測(cè)繪地理信息產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤概率

蔡艷輝，程鵬飛，張 莉，徐彥田

1.國(guó)家測(cè)繪產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)測(cè)試中心，北京 100830；2.中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830

抽樣檢驗(yàn)是質(zhì)量管理中的重要統(tǒng)計(jì)技術(shù)手段，特別是在破壞性檢驗(yàn)、可靠性檢驗(yàn)以及壽命試驗(yàn)、連續(xù)批檢驗(yàn)和散料檢驗(yàn)中發(fā)揮著巨大的作用。通過抽取一定量的樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，既可以對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量作出判斷，同時(shí)又不需要付出太大的工作量，對(duì)產(chǎn)品的生產(chǎn)管理和分析影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素具有重要意義。針對(duì)產(chǎn)品的抽樣，國(guó)際上普遍采用的是ISO 2859.1—1999標(biāo)準(zhǔn)，國(guó)內(nèi)制定的GB/T2828.1—2012[1]完全采用這一國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)。該標(biāo)準(zhǔn)也是我國(guó)工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量控制的基礎(chǔ)性標(biāo)準(zhǔn)之一。

相比工業(yè)產(chǎn)品，測(cè)繪地理信息產(chǎn)品無論在產(chǎn)品形態(tài)、生產(chǎn)工藝、儀器設(shè)備和生產(chǎn)環(huán)境，還是在產(chǎn)品管理、流通和產(chǎn)品服務(wù)等方面都存在很大的不同。因此，為了適應(yīng)測(cè)繪地理信息產(chǎn)品的特殊要求，國(guó)家發(fā)布了專門針對(duì)測(cè)繪地理信息產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T24356—2009與GB/T18316—2008[2-3]，對(duì)測(cè)繪地理信息產(chǎn)品的抽樣、質(zhì)量元素、檢驗(yàn)參數(shù)、質(zhì)量評(píng)定和判定進(jìn)行了規(guī)定。雖然這兩項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)在國(guó)家和地方的基礎(chǔ)測(cè)繪以及各個(gè)行業(yè)測(cè)繪領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用，但是隨著以新型基礎(chǔ)測(cè)繪為代表的測(cè)繪地理信息智能化的發(fā)展，其在抽樣方案、產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)、質(zhì)量評(píng)定判定準(zhǔn)則等方面逐漸顯現(xiàn)出不完善、不適應(yīng)的現(xiàn)象，特別是在生產(chǎn)中的“小批量分段”和“大批量分批”抽樣方案與數(shù)字化、信息化和智能化測(cè)繪地理信息出現(xiàn)的大批量產(chǎn)品檢驗(yàn)非常不適應(yīng)。同時(shí)，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T24356—2009對(duì)棄真錯(cuò)誤概率給出了“零概率”要求的同時(shí)，而未對(duì)不合格產(chǎn)品通過合格檢驗(yàn)的“納偽”錯(cuò)誤概率給出相應(yīng)的規(guī)定，導(dǎo)致生產(chǎn)管理實(shí)際中出現(xiàn)一定風(fēng)險(xiǎn)。

針對(duì)測(cè)繪地理信息產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的抽樣方案，文獻(xiàn)[4]采用OC曲線分析方法，給出了推薦的GIS產(chǎn)品不合格率3%～5%極限質(zhì)量；文獻(xiàn)[5]采用OC曲線分析方法，對(duì)連續(xù)大批量空間數(shù)據(jù)質(zhì)量抽樣檢驗(yàn)方案進(jìn)行分析，給出了不同條件下的空間數(shù)據(jù)質(zhì)量檢驗(yàn)的AQL值；文獻(xiàn)[6]提出了GIS數(shù)字地圖1/m子幅抽樣檢驗(yàn)概念，采用OC曲線分析方法給出了典型抽樣方案。其他相關(guān)的研究多數(shù)都是從抽樣方案的實(shí)際操作方面討論[7]，而對(duì)測(cè)繪地理信息產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的“棄真”和“納偽”概率的研究，文獻(xiàn)相對(duì)較少。學(xué)術(shù)上研究較多的是測(cè)量的不確定性以及不確定性表征[8-19]。這些研究主要是針對(duì)給定的地理信息產(chǎn)品如何客觀真實(shí)反映其自身質(zhì)量狀況，屬于抽樣檢驗(yàn)的檢驗(yàn)技術(shù)范疇。

