低頻稀疏雙約束寬頻帶地震阻抗反演

文曉濤 楊吉鑫 李雷豪 何 健 李 波

1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院 2.“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·成都理工大學(xué)

0 引言

地震低頻信息能有效地拓寬反射波的頻帶，因此基于富低頻信息的信號(hào)反演精度能得到有效地提高[1-5]，并且更進(jìn)一步地利用低頻信息作為模型背景約束，能獲得較之于傳統(tǒng)相對反射系數(shù)反演方法更加連續(xù)、更高分辨率的相對反射系數(shù)，基于低頻稀疏雙約束的反射系數(shù)得到的波阻抗具有更高的分辨率。

傳統(tǒng)的波阻抗反演主要是利用基追蹤[6-7]、匹配追蹤等方法進(jìn)行相對反射系數(shù)反演[8-13]，進(jìn)而利用道積分得到波阻抗剖面。由于傳統(tǒng)方法求解反射系數(shù)僅基于原始地震記錄，沒有充分利用地震數(shù)據(jù)的低頻信息，其反射系數(shù)沒有反映足夠的低頻信息，連續(xù)性、分辨率存在著一定的局限性。為此，筆者利用低頻稀疏雙約束反演，在基追蹤降噪（Basis Pursuit De-Noising，簡稱BPDN）問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了稀疏優(yōu)化項(xiàng)的改進(jìn)，增加了L2范數(shù)低頻模型殘差項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)了含低頻信息反射系數(shù)的直接求解。近年來海上油氣資源逐漸成為勘探的重點(diǎn)[14-17]，筆者將改進(jìn)后的方法應(yīng)用于南海某區(qū)的地震數(shù)據(jù)分析，較之于傳統(tǒng)基追蹤反射系數(shù)方法，筆者提出的低頻稀疏雙約束反射系數(shù)方法在寬頻帶數(shù)據(jù)和非寬頻帶數(shù)據(jù)的波阻抗反演上均取得了較好的應(yīng)用效果，得到了更高的分辨率、提高了波阻抗反演的準(zhǔn)確率。

1 低頻地震信號(hào)分析

根據(jù)地震褶積模型理論，地震數(shù)據(jù)的振幅由反射系數(shù)和子波的褶積而成[18]。因此，筆者利用褶積模型分析地震數(shù)據(jù)的低頻缺失特征，并闡述富低頻信號(hào)的優(yōu)勢。

1.1 子波分析

地震信號(hào)由子波褶積而成，子波頻帶對地震信號(hào)影響很大。利用低頻拓頻的方法得到寬頻帶信號(hào)，對子波的低頻特征進(jìn)行分析。從實(shí)際地震道提取統(tǒng)計(jì)子波，對其進(jìn)行低頻拓頻，拓頻前后頻譜如圖1-a所示，寬頻信號(hào)的頻譜在低頻部分高于非寬頻信號(hào)的頻譜。拓頻前后子波如圖1-b所示，非寬頻子波主瓣振幅比寬頻的主瓣弱，并且兩側(cè)的旁瓣在拓頻后明顯減弱。由此可見，低頻信息豐富有助于增強(qiáng)主瓣、減弱旁瓣，增強(qiáng)地震信號(hào)的主瓣壓制其旁瓣，可以達(dá)到提高反演精度的目的。

1.2 褶積模型建立

地震信號(hào)的頻譜受子波頻譜影響，富低頻的地震信號(hào)在理論上應(yīng)具有更弱的旁瓣、更強(qiáng)的主瓣。筆者基于簡單規(guī)則褶積模型和復(fù)雜不規(guī)則褶積模型，進(jìn)一步展示低頻缺失和富低頻的特征，并通過一個(gè)簡單的斷層褶積模型來說明寬頻帶優(yōu)勢在地質(zhì)模型、地震剖面分辨率上的表現(xiàn)。

圖2所示為簡單規(guī)則褶積模型，其由30 Hz雷克子波與不同時(shí)間隔、不同振幅反射系數(shù)褶積而成，模型簡單，分布規(guī)則。對該模型進(jìn)行低頻缺失分析，拓頻后的頻譜低頻部分增加，高于拓頻前頻譜，因此原始數(shù)據(jù)相較于拓頻后寬頻數(shù)據(jù)為低頻缺失，拓頻后數(shù)據(jù)在頻譜上表現(xiàn)為低頻部分較多，在地震信號(hào)上表現(xiàn)為地震波形的主瓣振幅增強(qiáng)、旁瓣振幅減弱。圖2-a為簡單規(guī)則褶積模型寬頻與非寬頻的頻譜對比，為針對性分析低頻信息影響，僅對低頻部分進(jìn)行拓頻處理；圖2-b簡單褶積模型上能看到顯著的主旁瓣變化趨勢，對于復(fù)雜不規(guī)則模型和實(shí)際地震數(shù)據(jù)有指示意義。

