅爾衍射，到達(dá)相機(jī)傳感器面的波陣面U″（x，y，z）可表示為

U″（x，y，z）＝U′（x，y，z）*

式中：k為波矢，k＝2π／λ；u、v為傳感器面坐標(biāo)。

通過傅里葉變換，式（7）可表示為

式中：ξ和η分別為傳感器面上坐標(biāo)u和v的空間頻率，ξ＝u／（λfμ），η＝v／（λfμ）；F（·）和F－1（·）分別為傅里葉變換和傅里葉逆變換。

因此，測(cè)量體內(nèi)點(diǎn)光源S（x，y，z）發(fā)出的球面波到達(dá)相機(jī)傳感器面的光強(qiáng)分布h（x，y，z）為

光學(xué)系統(tǒng)的PSF定義為輸入物為一點(diǎn)光源時(shí)其輸出像的光強(qiáng)分布，因此，h（x，y，z）即為光場(chǎng)Micro-PIV系統(tǒng)的PSF。

3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

為了驗(yàn)證本文建立的PSF模型，基于圖2所示的光場(chǎng)Micro-PIV系統(tǒng)原理，搭建了光場(chǎng)Micro-PIV實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如圖3所示。其中，光場(chǎng)相機(jī)系統(tǒng)由微透鏡陣列、1∶1中繼鏡和CCD相機(jī)組成，各部件通過籠板和籠桿加以固定。顯微鏡可控制載物臺(tái)與物鏡距離，精度為1μm，因此可確定測(cè)量體所處深度范圍。顯微鏡內(nèi)的二向色鏡用于過濾被反射的激光，以提高光場(chǎng)圖像的信噪比。顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，改變系統(tǒng)參數(shù)主要通過更換顯微鏡物鏡和相應(yīng)的微透鏡陣列來實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)所用微流控芯片為矩形層流芯片，其長直微通道截面寬度為150μm，深度為50μm。實(shí)驗(yàn)時(shí)，含有示蹤粒子的溶液經(jīng)微注射泵注入到微流控芯片中，示蹤粒子被激光激發(fā)出峰值波長為584 nm的熒光，粒子激發(fā)的熒光經(jīng)顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)成像于相機(jī)傳感器面，通過計(jì)算機(jī)可實(shí)時(shí)記錄含有示蹤粒子的光場(chǎng)圖像。

圖3 光場(chǎng)M icro-PIV實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.3 Light field Micro-PIV experimental system

表1 顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)參數(shù)Table 1 M icroscopic ligh t field im aging system param eters

4 結(jié)果分析

4.1 仿真結(jié)果

參照表1所示的顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)參數(shù)，利用式（2）～式（9），計(jì)算不同深度的軸上點(diǎn)（x＝0，y＝0）的PSF，結(jié)果如圖4所示。圖4為深度z＝0～80μm時(shí)光軸上點(diǎn)的模擬PSF圖像?？梢园l(fā)現(xiàn)，除焦面附近（z＝0～20μm）外，軸上點(diǎn)的PSF已經(jīng)不再是圓斑，而是由離散的點(diǎn)斑組成。這是因?yàn)橄到y(tǒng)中加入了微透鏡陣列，軸上的點(diǎn)發(fā)出的光線會(huì)被微透鏡按照其傳播方向折射到微透鏡覆蓋的不同像素點(diǎn)上，從而形成離散的點(diǎn)斑。當(dāng)深度不同時(shí)，軸上點(diǎn)光源發(fā)出的球面波到達(dá)微透鏡陣列時(shí)會(huì)有不同的波陣面，且會(huì)經(jīng)過不同數(shù)量的微陣列，因此不同深度的軸上點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生不同的PSF圖像，由此可以通過PSF反演出深度信息。

圖4 光軸上不同深度點(diǎn)的模擬PSF圖像Fig.4 Simulated PSF image of points at different depth on optical axis

