電磁矢量陣中基于PARALIND分解的相干DOA估計(jì)算法

徐 樂(lè) 張小飛 林新平 周夢(mèng)婕

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106）

引 言

對(duì)于空間中所傳播的電磁信號(hào)，除了接收方向外，信號(hào)極化參數(shù)也是一類經(jīng)常需要考慮的信息。普通的天線所組成的信號(hào)接收陣列通常只能從中得到信號(hào)的角度信息，無(wú)法從中提取出信號(hào)的極化狀態(tài)。而由電磁矢量傳感器所組成的電磁矢量陣，在監(jiān)測(cè)入射信號(hào)強(qiáng)度的同時(shí)，還能夠有效地感應(yīng)其中所包含的磁場(chǎng)分量和電場(chǎng)分量信息。與普通天線陣列相比，電磁矢量傳感器能夠有效地分辨信號(hào)的極化信息，在系統(tǒng)檢測(cè)能力、極化多址能力和抗干擾能力等方面，都有較大的優(yōu)勢(shì)[1-2]。

在傳統(tǒng)的波達(dá)方向(Direction of arrival,DOA)估計(jì)算法的研究基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們已經(jīng)提出了眾多關(guān)于電磁矢量陣多參數(shù)估計(jì)的算法。其中，文獻(xiàn)[3]將借助旋轉(zhuǎn)不變性進(jìn)行信號(hào)參數(shù)估計(jì)(Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法運(yùn)用到了電磁矢量傳感器中，實(shí)現(xiàn)了接收信號(hào)角度與極化參數(shù)的估計(jì)。文獻(xiàn)[4]將多重信號(hào)分類(Multiple signal classification,MUSIC)算法進(jìn)行推廣，實(shí)現(xiàn)了角度和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)[5]對(duì)傳統(tǒng)MUSIC算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種電磁矢量陣中低復(fù)雜度的降維MUSIC算法。另外，電磁矢量傳感器也被運(yùn)用到了多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output,MIMO)雷達(dá)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法研究中[6-7]。

然而，在實(shí)際應(yīng)用中由于傳播環(huán)境的復(fù)雜性，接收陣列包括電磁矢量傳感器所接收的信號(hào)中有相干信號(hào)的存在。信號(hào)之間的相干性會(huì)造成陣列所接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的虧秩[8]，由此,上述的許多算法便不再適用于對(duì)這種相干信源進(jìn)行多參數(shù)估計(jì)。關(guān)于相干信源多參數(shù)估計(jì)，學(xué)者們已經(jīng)提出了許多有效算法[9-13]，例如Toeplitz矩陣重構(gòu)算法[9]、最大似然算法[10]以及基于前后向平滑(Forward backward spatial smoothing,FBSS)的FBSS-ESPRIT算法和FBSS-傳播算子(Propagator method,PM)算法[11]。

三線性分解，又稱為平行因子(Parallel factor,PARAFAC)模型，最早于生理學(xué)中提出，用于對(duì)多維數(shù)據(jù)的分析[14]。近年來(lái)，該技術(shù)被成功地運(yùn)用到信號(hào)處理領(lǐng)域?；赑ARAFAC模型框架，文獻(xiàn)[15]提出一種在電磁矢量陣中，基于PARAFAC分解的角度和極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法。該算法利用PARAFAC模型分解的唯一性，能夠得到配對(duì)的角度和極化參數(shù)估計(jì)，擁有較好的參數(shù)估計(jì)性能。然而如同上述算法一樣，該算法同樣無(wú)法對(duì)相干信源參數(shù)作出有效估計(jì)。

平行線性相關(guān)剖面模型（Parallel profiles with linear dependencies,PARALIND）可以看作是平行因子模型的擴(kuò)展[16-18]，該方法能夠有效解決相干信源的多參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]將聲矢量傳感器與PARALIND模型相結(jié)合，解決了聲矢量傳感器陣列中相干信號(hào)DOA估計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[18]則將PARALIND模型應(yīng)用到了MIMO雷達(dá)中，解決了MIMO雷達(dá)中的相干信號(hào)角度估計(jì)問(wèn)題。

