地磚工人、水果攤老板或者數(shù)學(xué)家

盒飯君

家里鋪地磚，為什么可選正三角形、正方形、正六邊形地磚，卻沒(méi)有正五邊形地磚？喝咖啡時(shí)，一個(gè)杯子最多可以放幾顆方糖？水果攤怎么擺橘子可以放更多？這些問(wèn)題聽(tīng)來(lái)莫名其妙，卻是困擾數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒很久的密鋪和最密堆積問(wèn)題，也是地磚工人、水果攤老板最關(guān)心的問(wèn)題。

★我要正五邊形地磚

密鋪和最密堆積其實(shí)是同個(gè)問(wèn)題在平面和立體空間的不同體現(xiàn)。形象地說(shuō)就是要用怎樣的地磚鋪滿房間和能在盒子里最多裝多少個(gè)橘子的問(wèn)題。

說(shuō)回正五邊形，似乎正五邊形就是不太合群。

要想用正多邊形鋪滿房間，需要具備一個(gè)條件：圍繞一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)附近瓷磚的角度數(shù)加起來(lái)是360度。等邊三角形角是60度，六塊拼在一起是360度;正六邊形角是120度，三塊就能拼成360度。

那么正五邊形呢？它的角是108度，三塊拼一起是324度，比360度小，就會(huì)多出來(lái)一個(gè)空間?？伤膲K拼一起是432度，又比360度大，有兩塊地磚肯定會(huì)重疊，不管怎樣拼，就是不行。

所以，根本沒(méi)有正五邊形瓷磚，也不會(huì)有超過(guò)六條邊的正多邊形瓷磚，它們的角度數(shù)都太大了，360度根本駕馭不了。現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)家都熱衷于研究不規(guī)則多邊形的密鋪問(wèn)題，如果找到數(shù)學(xué)家也沒(méi)發(fā)現(xiàn)的密鋪圖形，你可能就距離成為數(shù)學(xué)家不遠(yuǎn)了。

那喜歡正五邊形的人，一點(diǎn)希望也沒(méi)有嗎？當(dāng)然不是，正五邊和正六邊形一起就可以在球面上實(shí)現(xiàn)密鋪啊，最典型的就是足球。

★橘子到底該怎么堆

那立體空間的最密堆積又是怎么回事？數(shù)學(xué)家在研究堆橘子問(wèn)題時(shí)，喜歡用完美的球體，比如乒乓球，來(lái)討論到底要怎么放，畢竟橘子形狀大小有差異，會(huì)影響結(jié)論。

開(kāi)普勒提出一個(gè)猜想，就是上下層交錯(cuò)擺放，能在有限空間里放最多個(gè)球。比如下層放4個(gè)，上一層就放3個(gè)，再上一層放2個(gè)，頂端放1個(gè)，最后堆出來(lái)像個(gè)金字塔。之所以說(shuō)是猜想，是因?yàn)樗沧C明不了這就是最優(yōu)方案。

既然大神開(kāi)普勒都提出猜想了，數(shù)學(xué)家高斯、牛頓、希爾伯特等都跑去研究證明。最后還是1998年，數(shù)學(xué)家托馬斯·黑爾斯在計(jì)算機(jī)的幫助下，才證明了開(kāi)普勒的想法是對(duì)的。

話說(shuō)回來(lái)，水果攤老板可不會(huì)像開(kāi)普勒那樣去思考，他們憑借經(jīng)驗(yàn)就擺出了最優(yōu)方案。當(dāng)然我們不能說(shuō)水果攤老板比開(kāi)普勒聰明，畢竟在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，證明就是一切。就像數(shù)學(xué)家哈代說(shuō)的“對(duì)于無(wú)法證明的事，我沒(méi)有辦法相信”。

要想看裝填效率怎么樣，就看球體體積占空間體積的比值，也就是堆砌密度=球體體積/容器體積。按照開(kāi)普勒猜想的方式多層堆積，最后得到的最大密度為0.7404。74.04%也就是盒子能裝橘子的最大密度了。

開(kāi)普勒迷戀的“怪物版”密鋪圖形

我們知道了正多邊形地磚只存在正三角形、正方形和正六邊形，不死心的開(kāi)普勒似乎就是熱愛(ài)正五邊形。于是他用正五邊形、正十邊形、五角星，和一個(gè)他稱為“怪物”的兩個(gè)正十邊形拼合的圖形，拼成了左邊這個(gè)圖案，并發(fā)表在自己《宇宙的和諧》一書(shū)中。歷來(lái)不少數(shù)學(xué)家都對(duì)正五邊形給予了足夠的關(guān)注與愛(ài)。

如何在有限空間放更多小球？開(kāi)普勒在《關(guān)于六角形雪花》的文章里率先提出來(lái)，還畫(huà)了如上示意圖，但是他自己并沒(méi)有把它證明出來(lái)。這也是水果攤老板最常用的碼堆方式。