本文從假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤概率分布出發(fā)，對(duì)測(cè)繪地理信息產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的抽樣方案進(jìn)行分析，給出兩類錯(cuò)誤概率的計(jì)算方法，同時(shí)計(jì)算了典型的抽樣方案的兩類錯(cuò)誤概率，重點(diǎn)對(duì)現(xiàn)行的大批量測(cè)繪產(chǎn)品分批抽樣檢驗(yàn)進(jìn)行了討論，提出了低不合格率總體條件下，抽樣檢驗(yàn)自身的高“納偽”概率將導(dǎo)致抽樣檢驗(yàn)的失真性，在并通過實(shí)際算例計(jì)算了導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)論失真的質(zhì)量邊界。

1 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤

1.1 兩類錯(cuò)誤的定義

為了推斷總體的某些性質(zhì)，需要先提出關(guān)于總體的假設(shè)，然后從總體中隨機(jī)抽取樣本，根據(jù)樣本的檢驗(yàn)和分析，對(duì)提出的假設(shè)作出判斷：是接受還是拒絕。一般可表示為

(1)

式中，H1與H0通常為互補(bǔ)條件。針對(duì)H1檢驗(yàn)H0，H0稱為原假設(shè)，H1稱為備擇假設(shè)。由于檢驗(yàn)結(jié)論是根據(jù)樣本給出的，總有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷。當(dāng)假設(shè)H0實(shí)際上為真，檢驗(yàn)拒絕H0，稱為第Ⅰ類錯(cuò)誤，又叫棄真錯(cuò)誤；當(dāng)H0實(shí)際不真，檢驗(yàn)接受H0，稱為第Ⅱ類錯(cuò)誤，又叫納偽錯(cuò)誤。犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率，記為α，又稱為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，即合格批被拒收。犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率，記為β，又稱為使用方風(fēng)險(xiǎn)，即不合格批被接受。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)照顧雙方的利益，使生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn)都盡可能控制在一定的范圍[20-22]。

1.2 兩類錯(cuò)誤概率的計(jì)算

(2)

(3)

(4)

圖1顯示，對(duì)給定的集合總體，壓縮拒絕域W，W′必然擴(kuò)大，同理壓縮拒絕域W′，W必然擴(kuò)大。要想同時(shí)減小W、W′，必然擴(kuò)大集合總體。

圖1 兩類錯(cuò)誤拒絕域集合Fig.1 The reject sets of two types errors

2 測(cè)繪地理信息產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤

2.1 抽樣檢驗(yàn)的抽樣方案

抽樣方案是指抽樣檢驗(yàn)中所用的樣本和有關(guān)接收準(zhǔn)則的組合[23-24]。抽樣方案既包括從批量中怎樣抽樣，又包括對(duì)批次合格/不合格的判定準(zhǔn)則，因此，必須在抽樣檢驗(yàn)前定出樣本量和鑒別該批產(chǎn)品是否合格的標(biāo)準(zhǔn)(接收準(zhǔn)則)。通常采用四元組(N,n,Ac,Re)[1,23]表示抽樣方案模型，其中N為批量，n為抽取的樣本量，Ac為可接受的不合格品數(shù)，Re為拒絕的不合格品數(shù)。

對(duì)給定的抽樣方案(N,n,Ac,Re)，其檢測(cè)通過的概率服從超幾何分布

(5)

式中，Pi為該抽樣中不合格品數(shù)為i概率。根據(jù)產(chǎn)品的不合格率p，d=N×p。當(dāng)N>10n，且p<10%(文獻(xiàn)[23—24])，對(duì)于給定不合格率的計(jì)數(shù)型大批量簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，可近似采用二項(xiàng)分布代替超幾何分布，即

(6)

