盜用行列式的性質(zhì)簡單證明克拉默法則

秦鳳

摘要：對(duì)于所有的高等院校來說，只要學(xué)校開設(shè)了高等數(shù)學(xué)這門課，那么線性代數(shù)就是必須要學(xué)習(xí)的一塊內(nèi)容，因此Cramer法則也就是一定要接觸的知識(shí)。而對(duì)于Cramer法則的證明，無論是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生用的高等代數(shù)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生用的線性代數(shù)，其中給出的證明方法基本都是先證有解，然后證明解唯一。這種證明方法對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)或者生源較好的一本、二本院校的學(xué)生來說可以接受，但是相對(duì)于生源較差的獨(dú)立院校的學(xué)生，讓他們掌握并理解這種證明方法就比較困難，故本文根據(jù)獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的基礎(chǔ)情況給出一種用行列式的性質(zhì)簡單說明克拉默法則的證明，以此讓獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生更容易接受并理解應(yīng)用Cramer法則。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 獨(dú)立學(xué)院Cramer法則

一、教材的基本證明方法

我們知道無論是一本、二本院校還是獨(dú)立學(xué)院，只要學(xué)校開設(shè)了線性代數(shù)，那么克拉默法則也是必學(xué)的一塊內(nèi)容，但是對(duì)于很多教材，比如數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)，普通文科、工科的線性代數(shù)，對(duì)于克拉默法則的證明基本都是這樣過程給出的。

定理：如果線性方程組

的系數(shù)矩陣，

的行列式

則線

性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表示為

此定理隱含了三層結(jié)論：一是此線性方程組是有解的;二是解是唯一的;三是唯一解是由上面的式子給出的。

一般教材的證明方法都是分成了兩步：

證明：1）把線性方程組（1）寫成

首先證明（3）是（1）的解。

把（3）代入第1個(gè)方程，左端為

因?yàn)?/p>

所以

由代數(shù)余子式與行列式的相關(guān)定理可得

這與第i個(gè)方程的右端是一樣的，故（3）確為方程組（1）的解。

2）設(shè)（C1，C2，Acn）是方程組（1）的一個(gè)解，于是有n個(gè)恒等式

（7）

為了證明

，取系數(shù)矩陣中第k列元素的代數(shù)余子式A1k，A2k，AAnk用它們分別乘以（7）中n個(gè)恒等式，有

把這n個(gè)恒等式加起來，即得

等式右端等于在行列式D按第k列的展開式中把a(bǔ)ij分別換成bi（i=1，2，An）。因此，它等于把行列式D中第k列換成b1，b2，A，bn所得的行列式，也就是Dk。（8）式的左端，即

由行列式與代數(shù)余子式定理可得

所以

于是， （8）即為Dck=Dk，K=l，2，A，n 也即是

故若（c1，c2，Acn）是方程組（1）的一個(gè)解，則它必為

，因此線性方程組（1）最多有一組解。

二、用行列式的性質(zhì)簡單證明Cramer法則

對(duì)于數(shù)學(xué)系的學(xué)生來說上面的證明方法是必要且必須掌握的，但是對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生尤其是獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生，此證明過程對(duì)他們來說理解起來比較困難，而且非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對(duì)于定理更側(cè)重于應(yīng)用，所以我們可以用下面簡單的證明方法來幫助學(xué)生理解該定理的內(nèi)容及定理的正確性。

證明：設(shè)方程組（1）有解且設(shè)為x1，，x2，Axn，則有

同理

故原方程組（1）有唯一解。

由于獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的整體數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，對(duì)大部分同學(xué)來說，他們可以理解并應(yīng)用前面學(xué)習(xí)過簡單的定理或性質(zhì)，此處對(duì)克拉默法則的證明僅僅使用了前面章節(jié)剛學(xué)過的行列式的性質(zhì)，沒有牽扯到其它關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生會(huì)感到這種證明方法讓他們很好理解，而且此證明過程也是對(duì)行列式性質(zhì)的一種應(yīng)用。因此，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說，此證明方法即是對(duì)前文知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)應(yīng)用又可很輕松地學(xué)到新的知識(shí)點(diǎn)，可謂一舉兩得。

三、小結(jié)

本文結(jié)合獨(dú)立學(xué)院的實(shí)際情況，在教材已有的克拉默法則證明基礎(chǔ)上，給出了用行列式的性質(zhì)簡單證明Cramer法則的過程，筆者認(rèn)為，此證明方法對(duì)于獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生更適用，且有利于他們理解行列式的性質(zhì)和克拉默法則的意義，而且簡單的證明方法更能激起獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，有助于他們對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

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