雙向偏心受壓支座錨栓的簡化計算方法

魏 忠

(中國建筑西南設(shè)計研究院有限公司， 四川成都 610042)

支座錨栓的計算方法在現(xiàn)行規(guī)范中沒有明確規(guī)定。國內(nèi)外對單向偏心受壓支座錨栓的設(shè)計基于不同的假定，有大約十種計算方法[1]，其計算結(jié)果差異較大；對于雙向偏心受壓支座錨栓則沒有成熟可靠的計算方法。隨著空間結(jié)構(gòu)越來越多的運用，結(jié)構(gòu)中支座錨栓基本為雙向偏心受壓，設(shè)計時只能憑經(jīng)驗將軸壓力分解到兩個方向按單向偏心受壓計算，再將錨栓面積進行疊加，其計算依據(jù)不足。為了能合理并快速地進行雙向偏心受壓支座錨栓的設(shè)計，本文提出了一種計算方法，可以方便地進行手算。

1 單向偏心受壓支座錨栓的計算

目前國內(nèi)工程設(shè)計實踐中，對單向偏心受壓支座錨栓的計算一般采用彈性設(shè)計，主要有以下三種方法。

1.1 彎矩平衡法

此方法在我國TJ 17-74《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中有明確規(guī)定，但在修訂后的GBJ 17-88《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中及最新版的GB 50017-2003《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中均取消了此規(guī)定。這種計算方法簡單方便，在設(shè)計中得到了較廣泛的應(yīng)用。

此方法假定支座底板與混凝土頂面的壓應(yīng)力為線性分布(圖1)。

圖1 錨栓計算簡圖一

可得：

(1)

(2)

式中：N、M為作用于底板形心軸處的軸壓力(N)和彎矩(N·mm)；B、h為底板寬度(mm)和長度(mm)；fc為混凝土的軸心抗壓強度設(shè)計值，當允許計入局部承壓提高系數(shù)時以βfc代替。

當σmax小于0時，按下式確定混凝土受壓區(qū)高度x:

(3)

根據(jù)彎矩平衡條件：

(4)

將式(3)代入式(4)中可求得錨栓拉力T。

此方法僅有單一未知數(shù)，求解簡單，但不滿足豎向力的平衡條件，且計算結(jié)果偏大，某些情況下顯得不合理。

1.2 力與彎矩平衡法

此方法假定支座底板下混凝土應(yīng)力分布為三角形，并取混凝土最大應(yīng)力σmax=fc(圖2)。

圖2 錨栓計算簡圖二

由豎向力和力矩平衡條件，可得：

(5)

(6)

式中：P為混凝土受壓區(qū)壓力的合力(N)。

聯(lián)立式(5)、式(6),解二次方程可得支座受壓區(qū)高度x，代入式(5)中即可求出錨栓拉力T。

此方法滿足兩個靜力平衡條件，僅需解一個聯(lián)立方程，較為簡單，結(jié)果比較合理，推薦使用。

采用無量綱形式，令：

由式(5)、式(6)可得：

(7)

1.3 平截面假定下的力與彎矩平衡法

此方法引入平截面假定，計算簡圖見圖3。

圖3 錨栓計算簡圖三

由平衡關(guān)系可得：

(8)

(9)

其中：

σc=Ecεc

(10)

σs=Esεs

(11)

式中：σc、σs為混凝土和鋼筋的應(yīng)力；εc、εs為混凝土和鋼筋的應(yīng)變；Ec、Es為混凝土和鋼筋的彈性模量。

由平截面假定可得：

(12)

以上各式聯(lián)立組成方程組，需要解關(guān)于x的三次方程，再求得錨栓拉力T。

此方法從理論上講更為精確和合理，求得的錨栓面積較小。《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計手冊》[2]中對按前兩種法計算出的錨栓直徑大于60 mm時，推薦采用此計算方法，但計算較為繁瑣，需借助編程或表格求解。

其余單向偏心受壓支座錨栓的計算方法不再贅述，綜合考慮在工程設(shè)計中推薦使用第二種方法。

2 雙向偏心受壓支座錨栓的計算

對雙向偏心受壓支座錨栓的計算，可參照鋼筋混凝土雙向偏心受壓構(gòu)件的情況進行分析和簡化近似計算(圖4)。

圖4 雙向偏心受壓截面

鋼筋混凝土雙向偏心受壓構(gòu)件的破壞曲面如圖5所示，其等軸力線近似為一內(nèi)凹的橢圓，即曲線方程的指數(shù)α小于2(橢圓方程指數(shù)為2)，一般可表示為下面的無量綱形式：

(13)

