向列型液晶流在Lorentz空間中的解的漸近穩(wěn)定性

林俊宇，鄒晨，徐曉杰

（華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640）

液晶是區(qū)別于氣體、液體和固體之外的第四種特殊物質(zhì)，其中向列型液晶是最常見(jiàn)的類(lèi)型.本文將研究下面不可壓向列型液晶流的柯西問(wèn)題：

和初值條件

文獻(xiàn)[1]在Koch-Tataru[2]框架下，得到了小初始值問(wèn)題的溫和解的存在性.文獻(xiàn)[3]研究了文獻(xiàn)[1]的溫和解的正則性(也可見(jiàn)文獻(xiàn)[4]).林和丁在Lebesgue空間的框架下，得到了小初值問(wèn)題的解的存在性[5].在Lorentz空間的框架下，文獻(xiàn)[6]得到小初值的整體溫和解的存在性.文獻(xiàn)[7]研究了溫和解的唯一性.對(duì)于Besov空間中的溫和解，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8-10].對(duì)于弱解以及強(qiáng)解的研究，參見(jiàn)文獻(xiàn)[11-15].對(duì)于不可壓液晶流的其他研究成果，參見(jiàn)文獻(xiàn)[16].

本文將研究在弱-Ln空間（記為L(zhǎng)(n，∞)(?n)）中溫和解的漸進(jìn)穩(wěn)定性.首先回顧Lorentz空間的有關(guān)記號(hào)和性質(zhì).

設(shè)f為可測(cè)函數(shù)，p，q為正實(shí)數(shù).定義

引理1[18-19]（廣義Young不等式）記T為卷積算子以及h=T(f，g)為f與g的卷積.

引理2[18]（廣義H?lder不等式）設(shè)滿足如果和g∈那么其中s≥1是滿足的任意常數(shù).并且有估計(jì)其中

下面給出一些函數(shù)空間記號(hào).

給定常數(shù)q＞n，記是滿足下面條件的所有實(shí)值函數(shù)的集合：

記?為L(zhǎng)2(?n)上到的正交投影算子.Stokes算子-?Δ和Laplace算子-Δ在Lorentz空間中分別生成一致有界解析半群

方程組（1～4）可重寫(xiě)為下面的積分形式

其中（記*為函數(shù)的卷積運(yùn)算）

引理3[6]99設(shè)f，g∈X，那么，對(duì)q＞n有

并且有估計(jì)

引理4[6]99設(shè)q＞n.假設(shè)那么

特別地，當(dāng)h≡1，有

引理5[21]對(duì)于t＞0，設(shè)是兩個(gè)正函數(shù).如果存在正函數(shù)1(0，1)f∈L滿足并且

那么存在另外一個(gè)正函數(shù)1(0，1)g∈L使得

下面是由文獻(xiàn)[6]得到的存在性結(jié)果.

定理1[6]101設(shè)滿足??u0=0和d0∈S2，?d0∈L(n，∞)(?n).那么存在常數(shù)ε0＞0使得當(dāng)時(shí)，方程組（1～4）有整體溫和解(u，d)滿足

且對(duì)q＞n，

本文的主要結(jié)果是

定理2給定q＞n.設(shè)u0，v0∈L(n，∞)(?n)滿足??u0=??v0=0以及d0，h0∈S2滿足?d0，?h0∈L(n，∞)(?n).設(shè)由定理1得到的（1～4）對(duì)應(yīng)初始值的解分別為(u，d)和(v，h).假設(shè)

那么

若進(jìn)一步假設(shè)

那么

證明我們只需證明在式（9）和（11）的條件下式（12）是成立的，因?yàn)槭剑?0）可以用類(lèi)似的方法證明.先估計(jì)

事實(shí)上，對(duì)于t＞0，

由引理3可得

以及

類(lèi)似地，可得

因此

其中C(n，q)是正常數(shù)，僅依賴(lài)于

事實(shí)上，對(duì)t＞0，

類(lèi)似引理4的證明，可得對(duì)t＞0，

結(jié)合式（13～14），可得

記A(t)=A1(t)+A2(t)，其中

以及

利用變量替換τ=st，其中s∈[0，1]，由式（15）可得

定理2證畢.