借“微元”思想巧解電磁感應(yīng)中非恒力作用問(wèn)題

【內(nèi)容摘要】高考物理全國(guó)卷經(jīng)歷了兩年的調(diào)整已相對(duì)穩(wěn)定。對(duì)考生的基本能力要求也在穩(wěn)定的考核鞏固。數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)研究物理的核心工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力是物理教學(xué)中對(duì)學(xué)生培養(yǎng)的重要能力之一。高中物理需必備的數(shù)學(xué)知識(shí)包括解方程、三角函數(shù)、極值求解、微積分初步等，物理習(xí)題的解決過(guò)程很好體現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】電磁感應(yīng) 非恒力做功 “微元”思想

高中物理知識(shí)體系，是一個(gè)從現(xiàn)象到本質(zhì)，從特殊到一般的漸進(jìn)過(guò)程，是符合學(xué)生認(rèn)知的客觀過(guò)程。恒力作用的勻變速直線運(yùn)動(dòng)是初高中物理銜接的基礎(chǔ)，再過(guò)渡到曲線運(yùn)動(dòng)和能量。一般變力作用，高中階段較難處理，但利用微元單元和累加求和思想，可解決一些特定的非恒力問(wèn)題。所謂微元法，是基于數(shù)學(xué)微分與積分知識(shí)，在“勻速”基礎(chǔ)上作拓展。

微元思想是將研究對(duì)象或過(guò)程進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，實(shí)現(xiàn)化變?yōu)楹?、化曲為直?？梢匀芜x某一微小單元（質(zhì)量微元、時(shí)間微元、位移微元、電量微元等），得到相關(guān)“微元”對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再將這些“微元”規(guī)律累加求和，從而找到被研究對(duì)象或過(guò)程的具體變化規(guī)律。

“微元”思想的應(yīng)用，能很好考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力， 能較好的把一般學(xué)生與優(yōu)秀學(xué)生有效區(qū)分，有利于高校選拔人才，因此在高考物理中經(jīng)常出現(xiàn)。

在以“電磁感應(yīng)”為背景的題目中，因可綜合考查運(yùn)動(dòng)、能量、電路、電量等相關(guān)概念，把牛頓運(yùn)動(dòng)定律、歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、能量守恒定律、動(dòng)量及動(dòng)量守恒定律等，在高考中常以選擇題出現(xiàn)，也會(huì)以計(jì)算大題考查，因此該內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。模型常是單導(dǎo)體棒或雙導(dǎo)體棒在外力作用下，以某一初速度進(jìn)入磁場(chǎng)，受安培力作用，在導(dǎo)體棒趨于某一穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)程中求運(yùn)動(dòng)時(shí)間、位移、速度，流過(guò)電荷量等，因安培力為變力而形成非恒力作用，可考慮用微元思想求解。

例1：如圖1，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C；導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過(guò)程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開(kāi)始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）若金屬棒下滑過(guò)程中某時(shí)刻加速度大小為α，求此時(shí)金屬棒受到的磁場(chǎng)的作用力大?。?/p>

分析：導(dǎo)體棒下滑中，因不斷對(duì)電容器充電而形成不同的充電電流，從而使導(dǎo)體棒受變化的安培力作用，可用微元思想求解。

解：（1）略

（2） 設(shè)某時(shí)刻金屬棒的速度大小為v，經(jīng)歷時(shí)間Δt，通過(guò)金屬棒的電流為Δi，金屬棒的速度變化量為Δν，流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ。

運(yùn)動(dòng)中金屬棒受沿導(dǎo)軌向上的安培力： F=BLΔi，

由電流定義式：Δi=ΔQΔν，式中ΔQ為電容器在時(shí)間間隔Δt內(nèi)增加的電荷量。

由加速度定義有：a=ΔνΔt

已由（1）問(wèn)求得 ΔQ=CBLΔν

得金屬棒受到的安培力 F=CB2L2a

此題關(guān)鍵的應(yīng)用微元法分析金屬棒的加速度，從加速度的定義式切入，應(yīng)用牛頓第二定律、勻變速運(yùn)動(dòng)速度公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLν等求解。

例2：如圖2，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面傾角為α。條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將和正方形的單匝線框連接在一起組成“”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流。線框的邊長(zhǎng)為d（d

求：線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所用的時(shí)間t。

解：設(shè)線框剛穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度為ν1，之后在向下運(yùn)動(dòng)的2d受恒力，

由動(dòng)能定理：mgsinα·2d-BILd=0-12mν12

時(shí)間微元Δt內(nèi)，線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為νi，所受合力Fi=mgsinα-F安

感應(yīng)電流Ii=εR=BdνiR

安培力F安=B Iid

在Δt時(shí)間內(nèi)，有Δν=FmΔt

對(duì)上式求和，即：ΣΔν=Σ（gsinα-B2d2νmR）Δt

得：ν1=gtsinα-2B2d3mR

解得t=2m（BILd）-2mgdsinα+2B2d3Rmgsinα

綜上所述，導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)涉及安培力為非恒力時(shí)，可以選擇微元對(duì)象，利用動(dòng)量定理、牛頓第二定律和法拉第電磁感應(yīng)定律綜合求解。動(dòng)量定理在時(shí)間微元內(nèi)表達(dá)為BLΔi·Δt=mΔν，再對(duì)這段時(shí)間求和，由電荷定義式有q=I-·Δt=ΔΦΔt（R+r）Δt=ΔΦR+r=BLxR+r，從而得到BLq=m（νt-ν0） 和BLx=q（R+r）這兩個(gè)求非勻變速直線運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的速度、時(shí)間和位移的方法，因此復(fù)習(xí)中讓學(xué)生了解掌握微元思想很重要。

作者簡(jiǎn)介：邱繼文（1972-），男，云南昭通人，中學(xué)物理高級(jí)教師，研究方向：高中物理教學(xué).

（作者單位：云南昭通第一中學(xué)）