式中：Mx、My為軸力N作用下截面的雙向偏心破壞彎矩M在x、y軸方向上的分量；Mnx、Mny為軸力N作用下截面的單向偏心破壞彎矩。

圖5 雙向偏心受壓破壞曲面

周邊均勻配筋的環(huán)形或圓形截面，其等軸力線為圓，但對稱配筋的方形截面，其等軸力線是比圓凹進一些的曲線。當軸力作用在截面的對角線上時，與圓的偏離最大。同樣，矩形截面雙向偏心受壓構(gòu)件N-M相關(guān)曲面的等軸力線也不是橢圓，當軸力作用于對角線上時，它與橢圓曲線的偏離最大。當軸壓力為0時，等軸力線與橢圓的偏離很小，即α接近2.0。隨著軸壓力的增大，等軸力線與橢圓的偏離逐漸增大，當N=Nb，即界限破壞時，等軸力線與橢圓的偏離達到最大值。當軸壓力趨近于軸心受壓的軸力Nu時，偏離逐漸消失[3]。

由圖5可知，在某一給定軸力N作用下，雙偏壓內(nèi)力組合(Mx，My)與兩個方向的單偏壓內(nèi)力組合(Mnx，0)或(0，Mny)具有相同的截面配筋。因此，通過將雙偏壓的內(nèi)力轉(zhuǎn)化為兩個單偏壓內(nèi)力，再分別進行截面的單偏壓計算，就能比較方便快捷地得出配筋結(jié)果。另一方面，截面配筋不同，破壞曲線也不同，從理論上講，過點(N，Mx，My)的破壞曲線可以有無數(shù)條，因此將Mx、My換算得到的Mnx、Mny也有無數(shù)組，可以分別求得對應(yīng)的不同配筋。對換算結(jié)果產(chǎn)生影響的兩個因素是曲線方程中的α以及比值Mnx/Mny，以下先對α的取值進行分析。

歐洲規(guī)范EN 1992-1-1：2004[4]規(guī)定：對于圓形和橢圓形截面α=2.0，對于矩形截面根據(jù)軸壓比按表1取值。

表1 EN1992-1-1:2004矩形截面的α值

其余軸壓比情況可按表1進行插值，或按下式確定：

α=0.926n2+0.093n+0.981

(14)

國內(nèi)許多學(xué)者對α的取值進行了深入研究，一般是以GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》[5]附錄E的方法為標準，通過數(shù)值計算，回歸擬合出滿足式(13)的α值，其結(jié)果基本相似[6-7]，如圖6、圖7。

圖6 α-n數(shù)據(jù)點及擬合曲線

圖7 α-n擬合曲線及對比結(jié)果

圖6對應(yīng)的擬合曲線函數(shù)為：

α=2-3n+3n2

(15)

圖7對應(yīng)的擬合曲線函數(shù)為：

α=1.74-2.91n+7.33n2-7.57n3+3.59n4

(16)

可以看出：與文獻[3]中描述相似，α的最小值在大小偏壓界限點附近取得；在小偏壓階段α值與歐洲規(guī)范EN 1992-1-1：2004[4]相似；但在大偏壓階段，曲線相差較大。這種大偏壓下的偏離現(xiàn)象在Shin、Fossetti及Bajaj等的文獻中也有出現(xiàn)。

綜上，在錨栓的簡化計算中建議α按表2取值。

表2 錨栓簡化計算中的α值

其余軸壓比情況可按表2進行插值。

為了將雙向受壓轉(zhuǎn)化為單向受壓以便于計算，可將雙向受壓的彎矩M分別投影到OXZ和OYZ平面，如圖5，得到Mx和My，再將Mx和My分別乘以適當?shù)姆糯笙禂?shù)Kx和Ky，將彎矩放大至單偏壓破壞曲線上的Mnx和Mny，分別對兩個方向按內(nèi)力(N，KxMx)和(N，KyMy)進行單偏壓計算，即可得到兩個方向的錨栓計算面積。

令m=My/Mx，與式(13)聯(lián)立，容易推出：

(17)

(18)

式中：μ為軸力N作用下支座截面兩個方向的抗彎承載力之比，按下式確定：

(19)

單偏壓破壞曲線上軸向力為N時的截面抗彎承載力Mnx或Mny可按下列公式計算：

當N≤ξbfcbh0時，

(20)

當N>ξbfcbh0時，

(21)

(22)

式中：ξb為相對界限受壓區(qū)高度。

由式(5)可知，在錨栓設(shè)計中，N≤0.5fcbh0，否則錨栓將受壓，按構(gòu)造設(shè)置即可。而ξb>0.5,因此Mnx或Mny的計算采用式(20)。

在錨栓面積未知的情況下無法求得截面抗彎承載力Mnx或Mny，此時可采用如下方法對μ進行近似計算。因等軸力線在OXY平面的投影近似為相似的曲線，即Mnx/Mny的值基本不變，所以可以用軸向壓力N=0時雙向受彎構(gòu)件的抗彎承載力比值Mox/Moy近似，即：

(23)

式中：Asx、Asy為支座截面x、y方向的單側(cè)錨栓面積。

(24)

