從解法探究走向教學(xué)微設(shè)計(jì)
——以一道新定義?？碱}為例

☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱月鳳

最近一次學(xué)校中考?？季毩?xí)時(shí)，選用了一道新定義考題，從2019年5月北京市海淀區(qū)一模卷改編而來，前兩問學(xué)生答得還可以，但最后一問普遍適應(yīng)性不好.為了做好講評(píng)工作，我們備課組先認(rèn)真對(duì)該題進(jìn)行了解法研究，并設(shè)計(jì)出系列鋪墊式問題，取得了較好的解題教學(xué)效果.本文整理該題的一些解法探究，再給出解題教學(xué)微設(shè)計(jì)，供研討.

一、新定義模考題的思路探究

?？碱}：（北京市海淀區(qū)2019年中考一模卷，改編）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的直線l和圖形M，給出如下定義：P1、P2、…、Pn-1、Pn是圖形M上n（n≥3）個(gè)不同的點(diǎn)，記這些點(diǎn)到直線l的距離分別為d1、d2、…、dn-1、dn，若這n個(gè)點(diǎn)滿足d1+d2+…+dn-1=dn，則稱這n個(gè)點(diǎn)為圖形M關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列，其中dn為該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離.

（1）略.（限于篇幅，這一小問比較簡單，只是讓學(xué)生初步感知“新定義”，故略去）

①若T為原點(diǎn)，求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值；

②若n的最大值等于6，直接寫出圓心T的縱坐標(biāo)t的取值范圍.

思路探究：（2）①由P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列，得d1+d2+…+dn-1=dn.則dn的最大值為⊙T上的點(diǎn)到直線l的最大距離.

當(dāng)T為原點(diǎn)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，延長HO交⊙O于點(diǎn)F，則FH的長度為dn的最大值.

圖1

圖2

圖3

②這一小問比較晦澀、難懂，讓我們分析一條直線與圓的不同位置關(guān)系，如圖2、圖3.在圖2中，直線與圓相交，此時(shí)圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)是垂線段FE（經(jīng)過圓心T），容易發(fā)現(xiàn)，EF＜2，且圓上能找到“很多點(diǎn)”（遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出6個(gè)）到該直線的距離趨于0，這樣就能找出“很多點(diǎn)”符合新定義，則n也就“遠(yuǎn)大于6”，這與題意不符.于是我們可以確定線段與圓應(yīng)該是沒有公共點(diǎn)的.再利用圖3進(jìn)行分析，此時(shí)圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)是垂線段FE（經(jīng)過圓心T），設(shè)GE=x，則FE=2+x，要使得“n的最大值等于6”，則對(duì)照定義，應(yīng)該有5x＜2+x≤6x.這個(gè)不等式不太好理解，設(shè)6個(gè)點(diǎn)都無限接近圖3中的點(diǎn)G，則2+x≤6x；另一方面，有5個(gè)點(diǎn)無限接近點(diǎn)G，它們的和不會(huì)超過5x，則5x＜2+x.綜上，可確定GE（即x）的范圍為，相應(yīng)的TE（即x+1）的取值范圍為

圖4

解后反思：從上面的解題過程來看，從圖2到圖3，并分析出GE（即x）的范圍為，這是本題重要進(jìn)展、關(guān)鍵步驟，非常抽象、難懂，且涉及多個(gè)點(diǎn)趨向一個(gè)極端位置，對(duì)極限意識(shí)和想象能力有很高的要求.

二、圍繞考題開展教學(xué)微設(shè)計(jì)

1.熟悉“定義”

出示上文“?？碱}”的“題干”部分，讓學(xué)生先熟悉新定義，并給出簡單的舉例，然后給出一組基礎(chǔ)熱身題.

問題1：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是x軸，圖形M上有三點(diǎn)A（-1，1）、B（1，-1）、C（0，2）.

（1）判斷A、B、C是否為圖形M關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.如果是，求出它的基準(zhǔn)距離；如果不是，請說明理由.

（2）請舉出一個(gè)圖形M，使得該圖形M上有四個(gè)點(diǎn)為圖形M關(guān)于直線l：y=-1的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.

教學(xué)組織：第（1）問讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再請學(xué)生上臺(tái)講解他是如何思考的；第（2）問學(xué)生設(shè)計(jì)出問題之后先在小組內(nèi)由組長組織討論、分析是否正確，然后選擇符合要求的正確解答在全班交流展示，大家參與評(píng)析各小組所設(shè)計(jì)的問題是否符合新定義的要求.

2.初步運(yùn)用

問題2：已知直線l是函數(shù)的圖像，圖形M是圓心在y軸上、半徑為1的⊙T，P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.