本文將PARALIND模型與電磁矢量陣列相結(jié)合，提出了一種線性電磁矢量陣中基于PARALIND分解的相干DOA估計(jì)算法。相比于文獻(xiàn)[15]，本文所做的工作主要有以下貢獻(xiàn)：(1)對(duì)電磁矢量傳感器陣列所接收的相干信號(hào)進(jìn)行建模，將電磁矢量陣中的PARAFAC模型擴(kuò)展到PARALIND模型；(2)由PARALIND模型的分解得到信號(hào)的角度估計(jì)，解決了電磁矢量陣中相干信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，并詳細(xì)描述了算法的完整過(guò)程。

本文算法在進(jìn)行接收信號(hào)DOA估計(jì)的同時(shí)，還能夠得到信號(hào)的相干關(guān)系矩陣。另外，該算法對(duì)均勻線陣和非均勻線陣都適用，其角度估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的FBSS-ESPRIT算法和FBSS-PM算法。對(duì)于角度相隔很小的相干信源，該算法也能夠進(jìn)行有效估計(jì)。

1 數(shù)據(jù)模型

考慮一個(gè)由M個(gè)電磁矢量傳感器組成的線性陣列，第m個(gè)接收天線與參考陣元(m=1)之間的距離為dm(m=1,2,…,M)。假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到該陣列，對(duì)于第k個(gè)目標(biāo)，θk，γk和ηk分別是其到達(dá)角、極化角和極化相位。

對(duì)于電磁矢量傳感器，假設(shè)入射信源b(t)，其仰角和方位角分別為θ和φ，極化參數(shù)分別為γ和η，則對(duì)于陣列中的第m個(gè)傳感器，t時(shí)刻的輸出為[15]

式中s為極化矢量，包含有信號(hào)極化參數(shù)和角度信息，其表達(dá)式為

由于本文研究的陣列為線性陣列，因此接收信號(hào)方位角φk=90°,k=1,2,…,K。

對(duì)于入射的K個(gè)信源，定義極化矩陣S=[s1,s2,…,sK]∈C6×K，其中sk=[-cosγk,cosθksinγkexp(jηk),-sinθksinγkexp(jηk),-sinγkexp(jηk),-cosθkcosγk,sinφkcosγk]T∈C6×1。

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，整個(gè)電磁矢量傳感器陣列t時(shí)刻的接收信號(hào)可以表示為

式中：“°”表示 Khatri-Rao 積，b0(t)=[b1(t),b2(t),…,bK(t)]T∈ CK×1，A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]為整個(gè)陣列的方向矩陣 ，a(θk)=[1,exp(-j2πd2sinθk/λ),…,exp(-j2πdMsinθk/λ)]T∈ CM×1，n(t)∈C6M×1代表獨(dú)立、零均值高斯白噪聲。

對(duì)于J個(gè)快拍，整個(gè)陣列接收數(shù)據(jù)～X∈C6M×J可以表示為

假設(shè)入射到陣列中的K個(gè)信源中，最多可以找到K1個(gè)互不相干的信源，則式(4)中的接收信號(hào)可以表示為

式中：B∈CK1×J是K個(gè)互不相干信源的信源矢量，?！蔆K×K1為相干系數(shù)矩陣，且滿足ΓB=B。 根

10據(jù)文獻(xiàn)[16]，式(5)中的相干信號(hào)接收數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為PARALIND模型，該模型可以看作為三線性模型的推廣，可以有效地用于相干信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。

2 相干DDOOAA估計(jì)算法

2.1PARAALLIINNDD分解

式中：Y=(ΓB)T(A°S)T為無(wú)噪接收信號(hào)。式(6)中的接收信號(hào)模型即為PARALIND模型[16]，其最小二乘目標(biāo)函數(shù)為

式中：‖·‖F(xiàn)表示Forbenius范數(shù)。在無(wú)噪聲環(huán)境下有

式中：Dn(A)表示取矩陣A第n行元素組成的對(duì)角矩陣，Yn=(ΓB)TDn(A)ST∈CJ×6,n=1,2,…,M。

向量化Yn得到[17]

