信號頻域變換的教學(xué)方法思考

米吉提·阿不里米提，吾米提·尤努斯，艾斯卡爾·艾木都拉

（新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，烏魯木齊830046）

0 引言

信號處理是信息處理與通信系統(tǒng)專業(yè)學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容。其中重點(diǎn)及難點(diǎn)是信號的變換域。該內(nèi)容較多、概念抽象、理論性強(qiáng)、物理概念抽象、用到的數(shù)學(xué)工具多。信號的變換相關(guān)的基礎(chǔ)課程包括了幾乎所有的核心課程，如信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理、語音信號處理、數(shù)字圖像處理、通信原理等。信號的變換域需要講解的最主要的內(nèi)容肯定是傅立葉變換，所有專業(yè)課程肯定會講解或應(yīng)用傅立葉變換。

但是，根據(jù)個人對本科大三年紀(jì)學(xué)生（尤其是少數(shù)民族學(xué)生）的提問調(diào)查當(dāng)中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生對概念的理解有很大缺陷。提問很簡單：“傅立葉變換到底做什么？”。除了少部分學(xué)生回答：“傅立葉變換將時域信號轉(zhuǎn)換成頻域信號”之外，大部分學(xué)生答不出，或給出的答案是：“傅立葉變換將模擬信號變換成數(shù)字（或離散）信號”。奇怪的是，所有學(xué)生都能正確寫出傅立葉變換的普遍公式。調(diào)查結(jié)果是出乎意料的。信息與通信專業(yè)的學(xué)生給出這樣的答案，可以說他們對本專業(yè)是陌生的。從多個班級的學(xué)生調(diào)查當(dāng)中發(fā)現(xiàn)，這個情況是普遍的存在的。說明學(xué)生對基本概念的理解是模糊的，多種概念嚴(yán)重混淆。

這個問題雖然簡單，但使人聯(lián)想的內(nèi)容繁多，如時域信號、頻域信號、連續(xù)信號、離散信號、模擬信號、數(shù)字信號、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等一系列專業(yè)術(shù)語，以及傅立葉變換、拉氏變換、Z 變換、卷積、乘積、相關(guān)函數(shù)等相關(guān)的概念。要在大綱規(guī)定的時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，將這些概念及其內(nèi)在聯(lián)系教會學(xué)生，對于教師來說也是一件非常艱巨的工作。雖然在普遍公式及模擬信號的變換等方面已經(jīng)有了很多形象化的教學(xué)資料[1-3]，由于在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中我們用的信息一般是：有限、實(shí)數(shù)、離散信號。這些具體數(shù)據(jù)和抽象公式之間需要建立一個概念橋梁。

我們習(xí)慣的教學(xué)方法基本上是先給出抽象概念，然后進(jìn)一步講解含義和應(yīng)用[1]。例如，牛頓定律、傅立葉變換等都是先給出定義，然后講解含義。其默認(rèn)的前提條件是學(xué)生已經(jīng)很好地掌握了基礎(chǔ)知識，但現(xiàn)實(shí)并非如此。課程及格分?jǐn)?shù)限是60 分，成績90 分以上的學(xué)生比例很少。基礎(chǔ)不扎實(shí)會有累積效應(yīng)。因此，通過簡單的實(shí)用例子，可將這些內(nèi)容聯(lián)系到學(xué)生所學(xué)過的基礎(chǔ)知識。一方面回顧并強(qiáng)化基礎(chǔ)，另一方面能理論聯(lián)系實(shí)際，提高學(xué)習(xí)熱情。

隨著計算機(jī)的普及，MATLAB 等數(shù)字信號處理工具軟件的大量出現(xiàn)，一個函數(shù)調(diào)用就能實(shí)現(xiàn)信號的各種變換。這也會導(dǎo)致很多學(xué)生不關(guān)心細(xì)節(jié)，忽略基本概念的充分領(lǐng)會。本文以傅立葉變換為例，聯(lián)系到正交變換的概念，通過實(shí)例講解變換的具體過程。希望本文能夠起到一個概念上的銜接作用。一，變換域的概念聯(lián)系到學(xué)過的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，二，將具體概念擴(kuò)展到抽象領(lǐng)域中。

1 從抽象到具體

1.1 傅立葉變換的各種公式

先看看傅立葉正反變換的一般公式（1）。公式的普遍性體現(xiàn)在適用范圍上，即復(fù)數(shù)、無限、連續(xù)信號都包括了。而且正反一對一變化?？梢娫摴降氖褂梅秶畯V、包含的概念之豐富。