（1）若T為原點(diǎn)，求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值；

（2）當(dāng)點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值；

（3）當(dāng)點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為7時(shí)，求該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值.

教學(xué)組織：第（1）問對(duì)應(yīng)著原“?？碱}”，跟進(jìn)的第（2）、（3）問可以有效訓(xùn)練學(xué)生對(duì)新定義的理解，并且感受到隨著圓心位置的變化，該基準(zhǔn)點(diǎn)列的基準(zhǔn)距離dn的最大值也在發(fā)生變化，為挑戰(zhàn)下一問較難題提供初步感知.

3.挑戰(zhàn)難題

問題2：已知直線l是函數(shù)的圖像，圖形M是圓心在y軸上、半徑為1的⊙T，P1、P2、…、Pn-1、Pn是⊙T關(guān)于直線l的一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)列.

（1）舉例分析n的最大值能否到5；

（3）若n的最大值等于6，直接寫出圓心T的縱坐標(biāo)t的取值范圍.

教學(xué)組織：安排兩個(gè)鋪墊式問題讓學(xué)生先想清如上文中提及的圖2、圖3這樣的圖形結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，再有序挑戰(zhàn)最難的第（3）問.講評(píng)過程中，要注意讓優(yōu)秀學(xué)生能結(jié)合圖形分析講解，這樣可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地分析這類問題，也讓更多學(xué)生體會(huì)“以形助數(shù)”的分析策略.

三、關(guān)于新定義考題的解法研究與教學(xué)建議

1.新定義題的解法研究要重視數(shù)形結(jié)合分析策略

根據(jù)我們的解題研究所見，當(dāng)前新定義考題熱度不減，成為很多地區(qū)模考卷、中考卷的把關(guān)題型，而且新定義考題的風(fēng)格各異，呈現(xiàn)豐富多樣的地區(qū)特點(diǎn)，比如，北京地區(qū)以新定義為背景，關(guān)聯(lián)函數(shù)圖像、直線和圓的位置關(guān)系，分析參數(shù)的取值范圍，引領(lǐng)著北京各區(qū)的?？季硪布娂娔７旅瞥龃罅康男露x考題，這些考題又被全國各個(gè)地區(qū)引用.可以發(fā)現(xiàn)，這類新定義考題的解題策略中都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的分析策略，也體現(xiàn)了“少算多思”的解題特點(diǎn)，教師解題時(shí)，要充分借助圖形分析臨界狀態(tài)，并善于分解、分離圖形來分析參數(shù)的取值范圍.

2.新定義考題解題教學(xué)時(shí)要注意預(yù)設(shè)鋪墊問題

在新定義考題解題教學(xué)時(shí)切忌就題講題，或者簡單的核對(duì)答案式的講解，或者以多數(shù)學(xué)生都會(huì)放棄最后一問為由，簡單應(yīng)付一下講評(píng)過程.事實(shí)上，如果我們將最難的一問進(jìn)行充分展開，不但能讓較多的學(xué)生理解、學(xué)會(huì)這道習(xí)題的解法，而且在這個(gè)過程中，還能讓學(xué)生復(fù)習(xí)很多基本圖形及其性質(zhì)、經(jīng)典結(jié)論及其變式，所以還是值得花時(shí)間開展解題教學(xué)的.當(dāng)然，對(duì)于“最難小問”的解題教學(xué)，要像上文解題教學(xué)微設(shè)計(jì)一樣，進(jìn)行充分預(yù)設(shè)，通過系列鋪墊式問題，鋪平墊穩(wěn)，讓學(xué)生拾級(jí)而上，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)解法，貫通思路，不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)解這道習(xí)題，而且要在解題教學(xué)過程中讓學(xué)生能學(xué)會(huì)這類新定義習(xí)題的解法，并且在這個(gè)過程中收獲解題信心.

三、寫在后面

近兩年《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》刊發(fā)了不少新定義考題的教學(xué)研究文章，有效引領(lǐng)了一線教師的解題研究，本文就是受到類似文獻(xiàn)［1］～［3］的影響而整理出來的.這樣做，事實(shí)上也端正和加深了我們對(duì)解題研究的理解，比如，解題研究不能只是關(guān)注解法或一題多解，甚至是一些個(gè)性化的解法或者技巧性解法，而要從解法研究出發(fā)，基于學(xué)情預(yù)設(shè)解題教學(xué)微設(shè)計(jì)，以便促進(jìn)學(xué)生更好地理解和掌握解法，達(dá)到做一題、通一類、會(huì)一片的解題效果.