2018高考全國卷立體幾何題的思考

黃森宏

摘 要：空間向量作為一種有效的解題工具，更新了立體幾何的知識體系和思維方式，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點，大大的降低了立體幾何的難度。它把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化，從而使幾何問題變得更為簡捷，正因為空間向量是解決立體幾何的有效工具，所以我們在教學(xué)中必須對向量的知識，立體幾何的知識，以及向量與立體幾何的緊密聯(lián)系要有個清晰的認(rèn)識，直線研究的是方向向量，平面研究的是法向量，更重要的是向量主要研究的是二種特殊情況，向量共線與向量垂直，所以在立體幾何中，往往就是用共線與垂直去解決立體幾何中的探究性問題！

關(guān)鍵詞：立體幾何;空間向量;共線與垂直;翻折

立體幾何作為高考數(shù)學(xué)的必考題，年年考，立體幾何無外乎考查立體幾何中簡單幾何體組合體的概念、性質(zhì)、圖形特征，表面積體積等計算，培養(yǎng)空間想象能力;簡單幾何體的點線面的位置關(guān)系，比如平行垂直關(guān)系;立體幾何中線線角，線面角，二面角的求解;立體幾何中的距離問題往往跟幾何體的體積聯(lián)系在一起。

同時空間向量作為一種有效的解題工具，更新了立體幾何的知識體系和思維方式，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點，大大的降低了立體幾何的難度，并通過直觀感知和操作確認(rèn)的方式獲取對立體幾何圖形和性質(zhì)的認(rèn)識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。它把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化，從而使幾何問題變得更為簡捷，讓學(xué)生站在一個新的高度看問題，闡述空間向量引入的意義和必要性。

正因為空間向量是解決立體幾何的有效工具，所以我們在教學(xué)中必須對向量的知識，立體幾何的知識，以及向量與立體幾何的緊密聯(lián)系要有個清晰的認(rèn)識，我們要明確在高中階段，向量主要研究的是向量的加減數(shù)乘與數(shù)乘運算，數(shù)量積運算，一般基底下的運算及正交基底下的坐標(biāo)運算，以及向量的模與夾角，正因為可以解決模與夾角，所以能夠與立體幾何緊密的聯(lián)系起來，同時直線研究的是方向向量，平面研究的是法向量，更重要的是向量主要研究的是二種特殊情況，向量共線與向量垂直，所以在立體幾何中，往往就是用共線與垂直去解決立體幾何中的探究性問題！

正因為如此，在平時的教學(xué)中，我提出如下：

1.熟悉空間幾何體的基本特征，特別是幾種特殊幾何體，比如正方體，長方體，正三棱錐，球等等，三視圖與直觀圖的切換，通過這些分析理解透點線面關(guān)系，提升空間想象能力

2.立體幾何問題，首先要解決平面幾何的問題，也就是平面幾何是研究并解決立體幾何的基礎(chǔ)，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面幾何中。

3.鞏固空間（平面）向量的基本知識，強化向量夾角與向量的模的概念，公式的理解與應(yīng)用，特別是向量的共線與垂直，這些往往就是解決立體幾何的關(guān)鍵！

4.立體幾何的另一考查重點是幾何中的翻折問題，翻折問題要緊扣圖形中變與不變的量，熟練識圖，分析出平面幾何，立體幾何，再運用相關(guān)知識去求解。

5.在立體幾何中，一般第一問我主張用幾何法證與求，在證明平行與垂直中，一定要掌握線，面的互相切換。第二問提倡用向量法求，可能對學(xué)生的解題會有較大幫助

6.正因為引入向量，所以建立空間直角坐標(biāo)系，建系有個要求，必須要找到兩兩垂直，對于兩兩垂直有二個要求，一是條件明說的，直接建系就行，如果沒有的，須通過證明兩兩垂直，

建系時最佳的結(jié)果是盡量多的點在坐標(biāo)軸上，因為用空間向量去解決立體幾何問題，把比較抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，既然是計算問題，就須提高計算能力，其中建系的好不好，直接影響到計算難度與計算量，這考驗學(xué)生的計算能力！

基于上面我的教學(xué)體會與理解，下面對2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第18題立體幾何進(jìn)行剖析：

例：（2018全國卷Ⅰ）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達(dá)點P的位置，且PE⊥BF.

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

1.首先，這是一個立體幾何的翻折問題，首先我們的明確哪些量是變的，哪些量是不變的，

比如∠DPF的大小，線段DP，PF的長度是不變的，即∠DCF=∠DPF=π/2，線段DP=DC，CF=PF。在翻折過程中變的是點P的位置

2.明確考查內(nèi)容，這是面面垂直的證明，那么需要用到面面垂直的證明所需的定理公理，同時更要明確證明面面垂直有哪些途徑，比如是否是直接有平面幾何知識，還是能過線線垂直→線面垂直→面面垂直，此題恰好用的就是這個思路去證明的

【解析】（1）由已知可得，BF⊥PE，BF⊥EF，——線線垂直

所以BF⊥平面PEF.——線面垂直

又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.——面面垂直

3.歷年高考題比較：對比十年全國卷的立體幾何考題，2017考查的也是面面垂直，不過不是翻折問題，但也是線線垂直，線面垂直，面面垂直三者關(guān)系中的演化！在2016全國2卷出現(xiàn)了翻折問題，也是要抓住變與不變，線面關(guān)系去解決。從難度上來說，2018的考題是難度比較小的，比較適合大部份學(xué)生做的題

4.教學(xué)建議

緊扣空間向量的特點與研究的重點難點，結(jié)合立體幾何的特征與特點，把向量與幾何緊密的結(jié)合起來，挖掘問題的潛在關(guān)聯(lián)，利用立體幾何的定理公理定義，結(jié)合空間向量這個工具，更好地去解決立體幾何中遇到的問題！讓學(xué)生學(xué)會學(xué)數(shù)學(xué)，樂于學(xué)數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)這個學(xué)科上，真正地愛上數(shù)學(xué)！

參考文獻(xiàn)

[1]《2018全國卷1高考數(shù)學(xué)理科試題》