若將信號限制在有限范圍內(nèi)，或假設(shè)是個周期信號，則上式變成公式（2）。時域上有限的連續(xù)信號等于無限離散頻域信號的累加。其反變換是在一個周期內(nèi)對連續(xù)信號進(jìn)行積分。式中。

實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中或計算機(jī)處理時，時間信號是離散并有限的，相應(yīng)的傅立葉變換是公式（3）。離散有限時間信號對應(yīng)離散有限頻率信號，且等號并非近似值。為了簡單易懂，我們簡化了細(xì)節(jié)。

我們進(jìn)一步規(guī)定信號從0 開始（時間從0 開始）的離散序列，則上式進(jìn)一步簡化成公式（4）。在MATLAB上的傅立葉變換函數(shù)fft（）就是公式（4）的程序?qū)崿F(xiàn)。其中是歸一化系數(shù)，也可以給正反變換加同樣的系數(shù)。

為了進(jìn)一步簡化成實(shí)數(shù)離散序列且有限信號的傅立葉變換，我們可以在公式（4）的基礎(chǔ)上，加上一個共軛函數(shù)f-n（或偶函數(shù)鏡像），變成了離散實(shí)數(shù)的傅立葉變換公式（5）[4]。圖1 所示，將正軸鏡像到負(fù)軸?？梢钥吹? 點(diǎn)會疊加。反向推導(dǎo)過程是公式（10）。

圖1 正軸鏡像到負(fù)軸后示意圖

現(xiàn)在傅立葉變換變成了實(shí)數(shù)有限信號的傅立葉變換，即離散余弦變換（Discrete Cosine Transform（DCT）），公式（6）是DCT-II。在MATLAB 上的DCT 函數(shù)dct（）就是公式（6）的程序?qū)崿F(xiàn)。通過調(diào)整相位及歸一化參數(shù)等可以獲得各種形式，目前有DCT 變換的8 個變種。

可以去掉時間及頻率的概念，從一組序列（一維向量）變換成相等長度的另一組序列。正反變換一一對應(yīng)，而且正反變換公式完全一樣。這里給出的一維向量變換公式可以擴(kuò)展成多維向量的變換公式。

其中，f( x )是實(shí)數(shù)連續(xù)有限函數(shù)，系數(shù)an的序列代表了偶函數(shù)，系數(shù)bn的序列代表了奇函數(shù)。

我們從抽象普遍公式一路簡化成實(shí)數(shù)連續(xù)及離散信號的變換公式，和學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)課程知識聯(lián)系起來?？梢钥吹焦剑?-5）的一致性，這個過程是我們熟悉的教學(xué)方式，也有很多相關(guān)教學(xué)資料。但實(shí)際科學(xué)理論的發(fā)展是倒過來的，即從具體到通用抽象的理論。公式的通用性及適用范圍越廣，其概念越抽象。

1.2 傅立葉變換具體實(shí)例

我們舉一個例子，隨機(jī)取一維序列X=[ x0,x1,x2,x3]=[0.1，0.5，2，5]進(jìn)行DCT 變換和傅立葉變換來解釋具體計算過程。變換結(jié)果記：Y=[y0,y1,y2,y3]，長度N=4。用公式（6）計算過程如下。

我們可以寫成矩陣形式，即X 的DCT 變換是X 和變換矩陣F 的點(diǎn)乘。

不同的DCT 變換形式產(chǎn)生不同的轉(zhuǎn)換矩陣和轉(zhuǎn)換結(jié)果。我們再看看反變換：

其反變換矩陣是：

反變換等于正變換的轉(zhuǎn)值矩陣，而且正反變換矩陣都是正交矩陣。因?yàn)楦盗⑷~變換屬于正交變換，為了更好理解數(shù)學(xué)概念，必須對正交變換做一個簡單講解。

2 正交變換

簡單的說，如果變換矩陣T 的行或列是正交的，那么變換Y=T*X 是正交變換。正交矩陣的任何兩行或兩列的矢量相乘等于零。若T*T*=I ，則T-1=T*，成了標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣。1.1 小節(jié)中討論的變換矩陣F 就滿足正交性條件，所以傅立葉變化是正交變換。用計算機(jī)計算大量數(shù)據(jù)的傅立葉變換時，根據(jù)數(shù)據(jù)塊維度的大小N 計算出轉(zhuǎn)換矩陣就能反復(fù)使用該矩陣相乘目標(biāo)數(shù)據(jù)X 就可以完成大量數(shù)據(jù)的傅立葉變換了。

下面是一個更簡單的（-1 和1 構(gòu)成）正交轉(zhuǎn)換矩陣。這就是Walsh-Hadamard 變換，加個標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)就成了標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣。