圖5為點(diǎn)光源處于深度z＝50μm時(shí)不同水平位置處PSF仿真結(jié)果。圖5（b）給出了位于同一深度（z＝50μm）不同水平位置的點(diǎn)的PSF圖像，各點(diǎn)的具體位置如圖5（a）所示，圖5（c）為同一深度不同微透鏡對(duì)應(yīng)位置點(diǎn)的PSF圖像。圖5（a）中一個(gè)色塊對(duì)應(yīng)一個(gè)微透鏡，邊長為D／M，其中S0為軸上點(diǎn)，S1～S8為離軸點(diǎn)。通過比較圖5（b）中S0～S8的PSF圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測(cè)量體內(nèi)的點(diǎn)處于同一深度不同位置時(shí)，其PSF圖像不一致，即PSF圖像不滿足平移不變性。通過比較圖5（c）中S1和S′1的PSF圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)光源處于不同微透鏡的對(duì)應(yīng)位置時(shí)，如圖5（a）中的S1和S′1，點(diǎn)光源形成的PSF圖像一致。這是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)光源產(chǎn)生值為D／M的位移時(shí)，其產(chǎn)生的球面波到達(dá)微透鏡陣列時(shí)會(huì)形成值為D的位移，而D恰為微透鏡孔徑的大小，因此同一深度的PSF圖像滿足周期分布，周期為D／M，即

圖5 深度z＝50μm 時(shí)不同水平位置處PSF仿真結(jié)果Fig.5 PSF simulation results at different horizontal positions when depth z＝50μm

式中：m、n為正整數(shù)。

從式（10）可見，只需計(jì)算同一深度中心微透鏡區(qū)域各點(diǎn)的PSF圖像，再經(jīng)過平移，即可獲得同一深度任意點(diǎn)的PSF圖像。通過PSF所處微透鏡區(qū)域及其圖像，可以反演出水平位置信息。

結(jié)合圖4和圖5，可見本文所建立的顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)PSF模型可以模擬出點(diǎn)光源處于不同水平位置不同深度時(shí)的PSF圖像，PSF反映了測(cè)量體內(nèi)任意點(diǎn)的三維坐標(biāo)信息。

4.2 模型驗(yàn)證

基于搭建的光場(chǎng)Micro-PIV實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)獲取了粒徑為2的示蹤粒子的光場(chǎng)圖像。深度處于z＝0～80μm 的軸上點(diǎn)的PSF圖像如圖6所示。

圖6 光軸上不同深度點(diǎn)的實(shí)際PSF圖像Fig.6 Actual PSF image of points at different depth on optical axis

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子深度逐漸增加時(shí)，PSF圖像先呈圓斑（z＝0～20μm），然后變?yōu)殡x散的點(diǎn)斑，且PSF圖像占據(jù)的微透鏡陣列數(shù)隨著離焦距離增大而增大，這與模擬的PSF圖像表現(xiàn)一致。

通過比較圖4和圖6中對(duì)應(yīng)的PSF圖像，發(fā)現(xiàn)其形狀與大小基本一致。

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)PSF模型的準(zhǔn)確性，本文從圖像相似度與三維重建兩方面進(jìn)行了驗(yàn)證。首先通過結(jié)構(gòu)相似性（SSIM）算法［15］進(jìn)行模型驗(yàn)證，SSIM算法計(jì)算公式為

式中：SSIM（T1，T2）為圖像相似度函數(shù)值，T1和T2分別為比較的2張圖像矩陣；μ1和μ2分別為T1和T2的平均值；σ12為T1、T2的協(xié)方差；和分 別 為T1和T2的 方 差；c1＝（k1L）2，c2＝（k2L）2為用來維持穩(wěn)定的常數(shù)，L為像素值的動(dòng)態(tài)范圍，k1＝0.01，k2＝0.03。相似度函數(shù)值越接近1，表明比較的2張圖片相似度越高。