式中：“?”表示Kronecker積，將這M個(gè)向量堆疊起來(lái)為

式(10)也可以表示為

在噪聲存在情況下，由式(11)可得

計(jì)算出vec(ΓT)后，將其轉(zhuǎn)換為原來(lái)的矩陣形式即可得到矩陣Γ。

根據(jù)式(7)，BT的最小二乘更新為

根據(jù)式(8)有

式中：S為滿秩矩陣，通過(guò)下式即可獲得矩陣S*的值

根據(jù)式(8)中的子陣，也可以得到

取式(16)兩邊對(duì)角元素有

式中：diag-1(·)表示取矩陣的對(duì)角元素組成的列向量。根據(jù)式(17)，在噪聲環(huán)境中

通過(guò)diag-1(Dn(A)),n=1,2,…,M的值即可求得矩陣A。

上面的推導(dǎo)已經(jīng)給出了完整的PARALIND分解推導(dǎo)過(guò)程。定義其中，和分別表示Γ，B，A和S的估計(jì)值。PARALIND模型中的最小二乘冗余和(Sum of squared re-siduals,SSR)可以定義為其中eji表示矩陣E的第 (j,i)元素。根據(jù)式(12，13，15，18)，重復(fù)地迭代更新S,B,Γ和A的估計(jì)值，直到SSR小于某個(gè)設(shè)定的門(mén)限值即可認(rèn)為該迭代收斂，此時(shí)得到的和即為S,B,Γ和A的最終估計(jì)值。

2.2 PARAALLIINNDD分解的唯一性

根據(jù)文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)PARALIND分解的唯一性。對(duì)式(8)中的接收信號(hào)模型進(jìn)行初等行列變換，可以得到另外一個(gè)矩陣重排形式

式(19)中的任意兩個(gè)切片Zi和Zj(i≠j)可以表示為

式中：BE=Di((ΓB)T)ST，Λ=Dj((ΓB)T)((ΓB)T)是一個(gè)對(duì)角矩陣。將這兩個(gè)切片堆疊有

式中：矩陣BE是列滿秩的，令U為矩陣最大的K個(gè)左奇異向量構(gòu)成的矩陣，則根據(jù)式(22)有其中，span(U)為矩陣U的子空間，由U的特征向量構(gòu)成。由于U和張成的子空間是相等的，因此存在一個(gè)非奇異矩陣T使得

計(jì)算U1自相關(guān)矩陣以及U1，U2互相關(guān)矩陣，有

式中：G=THAHA。根據(jù)式(24，25)有

由式(26)可知，Λ和G分別由R2的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成。忽略特征值的順序時(shí)，Λ是唯一確定的，進(jìn)而G是可辨識(shí)的。最后通過(guò)式(22—24)可得T=G-1R1，A=U1T-1，BE=A+Zi，ST=((ΓB)T)BE。

利用上述PARALIND分解，最終可以得到矩陣A的估計(jì)為

式中：Π表示列置換矩陣；Δ為對(duì)角矩陣，由尺度模糊系數(shù)構(gòu)成；W為估計(jì)誤差。其中尺度模糊可以利用歸一化方法消除。

2.3 相干DDOOAA估計(jì)

通過(guò)2.2節(jié)中的PARALIND分解，得到了方向矩陣A的估計(jì)值，假設(shè)第k列為(θk)，先對(duì)其歸一化，使其首項(xiàng)為1，然后定義

利用最小二乘法則估計(jì)目標(biāo)角度[15]，假設(shè)ck為最小二乘解，則ck滿足

式中

由式(29)可以得到ck的估計(jì)為

式中arcsin(·)表示反正弦函數(shù)。

2.4 算法流程及優(yōu)點(diǎn)、復(fù)雜度分析

上述推導(dǎo)已經(jīng)給出了線性電磁矢量陣中基于PARALIND分解的相干DOA估計(jì)算法的完整過(guò)程。該算法主要有以下3個(gè)步驟：