圖3所示為復(fù)雜不規(guī)則褶積模型，對其進(jìn)行拓頻處理并進(jìn)行低頻缺失特征對比。圖3可以看出，低頻信息的豐富程度能影響地震信號(hào)中主瓣和旁瓣的強(qiáng)度，從而影響地震數(shù)據(jù)的分辨率和質(zhì)量。圖3所示模型雖然較為復(fù)雜、分布較為隨機(jī)，但是經(jīng)拓頻后，仍然可見明顯的強(qiáng)振幅主瓣加強(qiáng)、弱振幅旁瓣減弱的現(xiàn)象。簡單規(guī)則和復(fù)雜不規(guī)則褶積模型的低頻信息缺失特征分析表明，富低頻信息和寬頻帶信號(hào)的優(yōu)勢為主瓣強(qiáng)、旁瓣弱。

圖1 寬頻子波和非寬頻子波頻譜圖

圖2 寬頻和非寬頻簡單褶積模型對比圖

以上兩個(gè)褶積模型都是單道合成記錄，通過單道記錄的分析，得到了寬頻帶信號(hào)的優(yōu)勢在單道記錄上的體現(xiàn)為主瓣強(qiáng)、旁瓣弱。理論上在具有地質(zhì)模型的地震剖面上寬頻帶的優(yōu)越性應(yīng)體現(xiàn)為分辨率的提高。為了體現(xiàn)寬頻帶信號(hào)在地震剖面上的優(yōu)越性和高分辨率的特點(diǎn)，筆者基于褶積模型理論，利用圖1-b中的寬頻子波和非寬頻子波對斷層模型進(jìn)行褶積，如圖4所示。利用非寬頻子波對該斷層反射系數(shù)（圖4-a）進(jìn)行褶積得到圖4-b中的非寬頻斷層模型，利用寬頻子波褶積得到圖4-c的寬頻斷層模型，從圖4-b和圖4-c中的合成記錄可以看出，在非寬頻合成記錄上，由于子波旁瓣振幅強(qiáng)和主瓣振幅弱的影響，非寬頻記錄的整體分辨率相較于寬頻記錄分辨率偏低；在寬頻合成記錄上，因?yàn)樽硬ǖ呐园暾穹內(nèi)?、主瓣振幅變?qiáng)，記錄分辨率有所提高，有助于識(shí)別小斷層。

綜上所述，經(jīng)子波和單道褶積模型，以及斷層褶積模型的數(shù)值模擬，寬頻帶信號(hào)對于常規(guī)信號(hào)具有更豐富的低頻信息，在子波和單道記錄上表現(xiàn)為：子波的主瓣振幅增強(qiáng)、旁瓣振幅減弱，在合成記錄剖面上表現(xiàn)為分辨率提高。

圖3 寬頻和非寬頻復(fù)雜褶積模型對比圖

2 低頻稀疏雙約束反射系數(shù)方法

根據(jù)Robinson地震褶積模型[18]，地震信號(hào)中每一道地震信號(hào)由地震子波和相應(yīng)反射系數(shù)序列褶積而成，因此，其矩陣方程式為：

式中S表示地震記錄；W為地震子波矩陣；R為反射系數(shù)序列。

根據(jù)地震信號(hào)的奇偶極子分解理論，將R分解為式（2），其分解圖如圖5所示。

式中D表示奇偶極子庫；m表示稀疏解；a和b表示奇偶極子的系數(shù)；偶脈沖對（re）與奇脈沖對（ro）分別表示為式（3）的兩個(gè)函數(shù)，為：

圖4 斷層的原始反射系數(shù)及模型圖

圖5 反射系數(shù)奇偶分解圖

式中t表示地震波的傳播時(shí)間，ms；n表示采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；Δt表示時(shí)間采樣間隔，ms。

將式（2）代入式（1），可得：

張瑞等[6-7]等利用反射系數(shù)的奇偶可分解性和稀疏性，引入L1范數(shù)和L2范數(shù)對反演目標(biāo)進(jìn)行稀疏約束，得到基追蹤降噪問題形式的反演目標(biāo)函數(shù)，即

