一道“數(shù)學(xué)難題”的“華麗轉(zhuǎn)身”

諸錦娟

引言：近期我們特級(jí)教師工作室的成員又走進(jìn)了領(lǐng)銜人張齊華特級(jí)的課堂，一開(kāi)課，老師們便炸開(kāi)了鍋：“這不是一道奧數(shù)題嗎，這樣的教學(xué)內(nèi)容可以進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂嗎？”、“這么難的試題考試又不考，干嘛要花一節(jié)課時(shí)間來(lái)研究呢？”……

張老師為什么會(huì)選擇這樣一道奧數(shù)難題作為課堂教學(xué)研究的內(nèi)容呢？這引起我的深思……

一、思忖：難題究竟難在哪里？

據(jù)張老師介紹，這節(jié)課的教學(xué)靈感來(lái)源于萍教授給小學(xué)數(shù)學(xué)老師的一次講座中提到的案例：

一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正方形封閉的羊圈，羊圈外面全部是草地。一根繩子的一端系在羊圈固定的樁子上，另一端拴著一頭羊。如果繩長(zhǎng)是6米，羊能夠吃到多大一片草？（羊的大小、拴繩部分忽略不計(jì)）

仔細(xì)琢磨思忖，這個(gè)難題之所以“難”，主要有三個(gè)難點(diǎn)：

1.問(wèn)題情境陌生

在之前《圓的面積》的練習(xí)課中，學(xué)生也遇到過(guò)“羊吃草”的問(wèn)題，但那僅是求一個(gè)圓的面積。而這題情境中多了一個(gè)羊圈，多了6米繩長(zhǎng)，讓問(wèn)題變得復(fù)雜了很多。對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這里的生活情景、問(wèn)題情境是學(xué)生十分陌生的：羊圈具體是什么樣子，羊吃草的范圍有哪些，6米的繩長(zhǎng)與哪些因素關(guān)聯(lián)？這些都是學(xué)生困惑的地方，也是學(xué)生解決問(wèn)題的困難所在。

2.條件變化多樣

在這個(gè)問(wèn)題情境中，拴羊的繩子的長(zhǎng)短變化直接影響著計(jì)算結(jié)果。當(dāng)繩長(zhǎng)等于4米或小于4米時(shí)，結(jié)果是一種情況；當(dāng)繩長(zhǎng)大于4米而等于小于8米時(shí)，結(jié)果是另一種情況，繩長(zhǎng)變化結(jié)果也會(huì)發(fā)生變化……一個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，隨著條件的不斷變化，結(jié)果就會(huì)發(fā)生改變，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難以理解的。

3.思維鏈接繁雜

所謂數(shù)學(xué)難題，無(wú)非是知識(shí)點(diǎn)多，條件隱蔽，計(jì)算復(fù)雜，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求比較高。需要鏈接眾多的知識(shí)點(diǎn)；需要鏈接眾多的隱蔽條件：包括隨著情境不斷變化或保持不變的條件；需要鏈接眾多的計(jì)算方法；思維鏈接繁雜，思考起來(lái)比較困難，此題亦是如此。

二、自問(wèn)：難題該不該進(jìn)入課堂？

作為一線教師，大家長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)這樣的難題教學(xué)都心存抵觸，覺(jué)得它們難度大、講解難、價(jià)值低，因而沒(méi)有老師愿意去觸碰它。尤其在教學(xué)時(shí)只是片面追求：掌握解題方法，記憶定理公式，應(yīng)付各類(lèi)考試。那它無(wú)疑是超綱的，教學(xué)價(jià)值也是低廉的。

那么，這樣的“難題”到底該不該進(jìn)入我們的課堂呢？這也引起我的反思和自問(wèn)：

1.難題教學(xué)有何積極的意義？

在聽(tīng)課的同時(shí)，我也深刻的反思：我們對(duì)“難題”的認(rèn)知存在著一定的偏頗。許多所謂的“難題”都是源于教材，是教材內(nèi)容的延伸拓展，內(nèi)容更具綜合性、研究性、趣味性，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和綜合素養(yǎng)的提升發(fā)展有著一定的積極作用。

