借助幾何直觀厘清數(shù)量關(guān)系

馮玉秀

在解決問題的過程中，借助畫直觀圖的方式，將數(shù)量關(guān)系的精確刻畫和空間形式的形象直觀密切結(jié)合，依托于“形”的支撐來顯化數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，成為解決問題的有效方法之一。因?yàn)閷?shù)量信息反映在圖形上，依托圖形能直觀地表現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，達(dá)到化抽象為具體、化隱為顯的目的，起著提示獲取抽象問題的一些簡單、快捷的解決思路的作用。本文就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生借助“幾何直觀”厘清數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解決問題的目的，談一些想法。

1.培養(yǎng)學(xué)生畫圖的意識(shí)

在數(shù)學(xué)課堂上，一些學(xué)生遇到比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，或者是一些純文字的數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往兩眼直盯著題目，冥思苦想、一籌莫展。這時(shí)可以提醒學(xué)生：沒有解題思路時(shí)，可以反復(fù)認(rèn)真的讀題，再根據(jù)題目的意思涂一涂、畫一畫。也許這些涂涂畫畫會(huì)對你有所啟示。這里的涂涂畫畫就是借助幾何直觀分析問題、解決問題。課堂上，那些有意畫圖思考的孩子往往在學(xué)習(xí)中占有優(yōu)勢，抽象能力更勝人一籌。因?yàn)槭疽鈭D畫出后，題意就更清楚了，數(shù)量關(guān)系建構(gòu)都不在話下。所以所謂的難題也就迎刃而解了。

例如，足球上白色的皮都是六邊形的，黑色皮都是五邊形的。一個(gè)足球上白色皮有20塊，比黑色皮的2倍少4塊。白色皮和黑色皮一共有多少塊？學(xué)生在做這道題時(shí)往往搞不清黑色皮和白色皮塊數(shù)的關(guān)系，所以求黑色皮時(shí)會(huì)出現(xiàn)以下一些錯(cuò)誤：或者或者教學(xué)中我這樣引導(dǎo)學(xué)生畫圖：首先畫什么量？畫多長？為什么？再畫什么量？又畫多長？為什么？先畫黑色皮，表示黑色皮的線段長度可以任意畫，因?yàn)楹谏な腔A(chǔ)量。有了黑色皮才能畫白色皮，表示白色皮線段的長度是黑色皮的2倍。（如下圖）從圖就可以清楚的看出兩種量的數(shù)量關(guān)系：白色皮+4塊=黑色皮2。錯(cuò)誤也就會(huì)大大減少。

我認(rèn)為，在學(xué)生涂涂畫畫這個(gè)過程中，學(xué)生在經(jīng)歷合情合理的推導(dǎo)、想象和頓悟;在不斷積累知識(shí)、積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)和辦法;在感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略和思想。

2.教授畫圖的方法

讓“幾何直觀”促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。我們在教學(xué)中要刻意推動(dòng)“幾何直觀”，做到讓“幾何直觀”貫穿于我們的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之中。在解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，將文字翻譯成“圖畫”。

例如，小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)有這樣的題目“一條公路旁原來有一個(gè)寬20米的長方形魚池。后來因擴(kuò)建公路，魚池的寬減少了5米，這樣魚池的面積就減少了150平方米?，F(xiàn)在魚池的面積是多少平方米？”這種純文字形式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題相對比較抽象，憑空想象很難弄清題意。這時(shí)要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖，借助圖形尋求解決問題的思路。

教學(xué)中，可以先讓學(xué)生畫出一個(gè)長方形來表示原來的魚池，然后引導(dǎo)學(xué)生思考并表示出寬20米在哪兒？減少的150平方米又在哪兒？要求的問題是圖中哪一部分？當(dāng)學(xué)生弄清楚這些問題后，題意自然就一清二楚了。當(dāng)學(xué)生正確解答題目后，教師一定讓學(xué)生反思畫圖步驟、畫圖意義。這樣的教學(xué)過程，從解決實(shí)際問題的需要出發(fā)，緊緊圍繞利用畫圖進(jìn)行直觀推理展開，使學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)了畫示意圖整理?xiàng)l件和問題的方法，積累了借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力。

3.親歷畫圖的過程

在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們教師采用幾何直觀教學(xué)方法的時(shí)候，要加強(qiáng)和學(xué)生之間的互動(dòng)，讓學(xué)生親歷畫圖的全過程。比如，在解決這一的題目時(shí)“黃花有10朵，綠花的朵數(shù)是黃花的2倍，而紅花的朵數(shù)比綠花多7朵，請同學(xué)們告訴教師紅花有多少朵？”教師讓一位學(xué)生在黑板上做出線段圖，然后，有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題，表示多出的7朵的線段和前面10朵的線段一樣長，然后，教師將這表示多出的7朵線段畫得短短的一段。學(xué)生又表示畫的太短了。然后教師讓學(xué)生思考到底怎樣畫才是合理的。學(xué)生思考后，會(huì)發(fā)現(xiàn)只要比黃花10朵的線段長度的一半多一些就可以了。教師再根據(jù)學(xué)生的意見修改線段圖。

通過加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)，調(diào)節(jié)學(xué)生的注意力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、修正線段圖，引導(dǎo)學(xué)生透過事物表面，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，從而完成具體到抽象的過渡。學(xué)生也只有親歷了畫圖的過程才能真正體會(huì)畫圖意義、掌握畫圖的方法，從而形成幾何直觀的能力。才能在以后的解決問題過程中自覺地應(yīng)用畫圖來幫助自己解決問題。

當(dāng)然，“幾何直觀”是一種策略、一種思想，而不是單純的技能。很多時(shí)候，解決數(shù)學(xué)問題的思維正是在采用“幾何直觀”的建構(gòu)、思考、嘗試、表達(dá)的過程中得到啟發(fā)。這對于學(xué)生核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科能力至關(guān)重要?！皫缀沃庇^”塑造的是學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀世界的思維品質(zhì)和多元的解釋、多元的表達(dá)方式。