(2)根據(jù)式(12，13，15，18)，重復(fù)迭代更新矩陣和的值，直到 SSR 小于設(shè)定的門(mén)限值；

(3)根據(jù)式(29—32)，利用最小二乘算法，由A的估計(jì)值，計(jì)算接收信號(hào)的DOA估計(jì)。

根據(jù)上述步驟分析該算法復(fù)雜度。M，J，K和K1分別為陣列中的陣元數(shù)、快拍數(shù)、信源數(shù)和非相干信源數(shù)。本文中的PARALIND算法每次迭代的復(fù)雜度為O(6MJ(2K2K12+2KK1+2K+K1)+6M(2K12+K2+KK1+2K)+K2(JM+J+M2+M+8)+K3K13+2K3+K13+KK1J(M+1))[18]。本文算法中PARALIND分解的迭代次數(shù)約為幾十次[17]，與FBSS-ESPRIT算法和FBSS-PM算法相比，本文中的算法復(fù)雜度高。

本文PARALIND算法的優(yōu)點(diǎn)有：

(1)本文算法能夠?qū)﹄姶攀噶筷囍械南喔尚盘?hào)DOA進(jìn)行估計(jì)，并且可以同時(shí)得到相應(yīng)的相干關(guān)系矩陣。

(2)本文算法角度估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的用于解相干的FBSS-ESPRIT算法及FBSS-PM算法。

(3)本文算法適用于均勻線陣和非均勻線陣，而FBSS-ESPRIT算法和FBSS-PM算法只能用于均勻線陣。

3 仿真結(jié)果

在仿真中，假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)空間有3個(gè)信源，第1個(gè)和第3個(gè)信源相干，而第2個(gè)與另外兩個(gè)不相干，相干關(guān)系矩陣為

假設(shè) 3個(gè)信源的到達(dá)角分別為θ1=5°，θ2=15°，θ3=25°。M，J，K分別表示陣元數(shù)、快拍數(shù)和信源數(shù)。在下面的仿真中，利用高斯隨機(jī)矩陣對(duì)PARALIND迭代分解中的參數(shù)矩陣進(jìn)行初始化，設(shè)定SSR=10-5，并利用1 000次蒙特卡洛仿真中的角度估計(jì)均方根誤差(Root mean squares error,RMSE)去評(píng)估算法的性能。其中，角度估計(jì)的RMSE定義為

式中：θk表示第k個(gè)目標(biāo)的準(zhǔn)確到達(dá)角；θ^k,l是第l次蒙特卡洛仿真中θk的估計(jì)值。

圖1，圖2為本文所提出的算法在信噪比(Signal noise ratio,SNR)為15 dB下，仿真100次的角度估計(jì)結(jié)果分布圖。兩次仿真中陣元數(shù)M=15、快拍數(shù)J=200。其中仿真1采用均勻線陣，相鄰陣元間距為λ/2，仿真2采用非均勻線陣，各陣元與參考陣元間的間 距為d=[0,0.25,0.7,1.15,1.65,2,2.4,2.85,3.35,3.75,4,4.4,4.75,4.9,5.1]λ。從圖 1、圖2可以看出本文算法對(duì)均勻線陣和非均勻線陣都能得到較準(zhǔn)確的角度估計(jì)結(jié)果。

圖3為本文算法與FBSS-ESPRIT算法以及FBSS-PM算法的對(duì)比仿真結(jié)果，仿真中接收陣列采用均勻線陣，相鄰陣元間距為λ/2，M=10，J=100。從圖3可以看出，對(duì)于相干信號(hào)的角度估計(jì)，PARALIND算法性能優(yōu)于兩個(gè)傳統(tǒng)的前后向平滑算法。

圖1 均勻線陣下PARALIND算法角度估計(jì)結(jié)果Fig.1 Angle estimation of PARALIND algorithm foruniform linear array

圖2 非均勻線陣下PARALIND算法角度估計(jì)結(jié)果Fig.2 Angle estimation of PARALIND algorithm for non-uniform linear array

圖3 3種相干信號(hào)算法角度估計(jì)性能對(duì)比Fig.3 Angle estimation performance comparison of three algorithms for coherent signals