在式（5）的約束反演下，能夠得到反映反射系數(shù)稀疏程度的稀疏解（m），但該約束優(yōu)化問題的殘差項(xiàng)僅以原始地震信號(hào)為基準(zhǔn)，均衡地補(bǔ)充地震信號(hào)所有頻帶信息，由于中、高頻信息可能含有噪音不可盲目追求拓展高頻，加之以現(xiàn)有地震信號(hào)具有寬頻帶的特性，應(yīng)著重利用和發(fā)展寬頻帶的低頻優(yōu)勢，并結(jié)合實(shí)際工區(qū)的信息提高反演的精度和連續(xù)性[19]。利用井資料構(gòu)建的低頻信息作為殘差項(xiàng)約束基準(zhǔn)，對m參數(shù)通過D映射到R反射系數(shù)序列，然后對R進(jìn)行積分操作和低頻濾波算子操作，以反映出低頻阻抗信息。

低頻約束項(xiàng)的構(gòu)建如下述，在t時(shí)刻所對應(yīng)的采樣點(diǎn)上，有縱波阻抗與反射系數(shù)關(guān)系為：

式中t0表示地震波到達(dá)相鄰地層的時(shí)間，ms，一般t0＜ t；τ表示積分時(shí)間變量，ms。

將式（6）簡寫為矩陣方程的形式有：

式中B表示積分矩陣，ξ表示相對波阻抗序列。B表達(dá)形式分別為：

由式（2），又可將式（7）寫為：

以上為反演參數(shù)與阻抗序列的關(guān)系，由于在低頻約束反演中，等式右邊阻抗序列需要變換為由井?dāng)?shù)據(jù)得到的低頻阻抗模型，需要對式（10）兩端乘以一個(gè)低頻濾波算子L[20]，其構(gòu)建形式見本文參考文獻(xiàn)[21]。將反演參數(shù)m和低頻模型阻抗形成等價(jià)的矩陣關(guān)系式為：

式中ξL為低頻阻抗模型。此時(shí)，低頻約束項(xiàng)就構(gòu)建完成，將其加入到式（5）中的BPDN目標(biāo)反演函數(shù)中，得到低頻稀疏雙約束形式為：

由于低頻約束項(xiàng)與地震道殘差約束項(xiàng)具有相似的表達(dá)式，可以進(jìn)一步化簡得到：

基于此形式，得到了包含低頻稀疏約束的凸優(yōu)化問題可解形式，通過壓縮感知算法求解該改進(jìn)后的低頻稀疏雙約束凸優(yōu)化問題，即可得到包含低頻信息的稀疏解。

3 實(shí)例應(yīng)用

圖6為南海某區(qū)疊后聯(lián)井地震剖面，該工區(qū)的地震數(shù)據(jù)分為常規(guī)頻帶疊后時(shí)間數(shù)據(jù)（圖6-a）和寬頻帶疊后時(shí)間數(shù)據(jù)（圖6-b），由于采集技術(shù)的進(jìn)展對于體現(xiàn)和挖掘?qū)掝l數(shù)據(jù)的低頻信息優(yōu)勢有強(qiáng)大的推動(dòng)，應(yīng)用實(shí)際資料對比傳統(tǒng)基追蹤反射系數(shù)方法和筆者提出的低頻稀疏雙約束反射系數(shù)方法在常規(guī)頻帶數(shù)據(jù)和寬頻帶數(shù)據(jù)上的應(yīng)用效果：①寬頻帶數(shù)據(jù)相比于常規(guī)數(shù)據(jù)，由于低頻信息優(yōu)勢，能提高儲(chǔ)層預(yù)測以及油氣檢測的精度，在反射系數(shù)和阻抗剖面上表現(xiàn)為連續(xù)和分辨率的提高；②低頻稀疏雙約束反射系數(shù)方法由于低頻約束，比傳統(tǒng)基追蹤反射系數(shù)方法有更好的低頻驅(qū)動(dòng)優(yōu)勢，在反射系數(shù)和阻抗剖面上都有較好的連續(xù)性和分辨率，且與井?dāng)?shù)據(jù)吻合良好。

3.1 寬頻帶數(shù)據(jù)優(yōu)勢

為了體現(xiàn)寬頻帶數(shù)據(jù)的優(yōu)勢，對比傳統(tǒng)基追蹤法和低頻稀疏雙約束法得到的反射系數(shù)剖面和阻抗剖面。

圖7-a和圖7-b分別為傳統(tǒng)基追蹤法得到的常規(guī)頻帶反射系數(shù)剖面和寬頻帶反射系數(shù)剖面，圖7中可以看到，寬頻帶反射系數(shù)層信息更加豐富、反射系數(shù)更加連續(xù)，寬頻帶反射系數(shù)整體信息更加豐富和連續(xù)。對圖7-a和圖7-b的反射系數(shù)進(jìn)行道積分阻抗求取，分別得到圖8-a和圖8-b中傳統(tǒng)基追蹤法常規(guī)頻帶阻抗和寬頻帶阻抗，可以看到白色圈A中，圖8-b中的阻抗信息比圖8-a中阻抗信息連續(xù)性更好，分辨率有所提高，與井?dāng)?shù)據(jù)匹配比較好。