由L(p)構(gòu)成的曲線稱為該方案的抽樣操作特性曲線[23]，即OC曲線。OC曲線反映了抽樣方案的檢驗(yàn)通過概率與產(chǎn)品不合格率的分布關(guān)系。對(duì)給定的質(zhì)量水平p0與p1，在不考慮檢驗(yàn)誤差的條件下，式(4)即為

(7)

2.2 GB/T24356—2009標(biāo)準(zhǔn)抽樣的兩類錯(cuò)誤概率

GB/24356—2009采用了計(jì)數(shù)型一次簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法[1,23-25]，并規(guī)定當(dāng)不合格數(shù)為0，判定批合格；當(dāng)不合格數(shù)大于等于1，判定批不合格，即Ac=0，Re=1。該抽樣方案(N,n,0,1)可表述為從批量為N的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，若其中不合格品數(shù)為0，就可以較高的概率接受該批產(chǎn)品；若其中不合格品數(shù)大于等于1，則以較高的概率拒絕該批產(chǎn)品。表1為該標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的抽樣表。當(dāng)測(cè)繪地理信息成果的批量超過200，需要進(jìn)行均勻分批，再按此表抽樣，進(jìn)行檢驗(yàn)。

表1 GB/T 24356—2009抽樣表Tab.1 Sampling index table of GB/T24356—2009

依據(jù)表1，選取其中的典型抽樣方案，計(jì)算3種不同質(zhì)量水平pi情況下的兩類錯(cuò)誤概率，見表2(其中，由于表1中批量相對(duì)較小，p1采用不合格數(shù)表示，即批量為N的產(chǎn)品中存在p1個(gè)不合格品)。

表2 兩類錯(cuò)誤概率計(jì)算表Tab.2 Probability values of two types of errors under different conditions

很顯然，基于原假設(shè)p0=0，依據(jù)GB/T24356—2009的檢驗(yàn)方案，“棄真”概率α全為0，等價(jià)于W為空。對(duì)應(yīng)給定的p1=1,2,5等3種情況下，“納偽”概率表現(xiàn)為：①隨著產(chǎn)品的質(zhì)量的下降而降低，隨著批量的增大而增大(實(shí)際上由于不合格數(shù)不變，等價(jià)為產(chǎn)品質(zhì)量提升)；②測(cè)繪地理信息產(chǎn)品采用了200為批量的上限，在僅有一個(gè)不合格品條件下，“納偽”概率最小值為0.850，即采用(20，3，0，1)的抽樣方案，批量為20個(gè)單位，其中存在一個(gè)不合格品，被檢驗(yàn)為合格品的概率為0.85。表2反映GB/T24356—2009的檢驗(yàn)方案對(duì)應(yīng)的“納偽”概率普遍較高，使用方風(fēng)險(xiǎn)較大。

3 測(cè)繪地理信息產(chǎn)品大批量抽樣檢驗(yàn)

3.1 大批量產(chǎn)品檢驗(yàn)總體通過概率的等價(jià)性

依據(jù)GB/T24356—2009的要求，當(dāng)批量大于200時(shí)，要將總體劃分為不同的批，且要求批次最小，各批批量均勻。假設(shè)總體為N(N>200)分為批量為Ni(Ni≤200)的k個(gè)批次，根據(jù)表1，抽取Ni對(duì)應(yīng)的樣本量ni，則根據(jù)概率分布規(guī)律，有

(8)

假定總體為302個(gè)單位，則需要將該總體分為151個(gè)單位的兩個(gè)批次。根據(jù)表1，需要分別抽取13個(gè)單位，則抽樣方案(302，26，0，1)和(151，13，0，1)的OC曲線如圖2。圖2顯示整體合格的概率L2等于分批概率L1的平方。通過將一個(gè)大總體進(jìn)行分批，每個(gè)批次檢測(cè)通過的概率得到提升，降低了整體被拒絕的風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，對(duì)各個(gè)批次而言，檢測(cè)被拒絕，只是拒絕當(dāng)前批次，當(dāng)前不合格品的作用范圍限定在當(dāng)前批內(nèi)。而整體檢驗(yàn)，不合格品的作用范圍擴(kuò)展到整個(gè)總體。相比而言，采用大批量的分批檢驗(yàn)，實(shí)際上是實(shí)施了放松檢驗(yàn)。

