壓電智能結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)未知擾動估計

伍彬藝， 秦現(xiàn)生， 張順琦, 王戰(zhàn)璽, 白 晶, 李 靖

(1.西北工業(yè)大學 機電學院, 西安 710072; 2.上海大學 機電工程與自動化學院, 上海 200444)

振動會降低結(jié)構(gòu)系統(tǒng)精度,有時會導致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴重損傷,造成災難性事故[1-2]。擾動是導致系統(tǒng)振動的主要因素,如果擾動信息已知，可通過采用合適的反饋控制器對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動進行有效的抑制[3]。但是在很多實際工程應用中,作用在結(jié)構(gòu)上的擾動由于受工作環(huán)境的限制很難被直接測量[4-5]。因此,對振動系統(tǒng)的外部未知擾動進行準確估計具有十分重要的理論意義和應用前景。

擾動力估計屬于載荷識別的范疇,目前有兩種主要的方法，即頻域法和時域法。在載荷識別的頻域法方面,Barlett等[6]在頻域內(nèi)用加速度響應對作用在直升機槳穀中心動態(tài)載荷進行了識別,開創(chuàng)了動態(tài)載荷識別的先例。Hillary等[7]通過采用兩個頻率相同但幅值不同的正弦力作為激振研究了懸臂梁載荷識別問題,結(jié)果表明測量噪聲是載荷識別結(jié)果不佳主要因素。頻域法的研究較早，理論發(fā)展比較成熟,但也存在一些限制，如要求信號樣本具有一定的長度和只適合靜態(tài)及平穩(wěn)載荷。

與頻域法相比,時域法可對包括沖擊載荷在內(nèi)的各類非平穩(wěn)動態(tài)載荷進行識別，識別結(jié)果有明確的物理意義,具有廣闊的工程應用前景。Desanghere等[8]將模態(tài)坐標變換方法引入到動態(tài)載荷識別過程,建立了動態(tài)載荷識別的時域方法。Ory等[9]提出了離散系統(tǒng)的動態(tài)載荷識別方法,并對飛行器所受的飛行載荷進行了識別。但上述各種方法都要求測量點的數(shù)目不小于模態(tài)數(shù)，這在許多實際應用中很難實現(xiàn)。為了解決這個問題，Müller[10]提出了一種比例積分(Proportional Integral, PI)觀測器來估計振動系統(tǒng)的未知擾動(為區(qū)分本文方法，該方法簡稱為PI-Müller),該比例積分觀測器只要求測量點的數(shù)量不少于未知的擾動數(shù)量。

壓電智能結(jié)構(gòu)是將壓電材料集成到基本結(jié)構(gòu)中組成的一種主動智能結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)同時具有傳感和驅(qū)動功能,具備良好的機電耦合性能,在結(jié)構(gòu)振動控制中有著廣泛的應用前景[11]。Zhang等[12-13]在普通PI觀測器基礎(chǔ)上提出了更加通用的比例積分(Generalized Proportional-Integral，GPI)觀測器，實現(xiàn)高階頻率未知擾動的預測，并對壓電層合薄壁結(jié)構(gòu)振動進行了有效地抑制。

測量噪聲在工程使用中是實際存在的,且無法得到完全抑制,對擾動估計系統(tǒng)的性能有較大的影響。上述研究包括PI，GPI觀測器在內(nèi)的大多數(shù)擾動估計方法都沒有考慮測量噪聲的影響，這限制了其應用前景。為此,在傳統(tǒng)PI觀測器的基礎(chǔ)上，本文提出了一種采用卡爾曼濾波器的擾動估計方法(PI-Kalman)。該方法以分布式壓電智能結(jié)構(gòu)為研究對像，實現(xiàn)未知動態(tài)載荷的估計。仿真結(jié)果表明在考慮測量噪聲的情況下，與傳統(tǒng)PI觀測器相比，該擾動估計方法具有更好的估計性能。

