☉江蘇省常州市金壇區(qū)第一中學(xué) 宮雞明
在解答高考數(shù)學(xué)選擇題或填空題這類(lèi)客觀題的過(guò)程中,當(dāng)一些題目答案具有相對(duì)的確定性時(shí),經(jīng)常可以借助一些特殊元素用特殊法處理,這些特殊元素根據(jù)題目背景,可以有針對(duì)性地選取一些特殊值(數(shù)值、角度、長(zhǎng)度等)、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊平面向量、特殊復(fù)數(shù)、特殊圖像(點(diǎn)、圖形等)等相關(guān)元素來(lái)進(jìn)行特殊化處理.此類(lèi)數(shù)學(xué)客觀題結(jié)合特殊法來(lái)處理,經(jīng)常能簡(jiǎn)單有效地解決問(wèn)題,達(dá)到非常好的效果,快捷方便,有效節(jié)約寶貴的時(shí)間.下面結(jié)合近兩年高考數(shù)學(xué)中特殊法的巧妙應(yīng)用,結(jié)合相應(yīng)的高考真題加以剖析.
在解決一些以函數(shù)、不等式、算法等為背景的客觀題時(shí),經(jīng)??梢越Y(jié)合題目的相應(yīng)條件,通過(guò)特殊值(包括數(shù)值、角度、長(zhǎng)度等)的選取,從而達(dá)到正確判定的目的.特別在判斷一些函數(shù)圖像、不等式解集等問(wèn)題時(shí),利用特殊值法破解選擇題,往往可以簡(jiǎn)化過(guò)程、提升速度.
例1(2018·全國(guó)卷Ⅰ文、理·5)函數(shù)f(x)=在[-π,π]的圖像大致為( ).
分析:先結(jié)合題目條件中函數(shù)解析式,結(jié)合奇函數(shù)的定義確定其是奇函數(shù),進(jìn)而結(jié)合相應(yīng)三角函數(shù)特殊值的選取,結(jié)合相關(guān)的函數(shù)圖像加以排除,從而得以間接判定,可以簡(jiǎn)單快捷判斷出正確的函數(shù)圖像.
解析:由于,可知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),由此可以排除選項(xiàng)A;
結(jié)合選項(xiàng)B、C、D中的函數(shù)圖像,只有選項(xiàng)D中的函數(shù)圖像滿(mǎn)足以上兩個(gè)特殊值的特征,故選擇答案:D.
點(diǎn)評(píng):利用特殊值的選取來(lái)破解相應(yīng)的客觀題時(shí),經(jīng)??梢曰乇芟嚓P(guān)知識(shí)的直接利用,從側(cè)面加以合理排除,簡(jiǎn)化知識(shí)層次,從而得以正確快捷地處理.當(dāng)然選取合理、恰當(dāng)?shù)奶厥庵?,?huì)使得判斷更為快捷,從而減少特殊值的選取次數(shù)與判斷次數(shù).
在破解一些抽象函數(shù)的客觀題時(shí),經(jīng)??梢郧擅钸x取滿(mǎn)足題目條件的特殊函數(shù)(一般選擇比較常見(jiàn)的基本初等函數(shù),此時(shí)基本性質(zhì)與函數(shù)圖像也較為熟悉)來(lái)處理,變抽象函數(shù)為具體函數(shù),進(jìn)而利用特殊函數(shù)來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律,又回歸一般,從而得以尋求破解方法.
例2(2019·全國(guó)卷Ⅲ理·11;文·12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則( ).
分析:根據(jù)題目條件選擇特殊函數(shù)法,利用特殊函數(shù)來(lái)分別計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值再加以比較,避免去分析與討論相應(yīng)的函數(shù)基本性質(zhì),顯得更加易于操作.
解析:由于f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,
取特殊函數(shù)f(x)=-|x|滿(mǎn)足條件,
點(diǎn)評(píng):解決此類(lèi)客觀題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件選取適當(dāng)?shù)幕境醯群瘮?shù)或常見(jiàn)的一些函數(shù),此類(lèi)函數(shù)為我們所熟知,包括其基本性質(zhì)與函數(shù)圖像,方便我們利用其性質(zhì)或圖像來(lái)回歸一般,從而用來(lái)解決具有抽象特征的一般性問(wèn)題.這樣處理時(shí),往往可以化煩瑣為簡(jiǎn)單,進(jìn)而可以快速準(zhǔn)確地解答相關(guān)的函數(shù)客觀題,從而得以正確判斷.