圖2 大總體分批抽樣方案的OC曲線Fig.2 OC-curve lines of different sampling plans With big lots

3.2 大批量的質(zhì)量檢驗(yàn)兩類錯(cuò)誤概率

根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的定義，原假設(shè)為該批產(chǎn)品中無不合格品，即在302個(gè)單位產(chǎn)品中p0=0；備擇假設(shè)為該批產(chǎn)品中有不合格品。假設(shè)在302個(gè)單位產(chǎn)品中存在p1=2件不合格品，分別計(jì)算整體檢驗(yàn)和分批檢驗(yàn)情況下的兩類錯(cuò)誤概率如表3、表4。

表3 抽樣方案(302,26,0,1)的兩類錯(cuò)誤概率計(jì)算表Tab.3 Probability values of two types of errors under sampling plan (302,26,0,1)

表4 抽樣方案(151，13，0，1)的兩類錯(cuò)誤概率計(jì)算表Tab.4 Probability values of two types of errors under sampling plan (151,13,0,1)

表3給出了整體檢驗(yàn)時(shí)，兩類錯(cuò)誤概率的計(jì)算值，其中β′為假設(shè)備擇假設(shè)為真、實(shí)際檢驗(yàn)備擇假設(shè)也為真的概率。表4中給出了分批檢驗(yàn)時(shí)，單批檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤概率，以及由單批計(jì)算的總體檢驗(yàn)通概率值和總體檢驗(yàn)不通過的概率。數(shù)值顯示，對(duì)相同的抽樣樣本量，無論整體檢驗(yàn)還是分批檢驗(yàn)，總體檢驗(yàn)通過的概率是等價(jià)的。同時(shí)，由于分批檢驗(yàn)減小了批量，相應(yīng)單批也減小了樣本量，因此，客觀上計(jì)數(shù)型簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的整數(shù)特性表現(xiàn)為不合格率的降低，所以，單批檢驗(yàn)通過概率增大，其代價(jià)為“納偽”概率的增加，整體檢驗(yàn)不通過的概率顯著減小。

3.3 大批量抽樣檢驗(yàn)的失真性

隨著信息化、智能化技術(shù)的發(fā)展，以DLG、DOM、DEM、DRG為代表的數(shù)字化產(chǎn)品大多都是(超)大批量形態(tài)。盡管測(cè)繪地理信息成果的生產(chǎn)越來越多地采用自動(dòng)化的手段，但是畢竟生產(chǎn)過程還需要各種設(shè)備、人員的參與，生產(chǎn)的工藝流程還存在一定的不完善，所以，隨著批量的增大，測(cè)繪地理信息產(chǎn)品中出現(xiàn)不合格品必然是一個(gè)大概率事件，即測(cè)繪地理信息產(chǎn)品的不合格率必然p0>0。則對(duì)批量為N的總體，不合格數(shù)

d=N×p0

(9)

對(duì)于產(chǎn)品質(zhì)量均勻的總體，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從其中抽取n個(gè)樣品，則樣品不合格率應(yīng)該與總體一樣，則樣品中的不合格數(shù)

dn=n×p0

(10)

因此，隨著批量的增大，dn一定大于零。依據(jù)GB/T24356—2009的抽樣方案(N,n,0,1)，則必然被拒接。對(duì)于總體檢驗(yàn)，則拒絕總體，采用分批檢驗(yàn)，則拒絕對(duì)應(yīng)的批次。本質(zhì)上，該現(xiàn)象表現(xiàn)為抽樣方案中Ac=0的必然結(jié)果，體現(xiàn)了該抽樣方案對(duì)大批量的總體檢驗(yàn)的不合理性。

