高階矩陣逆的分塊計算探究

梁載濤

摘 要：矩陣的分塊是處理高階矩陣運(yùn)算的一種非常有效的方法，但是大多數(shù)理工科線性代數(shù)教材只是簡單地介紹分塊矩陣的概念和運(yùn)算，對其相關(guān)應(yīng)用介紹的并不多.本文主要針對高階矩陣逆的分塊計算進(jìn)行探究.

關(guān)鍵詞：高階矩陣;初等變換;分塊矩陣;逆矩陣

中圖分類號：O13? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）10-0010-03

1 引言

矩陣是線性代數(shù)課程中一個非常重要的內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用.矩陣是線性代數(shù)基本的研究對象和研究手段，矩陣?yán)碚撆c方法貫穿于行列式、線性方程組、線性變換、二次型等各個方面.同時矩陣?yán)碚撘彩窃S多其他數(shù)學(xué)分支和自然學(xué)科研究問題的一個重要工具.逆矩陣作為矩陣教學(xué)的一個主要內(nèi)容，對研究其他線性結(jié)構(gòu)有著重要的作用.線性代數(shù)的許多問題都可以轉(zhuǎn)化為矩陣求逆相關(guān)問題來研究.

對于低階矩陣來說，可以通過待定系數(shù)法、伴隨矩陣法以及初等變換法等計算其逆矩陣.但是對于求高階矩陣的逆運(yùn)算來說，直接應(yīng)用這些方法就會相當(dāng)?shù)膹?fù)雜和繁瑣，且計算量非常大.但是高階矩陣的逆運(yùn)算又在許多自然科學(xué)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.如何得到高階矩陣逆的簡單計算公式至今仍然困擾著許多高校教師和學(xué)子們.如果對其進(jìn)行分塊，把高階矩陣逆的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為若干個低階矩陣的運(yùn)算，那么計算起來就會簡單得多，同時也使得原矩陣的結(jié)構(gòu)顯得簡單且清晰.因此，矩陣的分塊是處理高階矩陣運(yùn)算的一種非常有效的方法，但是大多數(shù)理工科線性代數(shù)教材只是簡單地介紹了分塊矩陣的概念和一些簡單的運(yùn)算，對其相關(guān)應(yīng)用介紹的并不多.受此啟發(fā)，本文主要針對高階矩陣逆的分塊計算進(jìn)行探究.希望本文的結(jié)果對矩陣相關(guān)領(lǐng)域的研究、教學(xué)以及考研等有所幫助.

2 分塊矩陣的初等變換

初等變換和初等矩陣是矩陣求逆運(yùn)算的一個非常簡單且有效的工具.初等變換和初等矩陣同樣可以推廣到分塊矩陣，具體可參考文獻(xiàn)[1-3].下面簡單地介紹分塊矩陣的初等變換和初等矩陣.

設(shè)M是一個由l行m列子矩陣Mij所構(gòu)成的分塊矩陣：

下列三種變換稱為分塊矩陣的初等變換：

（1）交換分塊矩陣M的兩行（列）;

（2）用一個可逆矩陣左（右）乘分塊矩陣M的某一行（列）;

（3）用某一矩陣左（右）乘分塊矩陣M的某一行（列）加到另一行（列）上去.

設(shè)E是一個由l行m列單位矩陣Eij所構(gòu)成的分塊單位矩陣：

則其經(jīng)過一次初等變換所得到的分塊矩陣稱為初等分塊矩陣.初等分塊矩陣有三種：

（1）交換E的第i，j兩行（列）得到初等分塊矩陣記作E（i，j）;

（2）用可逆矩陣Q左（右）乘E的第i行（列）得到初等分塊矩陣記作E（i（Q））;

（3）用矩陣Q左乘E的第j行加到第i行得到初等分塊矩陣記作E（j（Q），i）;它也可以表示矩陣Q右乘E的第i列加到第j列.

對分塊矩陣M作初等變換，有如下性質(zhì)：

（1）對分塊矩陣M作一次初等行變換，相當(dāng)于在M的左邊乘以相對應(yīng)的初等分塊矩陣;

（2）對分塊矩陣M作一次初等列變換，相當(dāng)于在M的右邊乘以相對應(yīng)的初等分塊矩陣.

3 高階矩陣逆的分塊計算法

對于分塊矩陣的運(yùn)算來說，二階分塊矩陣的運(yùn)算是最簡單的，所以本文主要考慮由四個子矩陣組成的二階分塊矩陣.如果一次二階分塊后，發(fā)現(xiàn)有子矩陣仍為高階矩陣，那么可以對其進(jìn)行多次二階分塊，最后達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.應(yīng)用分塊矩陣求矩陣的逆相關(guān)文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[4-7].但上述專著和文獻(xiàn)給出求逆公式大都是根據(jù)待定系數(shù)法證明，或者只是簡單地進(jìn)行驗證，對公式的由來和證明不夠合理，而且還有部分文獻(xiàn)只是給出的是一些特殊分塊矩陣的逆公式[7]，對一般矩陣的逆并沒有給出.本節(jié)內(nèi)容將解決這一問題.

4 總結(jié)

作者在線性代數(shù)的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的理工科線性代數(shù)教材以及習(xí)題往往只涉及一些低階矩陣逆的計算，對于高階矩陣逆的計算涉及很少.可能是因為高階矩陣逆的計算復(fù)雜且計算量大的原因.但是高階矩陣逆運(yùn)算又在許多自然科學(xué)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.如何得到高階矩陣逆的簡單計算公式呢？受此啟發(fā)，本文主要應(yīng)用分塊矩陣的初等變換法探討高階矩陣的逆矩陣，并給出具體的計算公式.本文的結(jié)果對高校教師進(jìn)行線性代數(shù)矩陣方面的教學(xué)以及學(xué)生考研都有著一定的幫助，也進(jìn)一步補(bǔ)充和完善了這方面的教學(xué)內(nèi)容.如有不妥之處，請予指正.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕王耕祿，史榮昌，等.矩陣?yán)碚揫M].北京：國防工業(yè)出版社，1988.

〔2〕陳本美，林宗利，司馬詡.線性系統(tǒng)理論：結(jié)構(gòu)分解法[M].席斌，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

〔3〕魏平.初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010，29（9）：57-58.

〔4〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)[M].第3版.北京：高等教育出版社，1999.

〔5〕江蓉，王守中.分塊矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法探討[J].西南師范大學(xué)學(xué)報，2017，42（6）：167-171.

〔6〕陳本美，林宗利，司馬詡.線性系統(tǒng)理論：結(jié)構(gòu)分解法[M].席斌，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

〔7〕馬學(xué)玲，詹建明.淺談逆矩陣求解的方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，30（11）：3-5.