圖4為本文算法在接收信號(hào)全部為非相干信號(hào)時(shí)，與ESPRIT算法、PM算法以及PARAFAC算法的對(duì)比仿真結(jié)果，仿真中接收陣列為間距λ/2的均勻線陣，M=12，J=100。從圖4中可以看出，對(duì)于非相干信號(hào)，本文中的PARALIND算法估計(jì)性能優(yōu)于其他3種算法。

圖5給出了本文算法角度估計(jì)性能在不同陣元數(shù)下的仿真結(jié)果，仿真中快拍數(shù)J=100，接收陣列為陣元間距λ/2的均勻線陣。從圖5可以看出，該算法性能隨著陣元數(shù)M的增大而提高，其原因是陣元的增多提高了空間分集增益。

圖6為本文算法在不同快拍數(shù)下的仿真結(jié)果，仿真6中陣元數(shù)M=8，陣元間距d=[0,0.25,0.7,1.15,1.65,2,2.4,2.85]λ。從圖6中可知，該算法角度估計(jì)誤差隨著快拍數(shù)的增大而減小，其原因?yàn)榭炫臄?shù)增大提高了時(shí)間分集增益。

假設(shè)有兩個(gè)角度相近的相干信號(hào)源入射到該陣列，信號(hào)到達(dá)角分別為θ1=5°，θ2=7°，M，J及SNR設(shè)置同圖1，本文所提算法仿真100次的角度估計(jì)結(jié)果分布圖如圖7所示。從圖7中可以看出，兩組角度估計(jì)結(jié)果區(qū)分度較高，說(shuō)明該算法對(duì)角度相隔較近的相干信號(hào)也能進(jìn)行有效的辨識(shí)與估計(jì)。

假設(shè)有多個(gè)相干信號(hào)入射到間距為λ/2的均勻電磁矢量陣列，信源數(shù)K=6，信號(hào)到達(dá)角為θ=[5°,10°,15°,20°,25°,30°]，其中信號(hào) 1，5，6為第 1組相干信號(hào)，信號(hào) 2，4為第 2 組相干信號(hào)。設(shè)置陣元數(shù)M=8，快拍數(shù)J=400，SNR=20。圖8為本文所提算法仿真100次的角度估計(jì)結(jié)果分布圖，從圖8可以看出，對(duì)于多個(gè)相干信源，本文算法也能進(jìn)行有效區(qū)分，并得到較準(zhǔn)確的角度估計(jì)。同時(shí)，由于相干信源增多，信號(hào)間的相互干擾增強(qiáng)，該算法對(duì)信號(hào)的角度估計(jì)性能略有下降。

圖4 4種非相干信號(hào)算法角度估計(jì)性能對(duì)比Fig.4 Angle estimation performance comparison of four algorithms for incoherent signals

圖5 不同陣元數(shù)下的算法估計(jì)性能Fig.5 Angle estimation performance under different number of sensors

圖6 不同快拍數(shù)下的算法估計(jì)性能Fig.6 Angle estimation performance under different snapshots

圖7 角度相近的相干信源估計(jì)結(jié)果Fig.7 Angle estimation for closely spaced coherent sources

圖8 多組相干信源角度估計(jì)結(jié)果Fig.8 Angle estimation for multiple coherent sources

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將PARALIND模型與電磁矢量傳感器陣列相結(jié)合，解決了線性電磁矢量陣中相干信號(hào)DOA估計(jì)問(wèn)題。仿真表明，該算法對(duì)于均勻線陣或非均勻線陣都適用，同時(shí)能得到信號(hào)的相干關(guān)系矩陣。從仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于相干信號(hào)該算法角度估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的FBSS-ESPRIT算法以及FBSSPM算法，而對(duì)于非相干信號(hào)，該算法角度性能也好于常用的ESPRIT算法、PM算法以及PARAFAC算法。同時(shí)，該算法能有效區(qū)分角度相隔較近的相干信源，并得到較準(zhǔn)確的DOA估計(jì)結(jié)果。