另一方面，對(duì)測(cè)繪生產(chǎn)而言，要求所有的產(chǎn)品全部都合格是測(cè)繪地理信息服務(wù)的客觀需要，通過對(duì)大批量總體的分批檢驗(yàn)處理，人為提高了總體檢驗(yàn)通過的概率，必然增加“納偽”錯(cuò)誤概率的風(fēng)險(xiǎn)。表5顯示抽樣方案(302，26，0，1)在5種不同假設(shè)條件下，原假設(shè)的“納偽”錯(cuò)誤的概率值。數(shù)據(jù)表明，當(dāng)批量中存在少量不合格品時(shí)(整體不合格率小于2%)，檢驗(yàn)通過表現(xiàn)為一個(gè)大概率事件；當(dāng)批量中存在的不合格品數(shù)達(dá)到一定量(整體不合格率大于5%)，該檢驗(yàn)方案能夠以較高的概率拒絕該批產(chǎn)品。因此，當(dāng)整體不合格率處于較低水平時(shí)，現(xiàn)行的抽樣方案存在一定的失效性，將不能很好反映質(zhì)量真實(shí)狀況。

這種現(xiàn)象本質(zhì)上表現(xiàn)為計(jì)數(shù)型隨機(jī)抽樣檢驗(yàn)的固有特性，所以，在要求“棄真”概率α為0的條件。對(duì)于存在少量不合格品的批量，隨機(jī)抽樣檢驗(yàn)的高“納偽”錯(cuò)誤概率將是不可避免，也意味著需要增大樣本量或者采用非隨機(jī)抽樣的檢測(cè)方法才能準(zhǔn)確把握質(zhì)量狀況。

表5 抽樣方案(302，26，0，1)的納偽錯(cuò)誤概率計(jì)算表Tab.5 Probability values of type Ⅱ error under sampling plan (302,26,0,1)

4 結(jié)論與展望

本文從概率分布的角度，給出了測(cè)繪地理信息產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤概率的計(jì)算方法，并針對(duì)GB/T24356—2009規(guī)范中的采用的抽樣方案，實(shí)際計(jì)算了該標(biāo)準(zhǔn)中典型抽樣方案的兩類錯(cuò)誤概率值，分析了該標(biāo)準(zhǔn)中“納偽”概率控制的不完善性，為使用該標(biāo)準(zhǔn)提供了風(fēng)險(xiǎn)控制的計(jì)算方法。

同時(shí)結(jié)合測(cè)繪地理信息質(zhì)量檢驗(yàn)的應(yīng)用需要，重點(diǎn)對(duì)大批量抽樣檢驗(yàn)進(jìn)行了討論，從概率的角度說明了大批量整體檢驗(yàn)與分批檢驗(yàn)對(duì)整體檢驗(yàn)通過概率的等價(jià)性；基于“納偽”概率計(jì)算，驗(yàn)證了現(xiàn)行抽樣方案在低不合格率(小于5%)的條件下，將導(dǎo)致大批量產(chǎn)品檢驗(yàn)的高“納偽”概率。本質(zhì)上，這種高“納偽”概率是計(jì)數(shù)型隨機(jī)抽樣檢驗(yàn)的固有特性，也意味著對(duì)于存在少量不合格品的批量，隨機(jī)抽樣檢驗(yàn)的高“納偽”錯(cuò)誤概率將是不可避免。

因此，一方面，對(duì)水準(zhǔn)控制點(diǎn)、GNSS控制點(diǎn)為代表的大地測(cè)量、工程測(cè)量成果，采用抽樣檢驗(yàn)確定批成果的整體質(zhì)量是不合適的。因?yàn)槿魏我粋€(gè)點(diǎn)的錯(cuò)誤可能帶來嚴(yán)重的后果。另一方面，對(duì)大批量的圖類成果，或者重復(fù)生產(chǎn)的地理信息產(chǎn)品，需要根據(jù)質(zhì)量控制指標(biāo)、檢驗(yàn)方式、檢驗(yàn)成本等因素，綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)抽樣方案。GB/T24356—2009標(biāo)準(zhǔn)中的抽樣方案本身就是在綜合考慮了特定生產(chǎn)水平和生產(chǎn)方式條件下基礎(chǔ)測(cè)繪地理信息成果的基本質(zhì)量要求、人工檢驗(yàn)方式和檢驗(yàn)費(fèi)用成本定額的條件下制定的，本文的研究?jī)?nèi)容只是該優(yōu)化問題的一個(gè)方面，筆者也將在后續(xù)的研究中對(duì)該問題進(jìn)行深入分析。