圖7-c和圖7-d分別為低頻稀疏雙約束法得到的常規(guī)頻帶反射系數(shù)和寬頻帶反射系數(shù)，同樣地，可以看到寬頻反射系數(shù)信息更豐富、連續(xù)性更好。再對圖7-c和圖7-d中的反射系數(shù)求取地震阻抗剖面，分別得到圖8-c的低頻雙約束常規(guī)頻帶阻抗和圖8-d的低頻雙約束寬頻帶阻抗，仍然可以看到，在白色虛線圈A和C中，寬頻帶阻抗比常規(guī)頻帶阻抗具有更好的連續(xù)性和更豐富的信息，且與井?dāng)?shù)據(jù)吻合良好。

3.2 低頻稀疏雙約束方法優(yōu)勢

圖6 南海某區(qū)疊后時(shí)間剖面圖

圖7 傳統(tǒng)基追蹤法和低頻稀疏雙約束法的常規(guī)頻帶與寬頻帶反射系數(shù)剖面對比圖

圖7 -a和圖7-c為傳統(tǒng)基追蹤法和低頻稀疏雙約束法在常規(guī)地震數(shù)據(jù)上的地震反射系數(shù)剖面，可以看到低頻稀疏雙約束法比傳統(tǒng)基追蹤法有更豐富的信息和更好的連續(xù)性，分辨率也有所提高。對圖7-a和圖7-c進(jìn)行道積分求得相應(yīng)的阻抗，分別為圖8-a和圖8-c，圖中可以看到，在白色虛線圈A和B處，圖8-c中低頻稀疏雙約束法在有井處分辨率顯著提高、連續(xù)性也更高，但由于常規(guī)地震數(shù)據(jù)缺乏低頻信息，所以其低頻挖掘特性無法得到更好的發(fā)揮。故將該方法應(yīng)用于具有更豐富低頻信息的寬頻帶地震數(shù)據(jù)。

圖7-b和圖7-d為傳統(tǒng)基追蹤法和低頻稀疏雙約束方在寬頻帶地震數(shù)據(jù)上的地震反射系數(shù)結(jié)果，可以看到低頻稀疏雙約束法連續(xù)性更好、分辨率更高。同樣對圖7-b和圖7-d求取道積分阻抗剖面，得到圖8-b和圖8-d，圖中可以看到，在白色虛線圈A、B、C中，相對于在常規(guī)數(shù)據(jù)上的對比，圖8-d中的低頻帶稀疏雙約束法較傳統(tǒng)基追蹤法有顯著連續(xù)性、分辨率提高和阻抗信息提高，表明低頻帶稀疏雙約束法能在寬頻帶數(shù)據(jù)上體現(xiàn)更充分的低頻優(yōu)勢，不僅保持了連續(xù)性，更提高了分辨率，且與井?dāng)?shù)據(jù)吻合良好。

圖8 傳統(tǒng)基追蹤法和低頻稀疏雙約束法的常規(guī)頻帶與寬頻帶地震阻抗剖面對比圖

4 結(jié)論

1）通過以拓頻方式對低頻信息進(jìn)行缺少或缺失特征的分析，并基于子波和褶積模型單道合成記錄以及斷層褶積模型的數(shù)值模擬，結(jié)果表明，具有豐富低頻信息的寬頻帶數(shù)據(jù)擁有更少旁瓣影響，從而使地震數(shù)據(jù)分辨率更高，有利于反演的精度提高。

2）傳統(tǒng)的基追蹤法在凸優(yōu)化問題稀疏表示上未充分體現(xiàn)低頻特性，反演結(jié)果無法更好地突出和體現(xiàn)低頻信息分辨率、連續(xù)性和信息豐富性。

3）低頻稀疏雙約束法，在凸優(yōu)化稀疏表示上引入低頻約束項(xiàng)，以低頻約束為驅(qū)動(dòng)更充分地挖掘了寬頻數(shù)據(jù)隱含的低頻信息，該方法所求阻抗相對于傳統(tǒng)方法有更好的連續(xù)性和分辨率，且與井?dāng)?shù)據(jù)吻合良好，對薄層分布能有效預(yù)測，在薄儲(chǔ)層分布預(yù)測中具有更高的應(yīng)用價(jià)值。