我們看看另一個正交變換公式（8），直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。除此之外小波變換等很多變換方法都屬于正交變換。

可以看到傅立葉變換是正交變換家族里面的一種變換。傅立葉變換有很多優(yōu)異的性能，能量集中在某部分，每個分量代表一個頻率分量，而且，離散、連續(xù)、無限、有限、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等領(lǐng)域都適用。電子設(shè)備甚至人和動物的耳朵結(jié)構(gòu)都是類似的頻率濾波器，對不同的頻率分量有不同的過濾系數(shù)。

3 從具體到抽象

我們通過具體實(shí)例探討了傅立葉變換過程及其正交特性。從正交變換可以組成一些列傅立葉變換函數(shù)。方法很簡單，將單位圓周分成完全相同并對稱的N 個點(diǎn)，從圓中心到這些點(diǎn)矢量夾角構(gòu)成正弦和余弦正交基。

這些角度乘上周期的整數(shù)倍的w 就可以繼續(xù)獲得一系列正交基，即傅立葉變換矩陣。在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中通過調(diào)整初相位及歸一化參數(shù)就可以獲得各種傅立葉變換變種。由于正線函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，兩個一起構(gòu)成任何實(shí)函數(shù)。若用復(fù)平面來表示這樣的關(guān)系，會更方便，且更具普遍性。直觀的可以看出其概念可以推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。當(dāng)N →∞時w=導(dǎo)致k 趨于細(xì)分直到連續(xù)信號。我們可以看到n ?k兩者之間的關(guān)系恰好就是時間和頻率的關(guān)系。圖2 中底部是復(fù)平面，沿著x 軸是螺旋線，對于離散變換螺旋線也是離散的。對x 軸的采樣率越高螺旋線會收緊，直到變成連續(xù)的圓柱表面。

圖2 單位圓及復(fù)數(shù)傅立葉變換變化過程

從離散信號到離散信號的傅立葉變換，我們回到時間域和頻率域的轉(zhuǎn)換。有限的時間信號，漸漸提高采樣率N →∞，直到構(gòu)成一個連續(xù)的時間信號，最終有限連續(xù)時間函數(shù)對應(yīng)一個無限離散序列的和，公式（7），反之亦然。

除了離散數(shù)據(jù)的傅立葉變換是正交變換外，連續(xù)信號也可以進(jìn)行正交變換，對應(yīng)的正交基是一系列連續(xù)正交函數(shù)。如，在一個周期內(nèi)能夠構(gòu)成一組正交基，因?yàn)椋?/p>

有了正交特性，我們才有機(jī)會計算出傅立葉級數(shù)（7）的各個系數(shù)an，bn。對等式（7）兩邊同時乘cos nx和sin nx 然后在一個周期內(nèi)取積分就能獲得每個系數(shù)。

我們將Euler 公式帶入傅立葉級數(shù)（7）就可以得到復(fù)數(shù)傅立葉變換，即公式（2）。

因此復(fù)數(shù)傅立葉級數(shù)是實(shí)數(shù)傅立葉變的兩倍長，而且正負(fù)n 的系數(shù)是共軛的。計算一半（0，∞）就可以了?？梢钥吹焦剑?0）是公式（5）的反向推導(dǎo)過程。

最終將復(fù)數(shù)傅立葉級數(shù)推廣到連續(xù)領(lǐng)域就可以獲得傅立葉變換一般公式（1）。因?yàn)椋糴inx＞在離散和連續(xù)領(lǐng)域同樣滿足正交性，公式（11）。

因此，有了正交性就可以將傅立葉變換推廣到更大范圍，并構(gòu)成一個適用范圍包括復(fù)數(shù)和無限領(lǐng)域的抽象概念。

4 結(jié)語

科學(xué)的發(fā)展過程是從具體的個例，發(fā)展成抽象的普遍規(guī)律[5]。但是抽象的概念對理解和講解帶來困難。雖然有很多解說傅立葉變換概念的文章，但是大部分是對抽象概念的講解。用具體的案例來講解不同適用范圍，并將其聯(lián)系到抽象理論的文章缺乏。因此，本文用具體的實(shí)例講解了信號與通信專業(yè)的核心內(nèi)容傅立葉變換的概念。對多種傅立葉變換及他們之間關(guān)聯(lián)性進(jìn)行了簡單易懂的探討。將抽象的概念和簡單的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)聯(lián)系起來講解，為學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用提供了一個很好的參考文章。為了簡便及易于理解，忽略一些細(xì)節(jié)部分。有不足之處，希望大家給予批評指正。