1 壓電智能結(jié)構(gòu)的動態(tài)模型

通過應用有限元方法和哈密頓原理，能夠得到壓電智能結(jié)構(gòu)的機電耦合動力學模型[14]。

(1)

Kφuq+Kφφφs=0

(2)

式中：Muu,Cuu,Kuu,Kuφ,Kφu和Kφφ分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、壓電耦合剛度矩陣、耦合容量矩陣和壓電容量矩陣；另外，q,Fue,φa,φs分別為節(jié)點的位移向量、外部力向量、執(zhí)行器控制電壓向量和傳感器輸出電壓向量。

一般的有限元模型通常有幾百個自由度, 考慮到高階模態(tài)對低頻響應的影響較小,為了減少計算時間，使用截斷模態(tài)矩陣Sr來降低分析問題的自由度規(guī)模。

(3)

(4)

考慮到擾動的影響，智能結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間模型可以表示為

(5)

y=Cx+n

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 外部未知擾動的估計

2.1 擾動虛擬模型

從理論上講，任何周期性的未知擾動都可以用傅里葉級數(shù)表示

(11)

式中：ω為余弦和正弦基函數(shù)的角頻率。以傅里葉級數(shù)的有限項作為基函數(shù)向量v(t)，則未知擾動可以近似的表示為

f(t)≌Hv(t)

(12)

(13)

式中：H，V分別為擾動虛擬模型的輸出矩陣和系統(tǒng)矩陣,它們的值取決于所選取的傅里葉級數(shù)的項數(shù)。當使用階躍函數(shù)作為未知擾動的基函數(shù)時,即為比例積分觀測器,此時H，V分別為單位陣I和零矩陣0

H=I,V=0

(14)

2.2 擴展系統(tǒng)和擴展觀測器系統(tǒng)

(15)

y=Cexe+n

(16)

式中：Ae，Be，Ce分別為擴展系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，控制矩陣和輸出矩陣。

(17)

Ce=[C0]

(18)

根據(jù)經(jīng)典的Luenberger觀測器結(jié)構(gòu)，擴展觀測器系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以表示為

(19)

(20)

2.3 估計誤差分析

為了確保擴展觀測器系統(tǒng)穩(wěn)定,對動態(tài)模型的估計誤差進行分析

(21)

根據(jù)式(15)和式(19)，可以得到擴展系統(tǒng)估計誤差的系統(tǒng)方程

(22)

估計誤差的系統(tǒng)特性只與擴展系統(tǒng)的系統(tǒng)特性和觀測器增益有關(guān)。因此，選擇合適的觀測器增益使性能指標函數(shù)J最小就顯得尤為重要

J=limt→∞(exe(t)Texe(t))=min

(23)

2.4 觀測器增益設計

PI-Müller擾動估計方法設計的觀測器是一種理想的觀測器模型。該方法在設計觀測器增益時，沒有考慮測量噪聲的影響，影響了其狀態(tài)觀測精度和擾動估計性能?？柭鼮V波器在系統(tǒng)特性和測量噪聲的統(tǒng)計特性都已知的情況，能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)估計，經(jīng)常被用來通過降低測量噪聲的影響來估計系統(tǒng)狀態(tài)變量。針對PI-Müller擾動估計方法在測量噪聲不能忽略的應用場合下性能受限的情況，本文將PI-Mülle方法和卡爾曼濾波器結(jié)合起來，提出了PI-Kalman方法。該方法在進行觀測器增益設計時，選擇卡爾曼濾波器增益作為觀測器的增益以實現(xiàn)對測量噪聲的補償。

2.4.1 PI-Müller方法

傳統(tǒng)的PI-Müller方法是一種理想的觀測器模型，不考慮噪聲的影響，觀測器的增益L可以表示為

(24)

根據(jù)線性模型的李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，對于任意的對稱正定矩陣Q，存在唯一的對稱矩陣P滿足下列瑞利代數(shù)方程