對(duì)圖4和圖6中對(duì)應(yīng)的PSF圖像進(jìn)行圖像相似度計(jì)算，結(jié)果如表2所示?？梢钥闯?，在相同條件下，模型得到的模擬PSF圖像與光場(chǎng)Micro-PIV系統(tǒng)的實(shí)際PSF圖像計(jì)算得到的圖像相似度函數(shù)值均大于0.94，可以認(rèn)為2組圖像具有較好的一致性，證明了本文建立的基于波動(dòng)光學(xué)的顯微光場(chǎng)成像PSF模型的準(zhǔn)確性。

進(jìn)一步以計(jì)算獲得的PSF為已知量，對(duì)實(shí)驗(yàn)獲得的單個(gè)粒子和不同粒子濃度下的流場(chǎng)的光場(chǎng)圖片，利用L-R算法進(jìn)行反卷積重建，結(jié)果如圖7～圖9所示。圖7為單個(gè)示蹤粒子的實(shí)驗(yàn)光場(chǎng)圖片和重建結(jié)果，示蹤粒子的三維坐標(biāo)為（61.5μm，61μm，50μm）。從圖7（b）～（d）可見，重建粒子大致為橄欖球形，在水平和豎直方向均有一定的拉伸，水平拉伸為1μm，豎直拉伸為4.3μm，這是由于在拉伸區(qū)域內(nèi)，任意點(diǎn)光源發(fā)出的光線經(jīng)系統(tǒng)成像后形成的圖像相似，系統(tǒng)無法準(zhǔn)確識(shí)別，使得重建后出現(xiàn)拉伸。雖然重建存在拉伸，但重建粒子的中心點(diǎn)的三維坐標(biāo)為（61μm，60.5μm，50.5μm），與實(shí)際三維坐標(biāo)僅有一個(gè)像素的誤差，在誤差允許范圍之內(nèi)，即通過L-R算法和本文建立的PSF模型可以完成單個(gè)示蹤粒子的三維坐標(biāo)信息的重建。圖8和圖9分別為低粒子濃度（0.025 g／L）和高粒子濃度（0.25 g／L）的重建結(jié)果。低粒子濃度下，示蹤粒子形成的PSF圖像相互影響較小，而高粒子濃度下，示蹤粒子形成的PSF圖像相互影響較大，PSF圖像相互疊加。但在高、低示蹤粒子濃度下，L-R算法結(jié)合PSF模型，可實(shí)現(xiàn)示蹤粒子的重建，獲取示蹤粒子的三維坐標(biāo)信息，也進(jìn)一步驗(yàn)證了基于波動(dòng)光學(xué)的顯微光場(chǎng)成像PSF模型的準(zhǔn)確性。

表2 圖像相似度函數(shù)值Tab le 2 Im age sim ilarity function values

圖8 低粒子濃度（0.025 g／L）實(shí)驗(yàn)重建結(jié)果Fig.8 Low particle concentration（0.025 g／L）experimental reconstruction results

圖9 高粒子濃度（0.25 g／L）實(shí)驗(yàn)重建結(jié)果Fig.9 High particle concentration（0.25 g／L）experimental reconstruction results

5 結(jié) 論

1）本文建立了基于波動(dòng)光學(xué)的顯微光場(chǎng)成像系統(tǒng)PSF模型，得到了系統(tǒng)的模擬PSF圖像，仿真結(jié)果表明，通過PSF可以獲得測(cè)量體內(nèi)任意點(diǎn)的三維坐標(biāo)信息。

2）搭建了光場(chǎng)Micro-PIV實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)獲取了系統(tǒng)的實(shí)際PSF圖像，對(duì)模擬PSF圖像和實(shí)際PSF圖像利用SSIM 算法進(jìn)行了相似度計(jì)算，結(jié)果表明兩者具有較高的相似性，驗(yàn)證了PSF模型的準(zhǔn)確性。

3）對(duì)不同示蹤粒子光場(chǎng)圖片利用L-R算法進(jìn)行了反卷積計(jì)算，結(jié)果表明，利用本文建立的PSF模型可完成三維重建，并可獲得示蹤粒子的準(zhǔn)確三維坐標(biāo)信息，進(jìn)一步驗(yàn)證了PSF模型的準(zhǔn)確性。