在破解一些數(shù)列客觀題時(shí),經(jīng)??梢越柚厥鈹?shù)列(比如常數(shù)數(shù)列、較為簡(jiǎn)單的具體數(shù)列等)的引入,化抽象為具體,直接利用特殊數(shù)列的通項(xiàng)、求和及相關(guān)性質(zhì)來(lái)處理一般性的數(shù)列問(wèn)題.通過(guò)特殊數(shù)列法處理客觀題,可以回避一些抽象數(shù)列的性質(zhì)等問(wèn)題,有效簡(jiǎn)化程序,淡化過(guò)程.
例3(2019·全國(guó)卷Ⅲ理·14)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1≠0,a2=3a1,則=______.
分析:結(jié)合題目條件,對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列是抽象的,而所求解的前n項(xiàng)和的比值又是具體的,從而可以通過(guò)選取特殊數(shù)列——a1=1,這樣處理起來(lái)更為熟悉,過(guò)程更為簡(jiǎn)單快捷.
解析:由于等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1≠0,a2=3a1,
取特殊數(shù)列——a1=1,則知a2=3a1=3×1=3,可得公差d=a2-a1=2,
則知S10=10a1+45d=100,S5=5a1+10d=25,可得,故填答案:4.
點(diǎn)評(píng):其實(shí),本題利用條件確定公差與首項(xiàng)之間的關(guān)系,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式加以分析也可以很好破解.通過(guò)特殊數(shù)列的選取,化陌生為熟悉,使得一般性、抽象性的數(shù)列問(wèn)題特殊化,使問(wèn)題簡(jiǎn)單統(tǒng)一,簡(jiǎn)化過(guò)程與運(yùn)算.
在解決一些涉及函數(shù)性質(zhì)、解三角形、平面向量以及立體幾何等客觀題時(shí),經(jīng)??梢越柚厥獾暮瘮?shù)圖像、特殊的平面幾何圖形、特殊的立體幾何圖形等的構(gòu)造與應(yīng)用來(lái)數(shù)形結(jié)合,進(jìn)而可以非常直觀地來(lái)解決相應(yīng)的客觀題.
例4(2019·江蘇卷·12)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若,則的值是______.
圖1
分析:常規(guī)方法是結(jié)合平面向量的基底法或坐標(biāo)法來(lái)處理,難度比較大,不易操作.通過(guò)特殊圖形的構(gòu)造——直角三角形,巧妙借助直角三角形的性質(zhì)以及三角形相似來(lái)處理,可以比較簡(jiǎn)單地利用平面幾何知識(shí)來(lái)解決.
解析:不失一般性,取△ABC為以角A為直角的直角三角形,則有
點(diǎn)評(píng):在一些具有定值結(jié)論的平面向量問(wèn)題中,特殊圖形法是解決問(wèn)題比較常見(jiàn)的一種技巧方法.其往往在題目中一般性平面幾何圖形的基礎(chǔ)上加以特殊化(如一般的三角形進(jìn)行特殊化為直角三角形、等腰三角形等,一般的四邊形進(jìn)行特殊化為平行四邊形、矩形等),這樣處理可以使得問(wèn)題更加特殊,簡(jiǎn)單,可以使解題更直觀,更簡(jiǎn)捷,便于判斷與操作.
特殊法是解答高考客觀題的最佳方法之一,是破解一些具有確定結(jié)論的客觀題問(wèn)題的一大選擇.這樣進(jìn)行特殊法處理,往往可以達(dá)到“小題小做”或“小題巧做”的目的,節(jié)約時(shí)間,提高效率.在利用特殊法破解高考客觀題時(shí),有條件允許的話(huà),可適當(dāng)加以其他方法的檢驗(yàn),達(dá)到正確判斷的目的.