(25)

(26)

解此標準瑞利方程，可以得到Pk的值, 再根據(jù)式(24)可以得到擴展觀測器系統(tǒng)的增益值。

2.4.2 PI-Kalman方法

當傳感器輸出信號包含測量噪聲時，基于卡爾曼濾波的觀測器增益可以表示為[15]

(27)

式中：RN為測量噪聲的均方差；P為唯一滿足下列代數(shù)瑞利方程的對稱正定矩陣。

(28)

同樣，式(28)也可以轉(zhuǎn)換為標準的代數(shù)瑞利方程。解標準瑞利方程，可以得到Pk的值, 再根據(jù)式(27)可以得到擴展觀測器系統(tǒng)的增益值。此外，通過調(diào)用Matlab中的函數(shù)Kalman函數(shù)也可以得到擴展觀測器系統(tǒng)的增益值。

2.5 擾動估計系統(tǒng)

(29)

(30)

3 擾動估計仿真

使用集成8個壓電片的懸臂梁(尺寸、結(jié)構(gòu)和布局如圖1所示)進行仿真測試。懸臂梁主結(jié)構(gòu)材料為彈簧鋼，尺寸為425 mm×25 mm×0.8 mm。壓電塊的尺寸為25 mm×25 mm×0.25 mm，圧電片之間的間距相同且都為25 mm，極化方向指向主結(jié)構(gòu)的外法線方向。當懸臂梁上的應變變化時，壓電片作為傳感器產(chǎn)生輸出電壓。此外，如果沒有其它說明，外部未知擾動作用在懸臂梁的A點。

圖1 懸臂梁尺寸及結(jié)構(gòu)布局Fig.1 The dimension and structure layout of a cantilever beam

將懸臂梁主結(jié)構(gòu)劃分為17個單元, 每個單元有8個節(jié)點, 每個節(jié)點有5個機械自由度和一個電自由度, 建立有限元模型。根據(jù)建立的有限元模型，在Matalb通過程序計算可以得到相應的模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣，再根據(jù)與狀態(tài)空間模型的對應關(guān)系，可以得到系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣B、擾動影響矩陣N、控制矩陣C。然后,可以使用PI-Müller和PI-Kalman方法來求解觀測器增益。獲得觀測器增益后, 利用采集的壓電傳感器輸出信號作為輸入信號,根據(jù)擾動估計系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程式(29)～式(30),對外部未知的擾動進行估計。為了減少計算時間,動態(tài)有限元模型只保留前12階模態(tài)。懸臂梁的主結(jié)構(gòu)和圧電片的材料性能參數(shù)見表1。

為了表述方便, 在這里對幾個定義進行說明。傳感器理想輸出信號是指不考慮測量噪聲的傳感器輸出信號，傳感器實際輸出信號是指包含測量噪聲的傳感器輸出信號。輸出信號的信噪比是指傳感器理想輸出信號與測量噪聲的功率比。

表1 懸臂梁的材料參數(shù)

