高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧總結(jié)

張國(guó)政

在新課標(biāo)下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)是我們高中生需要具備的一種基本素養(yǎng)，也是我們真正理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成科學(xué)數(shù)學(xué)思維的重要保障?？臻g想象力與邏輯推理能力則是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成因子，對(duì)于我們數(shù)學(xué)能力發(fā)展至關(guān)重要?？紤]到立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)以及相關(guān)問(wèn)題求解，可以發(fā)展我們的空間想象力，提升我們的綜合學(xué)習(xí)能力，所以我們必須要掌握解決立體幾何問(wèn)題的常用技巧。

1.分割法及其應(yīng)用

分割法主要是先將立體幾何體劃分成若干個(gè)組成部分，之后基于整體和部分之間關(guān)系來(lái)求解有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例1：已知三棱錐P-ABC，PA=4，PB=PC=2，∠APC=∠APB=∠BPC=60°，試求三棱錐的體積？

解析：該道立體幾何體主要是求解整體體積，需要借助三角錐體積求解公式V=1/3*底面積*H，所以許多學(xué)生在解決該題的時(shí)候，可能會(huì)先求出圖1△ABC底面積，之后作出垂直于其表面的高PH，又或者采用直截面（面PAD），以其作為底面，BC為垂直于該面的高，那么同樣可以借助三角錐體積求解公式來(lái)進(jìn)行求解。上面這兩種求解方式都需要求解出△PAD的面積，但是由于三邊長(zhǎng)度不規(guī)則，面積求解比較復(fù)雜，所以求解起來(lái)難度比較大。但是此時(shí)如果按照?qǐng)D2所示，將邊PB和邊PC分別延長(zhǎng)到E點(diǎn)和F點(diǎn)，使PE=PF=4，那么可知此時(shí)三棱錐P-AEF為正三棱錐，此時(shí)非常容易證明邊EF的中位線就是邊BC。

由圖2可知，BC/EF=1/2，那么可知S△PBC/S△PEF=1/4。

因?yàn)槿忮FA-PBC和三棱錐A-PEF二者等高，所以可知VA-PBC/VA-PEF=1/4。

又因VA-PBC=VA-ABC，所以可知VA-PBC=1/4VA-PEF，故VA-PBC=1/4VA-PEF=。

通過(guò)上述分割法的應(yīng)用，可以將復(fù)雜的立體幾何求解劃分成若干個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的、簡(jiǎn)單的幾何體來(lái)進(jìn)行分別求解，這樣可以大大降低我們的解題難度，減少計(jì)算量，提高了我們的解題準(zhǔn)確度和效率。

2.補(bǔ)形法及其應(yīng)用

補(bǔ)

形法主要是將給定的已知幾何體通過(guò)補(bǔ)充形成一個(gè)全新的幾何體，之后在所形成的的新幾何體中對(duì)圖形數(shù)量關(guān)系以及性質(zhì)等進(jìn)行探討的研究法。

例2：圖3是一平面截取某圓柱體所得，截取后幾何體最長(zhǎng)和最短側(cè)面母線分別為4和1，且已知該圓柱的底面半徑長(zhǎng)度為2，試求該幾何體的體積？

解析：由于給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，所以如果直接進(jìn)行求解難度比較大，但是此時(shí)如果可以應(yīng)用“補(bǔ)形法”這種割補(bǔ)法，將一個(gè)完全相同的幾何體同已知幾何體拼接起來(lái)，就可以構(gòu)成圖4所示一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的高5，底面圓直徑為2的圓柱體，此時(shí)可得待求幾何體體積為該圓柱體的1/2，即：。

3.輔助線構(gòu)造法及其應(yīng)用

輔助線構(gòu)造法主要是通過(guò)合理地添加輔助線，將某些復(fù)雜立體幾何圖形變得更加條理，顯示更加直觀，是一種簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法，這種方法也是我們高中生必須要掌握的一種常規(guī)解題法。特別是在二面角相關(guān)立體幾何問(wèn)題求解的時(shí)候，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，常?？梢越柚趫D形中合理添加輔助線的方式來(lái)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例：4：如圖5，已知二面角，其中，且PA=PD，四邊形ABCD為一個(gè)矩形，其中邊AB和邊PC的中點(diǎn)分別為M點(diǎn)和N點(diǎn)，試證明：MN為異面直線AB與PC二者的公垂線。

解析：該道數(shù)學(xué)問(wèn)題是一道典型的二面角的數(shù)學(xué)問(wèn)題，此時(shí)單純依靠題目給定的條件是無(wú)法證明待證明結(jié)論的，這時(shí)候?yàn)榱丝焖僮C明結(jié)論，就需要通過(guò)科學(xué)構(gòu)造輔助線來(lái)證明結(jié)論。根據(jù)題目給定的條件可知：邊AB和邊PC的中點(diǎn)分別為M點(diǎn)和N點(diǎn)，此時(shí)為了證明問(wèn)題的結(jié)論，可以采取“利用中點(diǎn)，連接中位線”的思路來(lái)進(jìn)行證明。可以選擇邊PD的中點(diǎn)Q，之后連接QA和QN，此時(shí)QN就是△PDC的中位線，結(jié)合題干條件可知AM∥DC，之后結(jié)合題干信息就可以證明該題結(jié)論。

證明：在邊PD上作一點(diǎn)，使DQ=PQ，將QA和QN連接起來(lái)。鑒于PD中點(diǎn)為Q，N為邊PC的中點(diǎn)，所以可知QN為△PDC的中位線，即QN=1/2DC。

又因?yàn)锳BCD為矩形，且M為邊AB中點(diǎn)，

所以可知AM∥DC，且AM=DC，

所以QN∥AM，且AM=QN;

所以可知四邊形AMNQ為平行四邊形，即MN∥AQ;

又因?yàn)镻A⊥α，所以AB⊥AD;

因?yàn)镻A和PD同屬于一個(gè)平面PAD，所以平面PAD和AB是相互垂直的，所以CD⊥平PAD。

根據(jù)線面垂直定理可知，AQ⊥PC，所以MN⊥PC，這樣就可以確定MN為異面直線AB與PC二者的公垂線。

總之，分割法、補(bǔ)形法或輔助線構(gòu)造法等是采取分割、補(bǔ)形或輔助線等構(gòu)造方式對(duì)立體幾何進(jìn)行處理，之后基于所得新的立體，挖掘已知幾何體和未知幾何體二者內(nèi)在聯(lián)系性，從而達(dá)到簡(jiǎn)化立體幾何問(wèn)題的目的。在實(shí)際的立體幾何問(wèn)題求解中，我們需要結(jié)合實(shí)際的題干信息，靈活運(yùn)用輔助線構(gòu)造等解題技巧，確保不斷提升我們的解題能力。