(25)

可以看出，當b與h相差不大時，γb≈γh。

一般情況下支座錨栓均為相同規(guī)格，此時式(23)可進一步簡化為：

(26)

式中：nx、ny為支座截面x、y方向的單側(cè)錨栓個數(shù)。

計算時假定錨栓取相同規(guī)格，根據(jù)支座每邊預(yù)設(shè)的錨栓數(shù)量即可按式(26)求得μ值?？紤]到計算比值μ時分子分母舍了相同的項γbN(γhN)，為使μ值計算相對更準確，當nynx時，取0.9μ。

因為μ值是近似計算得出的，所以按照上述方法計求得的x、y兩個方向的錨栓面積比與預(yù)設(shè)的錨栓面積比不一定相同。因為雙偏壓的計算結(jié)果有多解，按此結(jié)果(或取大值)配置錨栓是可行的。若想得出與預(yù)設(shè)的錨栓面積比更接近的計算結(jié)果，可以根據(jù)計算結(jié)果對μ值乘以修正系數(shù)ku，得到修正后的μ值，按上述步驟重新計算一次。一般情況下只需重算一次即可得出與預(yù)設(shè)的錨栓面積比相近的結(jié)果。修正系數(shù)ku按下式確定：

(27)

式中：Asx、Asy為計算得出的支座截面x、y方向的單側(cè)錨栓面積。

3 計算實例

根據(jù)以下數(shù)據(jù)進行雙向偏心受壓支座錨栓的計算：

柱腳底板尺寸：b=540mm(x方向)，h=800mm(y方向)。

混凝土采用C30，fc=14.3N/mm2，不計局部承壓提高系數(shù)；錨栓采用Q345，fta=180N/mm2；asx=90mm,asy=100mm。

內(nèi)力1：N=921kN，Mx=208kN·m，My=552kN·m，Vx=86kN，Vy=152kN。

內(nèi)力2：N=465kN，Mx=208kN·m，My=552kN·m，Vx=86kN，Vy=152kN。

單向受彎錨栓的計算均采用前述1.2的方法。

方法1先在x方向考慮軸力N和彎矩Mx的作用進行錨栓計算，然后在y方向僅考慮彎矩My的作用進行錨栓計算，再將兩次的計算結(jié)果相加求得錨栓面積。

方法2先在x方向僅考慮彎矩Mx的作用進行錨栓計算，然后在y方向考慮軸力N和彎矩My的作用進行錨栓計算，再將兩次的計算結(jié)果相加求得錨栓面積。

方法3先將軸力N按x、y向的剪力Vx、Vy的比值分解為Nx、Ny，然后在x方向考慮軸力Nx和彎矩Mx的作用進行錨栓計算，在y方向考慮軸力Ny和彎矩My的作用進行錨栓計算，再將兩次的計算結(jié)果相加求得錨栓面積。

方法4采用本文推薦的簡化計算方法。采用本文方法進行計算的過程如下：

軸壓比：

由表2得:α=1.55。

支座每邊設(shè)置3顆錨栓，即nx=ny=3，可得：

另可得：

則：

于是：

Mnx=KxMx=2.056×208=428kN·m

Mny=KyMy=1.254×552=713kN·m

取N=921kN、M=457kN·m和N=921kN、M=692kN·m分別按1.2中的方法進行兩個方向的錨栓計算，即可得到表3方法4括號中的錨栓面積。計算結(jié)果見表3、表4。

方法4括號中的錨栓面積為只進行第一次計算的結(jié)果，對μ值進行修正后得到最終錨栓面積，結(jié)果相差并不大，因此只進行一次計算一般情況下是可行的。

表3 不同計算方法下的雙向偏心受壓支座錨栓面積(內(nèi)力1)

表4 不同計算方法下的雙向偏心受壓支座錨栓面積(內(nèi)力2)

由表中可見，本文推薦的方法比常規(guī)的分解算法得到的錨栓面積小10 %～20 %，經(jīng)濟性更好,而且有理論依據(jù)。

4 結(jié)束語

目前國內(nèi)工程設(shè)計中對雙向偏心受壓支座錨栓的計算沒有簡便而又有可靠根據(jù)的算法，本文通過對鋼筋混凝土雙向偏心受壓構(gòu)件受力特性的分析類比，推導(dǎo)出了一個較簡便的計算方法，可以通過手算快速進行計算，得出的錨栓面積更為經(jīng)濟合理。

需要指出的是，由于國內(nèi)工程設(shè)計中錨栓一般采用彈性設(shè)計，其混凝土的應(yīng)力分布為三角形，且錨栓應(yīng)力未考慮變形協(xié)調(diào)，因此本文提出的計算方法只是一種近似算法，但用于工程設(shè)計是可行的。

致謝：成文過程中，中國建筑西南設(shè)計研究院有限公司副總工程師劉宜豐提出了很多寶貴意見，特此致謝。