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      高中數(shù)學恒成立問題方法解析

      2019-09-06 14:23:54江蘇省如皋市搬經(jīng)高級中學洪小銀
      中學數(shù)學雜志 2019年17期
      關(guān)鍵詞:表達式變量解題

      ☉江蘇省如皋市搬經(jīng)高級中學 洪小銀

      在高中數(shù)學內(nèi)容體系中,恒成立是一類綜合性較強的問題,涉及的知識內(nèi)容、數(shù)學思想與解決方法較多,因此對于學生而言具有較大的難度,也是考試的重點和難點之一.在實際教學過程中,部分學生的解題思路與方法主觀性較強,缺乏系統(tǒng)的、科學的思維方式與解題策略.在此背景下,本文系統(tǒng)的探討了常見的恒成立問題,并研究了相應(yīng)的解題思路與方法,以提高學生的學習效益.

      一、恒成立問題概述

      高中階段的恒成立問題的一般形式是以求解不等式、等式成立的值為前提,有時候會和幾何問題相結(jié)合,也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.在解決這一類問題時,最常見的解題思路就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,通過函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì),并結(jié)合已知信息來求解函數(shù)的恒成立問題.從本質(zhì)上來說,恒成立問題就是求解等式(不等式)成立的前提條件.由于涉及函數(shù)的性質(zhì),因此在解題過程中要充分利用函數(shù)的圖像,借助函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)直觀地反映函數(shù)的最值及值域的分布情況.

      二、解題方法解析

      1.參變分離法

      參變分離是指將參數(shù)與變量分開考慮,后續(xù)可以借助函數(shù)圖像、性質(zhì)等來求解出參數(shù)的范圍,進而簡化表達式,降低求解難度.在實際教學與考試過程中,運用好這種方法可以幫助學生有效地規(guī)避繁雜的代數(shù)運算,既節(jié)省了寶貴的答題時間,又能大幅度提升答題的準確率.

      【案例1】已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),若x∈(2,+∞)時,函數(shù)f(x)>0恒成立,試求解實數(shù)a的取值范圍.

      解析:由已知條件可知,若函數(shù)f(x)>0,即(x+1)lnx>a(x-1).

      因為a<m(x)恒成立,所以a小于m(x)在x∈(2,+∞)上的最小值.

      因為x∈(2,+∞),所以x(x-1)2恒大于0.

      令n(x)=x2-2xlnx-1,則n′(x)=2(x-lnx-1).

      所以h(x)=2(x-lnx-1)在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞增.

      所以h(x)=2(x-lnx-1)>h(2)=2(1-ln2)>0,即h(x)恒大于0.

      所以n(x)=x2-2xlnx-1在x∈(2,+∞)上單調(diào)遞增.

      所以n(x)=x2-2xlnx-1>n(2)=3-4ln2>0,即n(x)恒大于0.

      所以m(x)min>m(2)=3ln2.

      所以當a≤3ln2時,f(x)>0恒成立.

      總結(jié):這道題同時含有參數(shù)和變量,若一并考慮的話則具有難度,因此采用參變分離的解題思路可以有效地梳理已知信息,將求參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題,進而求解出最終的結(jié)果.

      2.數(shù)形結(jié)合法

      在解決恒成立問題時,有一部分問題若單純從代數(shù)角度考慮則較難入手,計算量比較大或者是很難求解出結(jié)果.這時就需要仔細觀察代數(shù)式的形式,將其與幾何概念相結(jié)合,通過直觀的幾何圖形來輔助求解,從而得出代數(shù)和圖形之間的關(guān)系,進而求解出參數(shù)的取值范圍.

      【案例2】已知函數(shù)f(x)=,g(x)=ax+2a.若存在數(shù)量關(guān)系f(x)≤g(x)恒成立,試求解實數(shù)a的取值范圍.

      解析:根據(jù)f(x)≤g(x)恒成立,可知≤ax+2a恒成立.

      若a<0,則y2表示的是與y軸的負半軸相交且斜率為負的直線,不滿足恒成立,因此排除;

      若a>0,則y2表示的是與y軸的正半軸相交且斜率為正的直線,易知臨界值為直線與半圓相切,借助點到直線的距離公式可得,解得或.因為a>0,所以

      總結(jié):數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以將純代數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問題,將抽象的問題具體化.當然,數(shù)形結(jié)合的方法并不是通用的,使用的前提是通過移項、變形等可以將原代數(shù)式轉(zhuǎn)化成常見的幾何概念式,常見的幾何圖形有直線、圓、半圓等.

      3.構(gòu)造函數(shù)法

      在一類最值問題的求解過程中,可以借助完全平方公式,將最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,通過構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)的圖像以及性質(zhì)來求解特定的值,而不是機械地進行代數(shù)運算.同時,如果已知表達式中包含不止一個變量,就需要結(jié)合題目要求與已知信息,將變量與參數(shù)區(qū)分開來,在此基礎(chǔ)上確定最終的表達式,并對題目進行簡化.一般情況下,需要借助具備明確范圍的變量來求解未知范圍的變量的值.

      【案例3】若不等式2x-1>m(x2-1)對任意m∈[-2,2]恒成立,試求解x的取值范圍.

      解析:對已知表達式2x-1>m(x2-1)進行變形,可得m(x2-1)-(2x-1)<0.由于在已知信息中,給出的是“任意m∈[-2,2]”這一條件,而需要求解的是x的取值范圍,因此在解決這道問題時,我們需要轉(zhuǎn)換思維,改變“x為變量”的既有思維,將這一表達式看成是關(guān)于m的一次函數(shù),即f(m)=(x2-1)m-(2x-1),其幾何形式為線段.若想該線段在[-2,2]的區(qū)間內(nèi)函數(shù)值恒小于0,只需要保證兩端點的函數(shù)值恒小于0即可,因此可以得到以下兩個不等式:

      化簡可得:

      總結(jié):在解決這一類恒成立問題時,多數(shù)學生往往會糾結(jié)于參數(shù)、變量的區(qū)分與選擇,甚至有部分同學認為字母“x”就一定代表著變量,而除此之外的字母,如“a”、“m”、“n”等就一定是參數(shù),進而將求解的重點混淆,使得題目復雜化甚至出現(xiàn)錯誤.因此,在解題之前就需要認真審題,明確題目要求,梳理題目中的已知信息與已知量,轉(zhuǎn)換思維,簡化或轉(zhuǎn)化已知信息中的表達式,最終就能快速且準確地求解出答案.

      三、結(jié)語

      恒成立問題綜合性較強,僅通過單一的思路與方法很難有效地解決.因此在教學過程中,需要注重對學生的思維進行訓練,教師不僅要引導學生掌握正確的解題方法,更要糾正學生的思維方式,尋找恒成立問題與特定數(shù)學思想方法之間的聯(lián)系,真正做到舉一反三.

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