3.1 階躍擾動

階躍擾動信號幅度為0.1 N，0.25 s時作用在懸臂梁的A點。在本次仿真中，施加的測量噪聲為均值和方差為已知的高斯白噪聲。在考慮測量噪聲的情況下,為了分析PI-Müller方法和PI-Kalman的擾動估計性能,我們使用不同位置的壓電傳感器的輸出信號進行擾動估計。壓電傳感器1、壓電傳感器3、壓電傳感器5、壓電傳感器7的輸出信號及估計的擾動信號如圖2～圖5所示。從圖2(a)可知，由于該處測量位置的彎矩及正應力較大，壓電傳感器1實際輸出信號相對理想輸出信號有較小的幅度起伏，信噪比較大。利用傳感器1的實際輸出信號，使用PI-Müller和PI-Kalman估計的擾動信號如圖2(b)所示。從圖2(b)可知，使用PI-Müller和PI-Kalman估計的擾動，上升時間都較小，這表明兩種擾動估計方法都具有較好的響應速度。但由于PI-Kalman方法考慮了測量噪聲的影響，與PI-Müller方法相比，使用該方法估計的擾動更為平滑也更接近于實際的階躍擾動。壓電傳感器3的輸出信號及其估計的擾動信號如圖3所示。從圖3可知，由于測量噪聲的影響，傳感器的實際輸出信號包含一些毛刺，其信噪比相對測量位置1來說有一定的降低，但依然較高。對比PI-Müller和PI-Kalman估計的擾動信號, 可以發(fā)現(xiàn)PI-Müller估計的擾動信號幅度起伏較大。這樣的事實表明，當傳感器輸出信號包含測量噪聲時，PI-Kalman擾動估計方法能取得更好的估計效果。壓電傳感器5的實際輸出信號，如圖4(a)所示。受測量噪聲的影響較大，相對傳感器1和傳感器3，其信噪比下降的較多。使用壓電傳感器5估計的擾動信號如圖4(b)所示。從圖4(b)中可知，與PI-Müller估計的擾動信號相比，PI-Kalman估計的擾動信號的上升時間接近，但有更小的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差。壓電傳感器7的輸出信號及估計的擾動信號如圖5所示。從圖5可知，由于本測量位置彎矩和正應力小，傳感器理想輸出信號弱，受測量噪聲影響最大，其信噪比在4個測量位置最小。相對傳感器1、傳感器3、傳感器5來說，不管是采用PI-Müller方法和PI-Kalman方法，使用傳感器7估計的擾動信號有更長的上升時間，更大的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差。另外，與PI-Müller估計的擾動相比，采用PI-Kalman方法估計的擾動的上升時間更長，超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差更小。

圖2 使用壓電傳感器1估計的階躍擾動Fig.2 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 1

圖4 使用壓電傳感器5估計的階躍擾動Fig.4 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 5

圖3 使用壓電傳感器3估計的階躍擾動Fig.3 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 3

圖5 使用壓電傳感器7估計的階躍擾動Fig.5 Estimated step disturbances with piezoelectric sensors 7

3.2 諧波擾動

為了進一步驗證PI-Kalman方法對不同類型的外部擾動信號的估計性能，我們將諧波擾動信號f(t)=0.1cos 2πt加載在懸臂梁的A點，利用壓電傳感器1的輸出信號，分別使用PI-Müller方法和PI-Kalman方法對外部未知擾動進行估計。傳感器的輸出信號和估計的擾動信號如圖6(a)和圖6(b)所示。從圖6(a)可知，含有測量噪聲的傳感器實際輸出信號和傳感器理想輸出信號波形相似，但包含更多的毛刺。從圖6(b)可知，PI-Müller和PI-Kalman兩種擾動估計方法估計的擾動與實際擾動相比，波形相似，都存在一定的時延。但由于PI-Kalman方法考慮了測量噪聲的影響，與PI-Müller方法相比，使用該方法估計的擾動更為平滑。

(a)傳感器1的輸出信號

(b)估計的擾動信號圖6 使用壓電傳感器1估計的諧波擾動Fig.6 Estimated harmonic disturbances with piezoelectric sensors 1

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于卡爾曼濾波器的智能結(jié)構(gòu)比例積分擾動觀測器，并應用于分布式壓電智能結(jié)構(gòu)對外部未知擾動的估計，通過仿真得出以下結(jié)論：

(1)在測量噪聲存在的情況下，本文提出的PI-Kalman方法對外界未知擾動具有良好的估計性能。與傳統(tǒng)PI-Müller方法相比，該方法估計的擾動更加平滑。

(2)測量位置對擾動估計質(zhì)量產(chǎn)生了重要影響，選擇理想的位置能得到較好的擾動估計效果。同時測量信號信噪比對擾動的估計也有較大影響。