像這樣的難題有助于拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，激活解決問(wèn)題的不同思路，進(jìn)一步豐富探索性學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，可以讓學(xué)生感受到生活中的許多問(wèn)題都蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)，富有挑戰(zhàn)性。我們必須培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式去感知、觀察、分析、思考我們周?chē)氖澜纭?/p>

2.難題的教學(xué)如何定位？

新課改重新聚焦學(xué)生的思維，重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和發(fā)展。對(duì)于難題，只要我們跳出解決問(wèn)題本身，淡化對(duì)問(wèn)題結(jié)論的關(guān)注，淡化對(duì)解題技巧的關(guān)注，把教學(xué)定位在：學(xué)生是否經(jīng)歷了問(wèn)題解決的過(guò)程；學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中表現(xiàn)出怎樣的思維能力和思維方法；學(xué)生是否通過(guò)問(wèn)題解決積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提升解決問(wèn)題策略。如若通過(guò)難題的研究，學(xué)生思維的角度和深度發(fā)生了改變，數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)方法能有所感悟，學(xué)會(huì)“問(wèn)題解決”的策略。那么這樣的難題教學(xué)是有積極意義的。

三、獲益：難題讓課堂綻放別樣精彩。

特級(jí)教師的課堂是一張風(fēng)帆，特級(jí)教師的教學(xué)是一種引領(lǐng)，張老師的這道難題教學(xué)的華麗轉(zhuǎn)身給了我們?cè)S多啟發(fā)：

1.尊重主體，支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)生

學(xué)生是課堂的主人，課堂上，學(xué)生的每一個(gè)想法每一個(gè)創(chuàng)意，無(wú)論是對(duì)還是錯(cuò)，都應(yīng)該是教學(xué)的寶貴資源，都應(yīng)該受到尊重。給學(xué)生發(fā)表不同想法的機(jī)會(huì)，呈現(xiàn)不同的思維路徑，既能體現(xiàn)出學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)，又可以最大程度地促進(jìn)學(xué)生思考各種方法之間的異同及內(nèi)在聯(lián)系，這一過(guò)程可以充分激發(fā)每一個(gè)學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化的學(xué)習(xí)，支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

生三：我覺(jué)得上面兩位同學(xué)的方法都有問(wèn)題。我們小組經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)羊能夠吃草的最大面積，應(yīng)該是這樣的。就是π×6×6× +π×2×2× =29π平方米。

對(duì)于學(xué)生不同的方法，張老師并不急于評(píng)價(jià)，而是鼓勵(lì)學(xué)生充分闡述自己的想法，展示思考的過(guò)程。當(dāng)學(xué)生三種方法都呈現(xiàn)后，老師看似隨意實(shí)則精心的提問(wèn)：“究竟哪一種才是準(zhǔn)確的？你能給出更有說(shuō)服力的解釋嗎？”這樣畫(huà)龍點(diǎn)睛地設(shè)問(wèn)，激發(fā)了學(xué)生的思維欲望，立刻把學(xué)生帶入了沉思交流和思維碰撞的環(huán)節(jié)。為形成正確的解題思路搭建了“腳手架”，有效的支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。

2.著眼能力，支持核心素養(yǎng)的形成

課標(biāo)（2011年版）指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。它是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中形成的數(shù)學(xué)的思想與方法，是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極培養(yǎng)目標(biāo)。

（1）經(jīng)歷想象過(guò)程，建立空間觀念

這節(jié)課中，張老師特別重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷情境想象的過(guò)程，或借助模型動(dòng)手操作以明確思路，或畫(huà)示意圖幫助理解，從而建立空間觀念。

（2）滲透模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用。在張老師的這節(jié)課中，通過(guò)讓學(xué)生在操作體驗(yàn)、異同對(duì)比、歸納提煉的基礎(chǔ)上逐步滲透了模型思想。